1. 개요
공리란 증명할 필요도 없는 절대적인 진리로 양자역학의 공리는 아직 연구적인 양자역학에 대해 관통하는 확정적인 '법칙'을 의미한다. 즉 양자역학이 아직 탐구가 많이 필요한 미지의 영역이지만, 그간의 연구를 통해 내려진, 왜 그런지는 아직 정확히 모르겠지만, 부정할 필요도 없고, 부정할 수도 없는 '주된 결론'을 의미한다. 다시 말해 양자역학의 공리란 양자의 상태는 확률로밖에 값을 나타낼 수 없다는 진리를 의미한다.양자란 기본적으로 주변과 상호작용이 많을수록 결어긋남이 일어나서 입자로 수렴되고, 반대로 상호작용이 적을수록 파동으로 수렴된다. 그런데 측정을 위해 관측을 하면 양자는 애초에 너무 작은 입자라서 측정 매체에 영향을 받아 위치나 스핀의 값이 틀어져서 정확한 값을 구할 수 없다. 설령 측정을 안 해도 관측할 수 있는 마법 같은 기적이 있다고 가정해도, 애초에 상호작용이 적을 경우 양자는 파동의 성질을 띠게 돼서 마찬가지로 위치나 스핀의 값을 애초에 특정-예측할 수조차 없다. 즉 양자의 상태는 어떻게 되든 확률로 밖에 결론을 낼 수밖에 없다는 것이다.
양자역학의 주요 결론중 하나는 고전 물리학의 위치 [math(x)], 속도 [math(v)]와 같은 물리량을 하나의 정해진 값으로 표현하는 것보다는 선형적인 중첩이란 개념으로 표현하는 것이 미시세계를 다룰 때에 있어 더 적합하다는 사실이다. 선형적인 중첩이란 쉽게 말해 '확률'을 의미한다. 물리학자들은 확률적인 상태를 표기하기 위해서 위치, 운동량 등 모든 물리량의 확률 밀도 함수를 포함하고 있는 추상적인 대상인 양자 상태(quantum state)를 도입하였다. 이러한 양자 상태가 가지는 기본적인 성질이 바로 이 문서에서 다루게 될 내용이며, 이는 양자 이론을 전개하는 데에 필수적인 기반이 된다.
역사적으로 보면 양자현상의 발견 이후에 양자역학의 공리가 등장하였다. 예를 들어 케플러 법칙이 먼저 나온 후 이를 통해 뉴턴이 만유인력의 법칙을 정립하였지만, 고전역학에서 설명할 때는 대부분 만유인력의 법칙을 통해 케플러 법칙을 유도한다. 이 방법이 수학적으로 더욱 깔끔하기 때문이다. 마찬가지로 여기 나오는 양자역학의 공리들도 양자역학 이론을 가장 체계적이고 아름답게 정리하기 위해서 '선정된' 것일 뿐, 실제 역사를 따지자면 흑체 복사, 광전 효과 등(틀:양자역학의 '배경'에 있는 실험들)이 시간적으로 먼저이다.
이는 양자역학 같은 관측이 불가능한 영역에서는 귀납법을 사용할 수 없고, 연역법을 사용할 수밖에 없기 때문에 나타나는 과학적 현상이다. 일반적인 교육은 진리를 배우고 그 진리의 이유 혹은 진리로 인해 파생되는 여러 영향을 배운다. 하지만 양자역학은 '진리'를 먼저 관측할 수 없기 때문에 양자에 대한 여러 수학적인 모델이 등장하였고, 이후 연구를 통해 뒤늦게 '양자역학의 공리(진리)'가 등장한 것이다. 그래서 이제는 양자역학의 공리부터 배우고 그 후에 여러 수학적 모델로 양자에 대해 배우고 연구하는 것이다.
