2009 개정 교육과정/수학과/고등학교/미적분Ⅰ

1. 개요

2. 상세

2.1. 교과 내용

2.1.1. Ⅰ. 수열의 극한

• 수열의 극한: 어떤 수열의 항의 번호가 계속 커질 때 그 값은 어떻게 변화하는지 알아보는 것. 그 특정 값에 가까워지거나 특정 값 그 자체가 된다면 수렴이라 하고, 그렇지 않은 것들(주로 양의 무한대로 발산, 음의 무한대로 발산, 진동하는 경우)을 다룬다. 어떤 두 수열이 수렴한다면 서로 더하기, 빼기, 곱하기, 나누기에 한해서 수열의 극한값의 연산이 가능하다. 단, 나누는 수열은 0이 되어선 안 되며, 그 극한 값이 0이 되어서도 안 된다. 이에 대해서는 증명 없이 받아들이도록 서술되어 있으며 이 명제들을 기반으로 수열의 극한값의 계산을 다룬다. 최소 대학교 미적분학 정도는 끌어와야 증명이 가능하다. 고등학교 미적분 내용 중에는 대학교 미적분학으로도 증명이 어려워서 수학과 2학년 과정인 해석개론 정도는 끌어와야 증명이 가능한 내용도 일부 있다.(예: 최대-최소 정리, 사이값 정리) 극한의 성질을 정확하게 아는 것이 중요하다. 수열의 수렴과 발산, 수열의 극한값의 계산, 등비수열의 극한, 크게 이 3가지 부분에 대해서 공부한다. 기존에는 무한수열의 극한이라는 제목이였으나, 수열의 극한으로 명칭이 변화되었다.

• 급수: 어떤 수열의 n번째 항까지의 합, 부분합의 극한값. 어떤 수열을 계속해서 더했을 때 이 값이 어떻게 되는지를 다룬다. 어떤 수열의 급수가 수렴할 시, 그 수열은 0으로 수렴한다. 단, 역은 성립하지 않으니 주의해야 한다. 예를 들면, 수열 1/n의 경우, n→∞ 일때 극한값이 0이지만 급수는 발산한다. 기존의 무한(등비)급수가 (등비)급수라는 명칭으로 변경되었다. 그런데 급수라는 단어 자체는 유한이란 뜻도 포함하기 때문에 급수라고 부르는 것은 적절하지 않다. 유한수열에는 극한이 없기 때문. 이 부분에서 거의 매번 나오는 내용으로는 무한등비급수의 도형활용 문제가 있다. 공비와 초항을 구하는 것이 관건이며, 어려운 문제에서는 공비와 초항을 구하기 위해 중학교 도형에 나오는 내용을 총동원하기도 한다.[2]

2.1.2. Ⅱ. 함수의 극한

• 함수의 극한: 좌극한과 우극한의 기호가 변경되었다. 기존에는 x=1에서의 우극한이 "x→1+0"이었다면 이제는 0자를 빼고 "x→1+"로 쓴다. x=0일때의 좌극한과 우극한은 각각 "x→0-" 과 "x→0+"로 표시한다. 여담으로 선진국이나 대학 과정에서는 x→1^-, x→1⁺로 표시한다. 인문 계열 수준에서는 미적분 과목이라 해도 끽해야 다항함수만 다루기 때문에, 인수 분해에 능하다면 반 이상은 먹고 들어간다. 좌극한과 우극한이 같아야 '극한이 존재한다.'라는 표현을 쓸 수 있다는 것과, 함숫값이 없다고 그 점에서 극한이 없는게 아니라는 점에 주의해야 한다. 어떤 두 함수가 x가 a로 가까이 갈 때, 각각 유한하고 일정한 값을 극한으로 갖는다면 수렴하는 두 수열의 극한과 유사하게 서로 더하기, 빼기, 곱하기, 나누기에 한해서 두 함수를 사칙연산해서 얻은 함수값의 극한의 연산이 가능하다. 다만, 나누는 수열이 0이 되선 안 되며, 그 극한 값이 0이 돼서도 안 된다. 이 부분도 사실은 대학교 미적분학은 가야 증명이 가능한 관계로 고등학교 과정에서는 증명 없이 옳다고 인정하고 받아들여야 한다. 여기서 로피탈의 정리라는 꼼수를 내신 서술형, 논술에서 쓰면 감점 요인으로 작용할 수 있다.[3]

• 함수의 연속: 어떤 x값에 대한 함수의 극한값과 함숫값이 같다면, 이 점에서 연속이라고 정의한다. 여기서 극한값 존재와 헷갈릴 수 있다. 그래프 상에서 극한은 구멍이 뚫려있어도 한 곳으로 모이면 존재한다고 정의할 수 있지만, 연속은 극한값 존재라는 조건 뿐만 아니라, 그 구멍마저 메워져 있어야한다. 특히 전 구간에서 연속인 함수는 연속함수라고 한다. 어떤 구간에 연속인 함수끼리는 더하거나 빼거나 곱하거나 나누거나(나누는 함수는 0이 아니고 극한값이 0이 아니다) 해도 연속이다. 이러한 연속성을 배움으로서 왜 이전에 배운 함수의 극한에서 대입하는 것처럼 처리하는지 이해할 수 있다. 합성함수에 대해서 극한과 연속성을 따지는 문제 유형도 있다. 자연계열의 경우 미적분Ⅱ에서 배우는 대부분의 함수들이 합성함수들이기 때문에 중요하다. 기존에 중간값의 정리로 배웠던 내용이 사이값 정리로 명칭이 바뀌었지만, 명칭이 바뀐 것 외에는 차이가 없다.

2.1.3. Ⅲ. 다항함수의 미분법

• 미분계수와 도함수: 증분과 순간 변화율(미분계수), 미분 가능성을 정의하고, 이후 미분법의 공식과 곱의 미분법 등의 기초적인 미분법을 배운다. 미분계수를 머리 X나게 깨지면서 배우고 다음 챕터인 도함수의 활용에서 미분법을 알고 나면 "뭐야 미분 X밥이네.", "내가 이런거나 할려고 저런 복잡한 걸 배운거냐?"라고 생각할 수 있지만 절대로 미분계수의 정의인 [math(\displaystyle f'\left(a\right) = \lim_{x \to a}{f\left(x\right)-f\left(a\right) \over x-a}\ = \lim_{h \to 0}{f\left(a+h\right)-f\left(a\right) \over h})]을 소홀히 해서는 안 된다. 미분계수의 정의와 표현식의 암기와 유도과정의 이해가 세트로 이루어져야 한다. 미분법 안다고 이거 대충 알고 있다가 모의고사 문제에서 탈탈 털릴 수 있다. 특히 f(x+y)=f(x)+f(y) 등으로 제시되는 문제는 저 미분공식을 반드시 숙지해야만 풀수있다.꼬우면 편미분 하던가[4]

• 도함수의 활용: 고등학교 문과 수학의 최종보스. 크게 보면 접선의 방정식, 평균값 정리, 함수의 증가와 감소, 함수의 극대와 극소, 함수의 그래프와 최대/최소, 방정식과 부등식에의 활용, 속도와 가속도의 일곱개의 소단원을 배우게 된다. 미적분Ⅰ에서는 다항함수에 대해서만 다루고 초월함수 부분은 미적분Ⅱ에서 배운다. 추가로 음함수의 미분법, 매개변수 함수의 미분법이나 평면 운동에 대해서는 기하와 벡터(2009)에서 배운다.
• 접선의 방정식은 [math(y-f\left(a\right)=f'\left(a\right)(x-a))]으로 표현할 수 있다. 롤의 정리와 평균값의 정리는 공식만 외우고 있으면 문제를 풀이하는 데 별 지장은 없다.
• 함수의 증가와 감소는 함수 f(x)와 임의의 실수 a에 대하여 f'(a)>0이면 증가, f'(a)<0이면 감소이다. f(x)가 상수함수가 아닌 경우 f'(a)≥0이면 증가, f'(a)≤0이면 감소이다.
• 극대와 극소는 f'(x)=0해서 해당 2, 3차 방정식의 해가 곧 극대와 극소이다. 단, 그 해에서 좌우의 부호가 같은 경우 극값이 아닐 수도 있다. 헷갈리면 증감표를 그려보면 된다. 그래프의 개형이 도함수의 모양에 따라 천차만별이니 적어도 3~4차함수의 여러 가지 개형은 알아두자. 이과도 간접출제범위에 포함되어 21, 30번 등에서 다항함수와 연계시켜 자주 물어보는 편이므로 반드시 알고 있어야 한다.
• 최대와 최소가 힘든 편이다. 극댓값, 극솟값 다 구해서 닫힌구간 [a,b]에 대해 최댓값과 최솟값을 묻는 문제가 관건인데, 극대, 극소, 왼쪽 끝 함숫값, 오른쪽 끝 함숫값 4개를 다 구해야 풀수 있다. 어렵기보다는 귀찮고 복잡하다. 사실 그냥 쌩으로 함수의 구간에서의 최대 최소를 묻는 것보단 도형의 넓이같은 데에 연계되어 나오는 경우가 많은 편이다. 2017학년도 대수능 9월 모평 29번 같은 선지가 대표적. 이전에는 이런 문항도 자주 묻곤 했지만 최근의 기출경향에는 쭉 빠져있었던 지라 학생들이 많이 어려워 하는 편이다.
• 방정식과 부등식 파트는 그냥 풀면 되는데, 도함수를 통해서 극값 구한뒤 그래프의 개형을 대강 그려서 구해야 되는 유형이다. 함수를 보고 그래프의 개형을 그리는 연습을 반드시 하자. 함수의 증가/감소부터 방정식/부등식 파트까지 그래프 개형 그리기가 익숙해지면 매우 수월하게 문제를 풀 수 있다.
• 속도와 가속도는 위치 미분하면 속도, 한번 더 미분하면 가속도라는 것만 알면 된다. 변화율 활용 문제에서도 길이 넓이 부피 변화율 구할 때는 전부 미분 시키면 된다. 처음에는 헷갈릴 수 있지만 익숙해지면 제일 쉬운 부분이다. 앞서 언급했듯이 미적분Ⅰ의 킬러문항이 출제되는 단원이다. 이때까지 배운 도함수의 개념들을 총동원해서 그래프의 개형을 파악하고 문제를 해결해야 한다.