2. 디랙 표기법
양자역학 관련 문헌에선 [math(\left| \psi \right>)]라든가 [math(\left< \psi \right| \!\hat{A} \!\left| \psi \right>)][1]같은 표현을 자주 사용한다. 이 특별한 기호는 양자 상태를 나타내기 위해 폴 디랙이 고안한 벡터의 표기법으로, 디랙 표기법(Dirac notation) 또는 브라-켓[2] 표기법(bra-ket notation)이라고 한다. 이 표기법의 특징은 벡터를 [math(\vec{v})]도 [math(\mathbf{v})]도 아닌, [math(\left| v \right>)]로 표기한다는 것이다. 양자 상태는 기본적으로 벡터이기 때문에, 디랙 표기법은 벡터의 표기법인 동시에 양자상태를 나타내는 표기법이다. 학부 과정에선 양자역학에서 볼 수 있는 표기법인데, 이게 대학원 과정으로 가면 그야말로 약방의 감초 격으로 광범위하게 쓰인다.벡터뿐만 아니라 벡터의 내적이나 연산자를 포함한 수식도 디랙 표기법으로 나타낼 수 있는데, 자세한 정의는 다음과 같다.
| 디랙 표기법 | 관습적인 벡터 표기 | 행렬 표기 | 함수 표기 [3] |
| [math(\left| b \right>)] (켓) | [math(\vec{b})] 또는 [math(\mathbf{b})] | [math(\begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \end{pmatrix})] | [math(g(x))] |
| [math(\left< a \right|)] (브라) [4] | [math(\vec{a} \cdot \left\{ \quad \right\} )] 또는 [math(\langle \mathbf{a}, \left\{ \quad \right\} \rangle )] | [math(\begin{pmatrix} a_1^* & a_2^* & \cdots & a_n^* \end{pmatrix})] [A] | [math(\displaystyle \int_{a}^{b} {f^* (x) \left\{ \quad \right\} \mathrm{d} x})] [A] |
| [math(\left< a | b \right>)] [A] | [math(\vec{a} \cdot \vec{b} )] 또는 [math(\langle {\bold a}, {\bold b} \rangle )] | [math(\displaystyle \begin{pmatrix} a_1^* & a_2^* & \cdots & a_n^* \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \end{pmatrix} = \sum_{k=1}^{n}{a_n^* b_n} )] [A][9] | [math(\displaystyle \int_a^b {f^*(x) \,g(x) \,\mathrm{d}x})] [A] |
여기서 벡터 [math(a)]와 [math(b)]의 내적을 홑화살괄호(bracket)를 써서 [math( \left< a | b \right> )]로 나타내기 때문에 브라-켓 표기법이라는 이름이 붙었다. "bracket"을 반으로 쪼개서 왼쪽 부분인 [math( \left< a \right| )]를 브라(bra), 오른쪽 부분 [math( \left| b \right> )]를 켓(ket)이라고 부른다.
당연하지만, 디랙 표기법은 내적 공간의 벡터를 나타내는 표기법이기 때문에, 내적 및 벡터 공간 문서에 있는 모든 성질 및 정의들을 그대로 사용할 수 있다. 예를 들어,
- 덧셈: [math(\left| a \right> + \left| b \right> = \left| c \right>)], [math(\left| a \right> + \left| 0 \right> = \left| a \right>)]
- 스칼라 곱: [math(c \left| a \right> = \left| a \right> c )], [math(1 \left| a \right> = \left| a \right> )], [math(0 \left| a \right> = \left| 0 \right> )]
- 수반 연산자: [math( (\left | b \right>^*)^T = \left | b \right>^{\dag} = \left< b \right|)]
- 켤레 대칭성: [math( \left< a | b \right>^* = \left< b | a \right>)]
- 양의 정부호성: [math( \left< a | a \right> \geq 0 )]
- 노름(norm): [math( \| \left| a \right> \| = \sqrt{\left< a | a \right> })]
디랙 표기법에서 [math(\left| \quad \right>)] 안에 들어가는 것은 어디까지나 켓 벡터의 "이름"이다. 코딩에 비유하자면 켓 안에 있는 것은 문자열(str)형, 밖에 있는 것은 실수(float)형이다. 예를 들어 [math(\left| a+b \right>)]는 [math(a+b)]의 값을 가지는 것이 아니라, [math(\overrightarrow{a+b})]처럼 벡터의 '이름'이 "[math(a+b)]"인 것이다. 따라서 [math(left| 1+1 right> = left| 3 right> )]라고 써도 수학적으로는 문제가 없다. 물론 이것은 당연히 좋지 않은 표기법이다. 기호는 언제나 편의성을 위해 만든 것이기 때문에 언어의 사회성을 고려하여 벡터의 이름도 말이 되게 짓는 것이 좋다. 예를 들어 켓 벡터가 [math(\hat{A})]의 고유벡터면 고윳값 [math(a)]를 이름으로 사용하여, [math(\hat{A} \left| a \right> = a \left| a \right>)]라고 표기하는게 일반적이다.
3. 양자 상태(quantum state)
이렇게 디랙 표기법을 만든 것은 결국 양자 상태라는 것을 수학적으로 나타내기 위함이다. 양자 상태는 어떤 대상의 물리적인 정보를 나타내는 추상적인 표현이다. '양자' 상태라고 불리는 것 때문에 아주 작은 미시 세계의 입자만 표현한다고 생각이 들 수도 있지만, 사실 ‘양자’라는 단어의 뜻은 입자나 크기 등과는 어떤 관련도 없기 때문에 양자 상태는 모든 대상을 표현할 수 있다. 예를 들어 하나의 전자도 양자 상태를 가지고, 물 분자도 양자 상태를 가지며, 심지어 고양이나 우주 전체도 하나의 양자 상태로 가진다고 말할 수 있다. 이렇게 양자 상태로 나타내고자 하는 대상을 계(system)라고 한다.기본적으로 고전 물리학에서 입자나 계를 분석할 때, 그 대상을 기술하기 위해 필요한 것은 위치, 속도, 질량, 필요하다면 전하량 정도가 있었다. 이 중에서 양자 상태가 담고 있는 정보는 위치와 속도이다. (정확히는 위치와 운동량을 담고 있다.) 여기에 필요에 따라 스핀이나 색깔, 맛깔과 같은 정보를 포함하기도 한다. 문제는 그 유명한 불확정성 원리에서 말하는 것처럼 위치와 운동량을 정확히 하나의 값으로 가지는 것은 불가능하다는 점이다. 따라서 양자 상태는 위치와 운동량의 확률 밀도 함수를 포함해야 한다. 그러면 어떻게 두 가지의 확률 밀도 함수를 하나의 상태에 담을 수 있을까? 예를 들어 위치의 확률 밀도 함수를 [math(X)], 운동량의 확률 밀도 함수를 [math(P)]라고 하면 순서쌍 [math((X,P))]는 두 함수를 모두 담고 있다. 아니면 [math(X+iP)]처럼 두 함수를 복소수의 실수부와 허수부에 담는 방법도 있을 것이다. 하지만 이런 방법들은 그냥 [math(X)]랑 [math(P)]를 따로따로 취급하는 거랑 별 다른 의미가 없을 것이다.
물리학자들은 이러한 정보를 효과적으로 양자 상태에 저장하기 위해서 선형대수학의 언어를 빌렸다. 양자 상태를 힐베르트 공간의 원소인 벡터로 표현한 것이다. 바로 이것이 디랙 표기법에 등장하는 켓 벡터 [math(\left| \psi \right>)]이다. 이렇게 벡터로 표기했을 때의 장점은 기저(basis)를 어떻게 설정하느냐에 따라 성분이 위치가 될 수도 있고 운동량이 될 수도 있다는 것이다. 특히 위치 기저에서는 벡터의 성분을 바로 파동함수라고 하며, 이것의 절댓값의 제곱이 위치 확률 밀도가 된다. ('절댓값'을 취하는 것에서 알 수 있듯이, 운동량에 관한 정보는 복소수의 편각 부분에 저장되어 있다.)
폰 노이만은 양자상태가 이루는 공간이 분리 가능한 힐베르트 공간(separable Hilbert space)이라는 점을 양자역학의 공리로 삼았다. 분리 가능하다는 것은 조밀한 가산 부분집합이 존재한다는 의미이며 임의의 양자상태를 언제나 셀 수 있는 기저들로 표현할 수 있다는 점을 보장하는 성질이다.
물리적 개념의 양자 상태는 사실 수학적으로 표현하는 방법이 딱 하나로 결정되지는 않는다. 임의의 복소수 [math(c \neq 0)]에 대하여 [math(c \left| \psi \right>)]는 같은 양자 상태를 의미한다. 예를 들어 어떤 입자의 양자 상태가 [math(\left| \psi \right>)]라면 [math((2-3i) \left| \psi \right>)]도 같은 양자 상태가 되는 것이다. 다만 계산의 편의성 등을 고려했을 때 양자 상태는 그 크기가 1일 때가 가장 다루기 쉽다. 즉 [math(\left< \psi | \psi \right> = 1)]이어야 한다. 이렇게 양자 상태의 크기(노름)을 1로 만드는 것을 규격화(normalization) 또는 정규화라고 한다. 물론, [math(\displaystyle e^{i \theta})] 꼴의 복소수는 모두 크기가 1이기 때문에, 파동함수에 이런 형태의 복소수를 곱한 것이 물리적인 의미를 갖지는 않는다. 다만, [math(\displaystyle \left| \psi \right> + e^{i \theta} \left| \phi \right>)]와 같이 두 양자상태의 선형결합에서는 상대적 위상이 의미가 있다.
4. 중첩의 원리
중첩의 원리(Superposition Principle)는 양자상태들의 선형 결합이 하나의 양자 상태가 된다는 원리이다. 수학적으로 보면 힐베르트 공간의 원소 끼리의 합이 힐베르트 공간의 원소가 되기 때문에 나타나는 원리라 볼 수 있다. 1926년 슈뢰딩거가 처음 도입했지만 슈뢰딩거 자신은 중첩의 원리에 대해 반감을 가지고 있었기에 이를 에둘러서 표현했다. 1930년 폴 디랙과 1932년 폰 노이만이 수학적 표기법을 정립하면서 양자역학의 기본적인 성질으로 자리잡았다. 중첩의 원리는 고전역학과 양자역학의 커다란 차이점이다. 양자역학에선 슈뢰딩거의 고양이와 같은 중첩을 양자상태로 취급 가능하지만과 고전역학에선 그러한 중첩은 불가능하다.중첩의 원리가 가지는 물리적인 의미는 양자역학의 해석마다 다르다. 코펜하겐 해석은 중첩되는 것은 실재가 아니라 추상적인 상태일 뿐이며 관측되었을 때에 실체를 가진다고 보았다. 앙상블 해석은 개별적인 상태들은 중첩을 겪지 않으며 앙상블 내에서 독립적으로 존재한다고 주장한다.
5. 관측가능량(observable)
관찰되는 물리량이다. 양자상태에서 얻을 수 있는 물리량은 특정한 형태로 제한되어 있으며 양자상태 그 자체는 직접 관측할 수 없다. 양자역학에서 관측가능량은 에르미트 연산자로 나타낸다. 가관측량(可觀測量)으로도 불린다.6. 측정(measurement)
어떤 물리량(연산자)를 측정한다는 것은 양자 상태를 측정하려는 연산자의 고유상태(=고유켓=고유벡터) 중 하나로 사영(projection)하는 것이다. 이는 불연속적이며 비가역적인 과정이다.연산자 [math(\hat{A})]를 [math(\hat{A}=\sum_n a_n\left| a_n \right>\left<a_n\right|=\sum a_n \hat{P_n})]이라고 하면, [math(\left| \psi \right>)]를 측정했을 때 [math(a_n)]이 측정된 후의 양자상태는 [math(\hat{P_n}\left|\psi \right> )] 이고 [math(a_n)]이 측정될 확률은 [math(\| \left< a_n | \psi \right> \|^2 )]이다.
더욱 일반적인 경우에 대해 설명하기 위해 밀도행렬([math(\rho)])으로 표현하면 측정은 순수상태를 혼합상태로 변화시키고 엔트로피를 증가시키는 것이다. 측정 후의 양자상태는 [math(\hat{P_n}\rho\hat{P_n} )] 이고 그 확률은 [math(\text{Tr}\left(\hat{P_n}\rho\hat{P_n} \right))] 이다.
측정 후에도 양자상태는 사라지는게 아니라 변형되어 엔트로피가 커진 형태로 계속 존재한다. 코펜하겐 해석에서는 측정되지 않은 나머지 양자상태들을 없는 샘 치기 때문에 파동함수가 붕괴된다고 말하는 것이다. 측정을 양자상태의 비가역적 변화로 보는 관점은 1927년 하이젠베르크가 처음 주장했다. 위와 같은 측정의 수학적 정의는 1932년 폰 노이만이 제안하였고, 게르하르트 뤼데르스(Gerhart Lüders)가 체계적으로 정리하였다.[11] 코펜하겐 해석에서 수학적으로 유도하지 않고 받아들이고 있는 공리 중 하나이다. 뤼데르스의 정의는 연속적인 측정값을 가지는 측정에는 적용하기 힘들기 때문에 이를 확장시킨 측정의 정의도 제안되어 있다.
7. 상태의 합성
계 [math(A)]의 양자 상태가 힐베르트 공간 [math(H_A)]에 있는 켓 [math(\left| a \right>)]이고, 계 [math(B)]의 양자 상태가 [math(\left| b \right> \in H_B)]이면, [math(A)]와 [math(B)]를 함께 나타내는 양자 상태는 두 상태의 텐서곱인 [math( \left| a \right> \otimes \left| b \right>)]으로 나타내며, 간단하게 [math( \left| a \right> \left| b \right>)]로 나타낼 수 있다. 이때 이 상태는 힐베르트 공간 [math(H_A \otimes H_B)]의 원소이다.텐서곱으로 합성된 상태가 또다른 상태들의 직합으로 표현되기도 한다. [math( \left| a \right> \otimes \left| b \right> = \bigoplus \left| c \right> )] 이러한 전개는 리 대수의 표현론과 깊은 상관을 가진다.
[1] 양자역학에서는 이 표시를 전이 진폭이라고 한다.[2] 홑화살괄호[3] [math( [a,b] )]에서의 내적 공간[4] 브라는 일종의 연산자로서, 항상 오른쪽에 벡터 또는 연산자가 와서 '내적'되기를 기다린다. 그 대상은 오른쪽 표기법에서 중괄호 { } 안에 들어간다.[A] 별표(*)는 물리학에서 켤레복소수(complex conjugate)를 의미하며, 복소수를 성분으로 가지는 벡터의 내적은 항상 왼쪽에 켤레를 취한다. 수학에서는 켤레복소수 표현으로 윗줄([math(\overline a)])을 사용하며, 윗첨자 별표는 전치까지 취한 수반 연산자의 의미로 쓴다. 대조적으로 물리학에서는 수반 연산자를 칼표 윗첨자([math({}^{\dag})])로 쓰며 디랙 표기법 못지 않게 양자역학에서 엄청나게 많이 쓴다.[A] [A] [A] [9] 본디는 행렬곱의 결과로 나오는 1차 정사각행렬에 행렬식을 취해야 하나 편의상 생략한 것이다.[A] [11] Lüders, G., Über die Zustandsänderung durch den Meßprozeß. Ann. Phys. 443, 322 (1950). Lüders, G., Concerning the state-change due to the measurement process. Ann. Phys., 15 663 (2006)