2.1.4. Ⅳ. 다항함수의 적분법

• 부정적분: 다항함수만 적분하기 때문에 식 하나만 외우면 나머지는 순수 계산 능력의 문제이다. 간혹 [math(\left(x+1\right)^5)]같은 합성함수의 부정적분을 구해야 할 때가 있다. 이런 경우는 치환 적분을 도입하는 것이 빠른데, 이것은 미적분Ⅱ에 있는 내용이니 필요하다 싶으면 찾아보도록 하자. 의외로 써먹을 데가 많다. 단, 수업 중 선생님이 사용해도 좋다는 말을 하지 않는다면 인문 계열 기준으로는 교육 과정 외이기 때문에 서술형에는 써먹지 않는 것이 좋다. 정석 풀이법을 가르쳐주긴 하지만, 이해하기에는 어려울 수 있다. 치환적분이나 정석이나 합성함수의 미분을 역이용하는 건 같다. 미적분1 킬러문제가 간혹 여기서 나오는 경우도 있다. 그런 경우는 사설문제이거나 미분의 활용도 같이 이용해야 하는 경우. 가끔 킬러 문제 중에서 역함수를 적분하라는 경우가 나오는데, 이 부분은 미적분 II의 적분법을 참고하자. 어지간하면 역함수를 구해서 무언가를 하겠다는 생각은 하지 않는 편이 좋다.

• 정적분: '구분구적법'으로 단원이 시작되는데, 이건 진짜 개념 이해 잘해야 된다. 안 그러면 뒤의 정적분과 급수 문제를 못 건드린다. 이것은 구분구적법 식을 정적분으로 환원시켜야 하기 때문이다! 적분 문제에 구분구적법을 쓸 일은 없겠지만, 수능 한정으로 반드시 물어본다는 것에 유의하기 바란다. 부정적분도 모자라 주어진 적분 구간을 대입해서 계산해야 되므로 레알 숫자 계산 싸움이 된다. 함수의 대칭성을 이용해야 하는 유형이 몇 존재한다. 특히 절댓값 그래프를 적분하라는 유형이 있으면 구간을 쪼개야 하므로[5] 더욱 귀찮다. 치환적분을 이용하면 쉽게 풀리는 문제도 가끔 나온다. 다만, 치환을 하는 순간 적분 구간이 바뀐다는 점에 주의해야 한다. 이것도 치환적분 부분을 찾아보면 자세히 나온다. 물론 치환적분은 앞에서 말했듯이 미적분Ⅱ 과정이다. '정적분과 급수'라는 소단원이 존재하는데, 이게 이 단원의 진정한 킬러다. 구분구적법에 의한 급수식과 정적분 식을 자유롭게 변환할 수 있어야 하는데, 상술한대로 구분구적법의 개념이 제대로 안잡혀 있으면 곤란하다. 여기서는 1/n을 dx, f(a+bk/n)을 f(x), 리미트랑 시그마를 인테그럴 로 해석하면 그나마 이해하는 데 도움된다.
  
• 정적분의 활용: 고등학교 문과 수학의 중간보스. 다항함수만을 이용한 도형의 넓이와 속도와 거리를 배운다. 이때 물리에서 쓰는 개념인 변위가 등장한다. 입체도형의 부피 관련 내용은 미적분Ⅱ에 있기 때문에 문과는 배우지 않는다. 도형의 넓이는 구간을 정해서 적분시킨 뒤에 수치 대입해서 풀면 되는데 자연수로 나오면 상관없으나, 분수로 나오면 상당히 귀찮다. 일일이 다 통분시켜서 계산해야 되기 때문에 실수도 있을 수 있으며 오차가 생길수도 있다. 포물선 넓이 공식은 [math(\displaystyle \int^{b}_a p(x-a)(x-b) dx = {\left| p \right| \over 6}(b-a)^3 )], [math(\displaystyle \int^{b}_a p(x-a)^2(x-b) dx = {\left| p \right| \over 12}(b-a)^4 )]인데, 서로 다른 두 실근을 가지는 이차함수 혹은 세 실근을 가지며 그 중 한 개가 중근을 가지는 삼차함수일 때만 쓰인다.저 공식들 말고도 매우 많은 경우에 쓰이는 넓이 공식이 대략 10개 이상 더있지만 그거 외우느니 적분 공식쓰는게 이로울 정도로 공식이 너무 많다. 교과서나 일반 문제집 어디를 뒤져도 그런 공식은 찾아보기가 힘들다. 강사진 중에 공식아는 사람이 간혹 있으면 그때 편법으로 알려줄 뿐이지..... 거리는 위치, 변화량, 거리 공식만 알고 있으면 해결하는데 지장은 없다.

2.2. 대학수학능력시험 수학 영역

• 과거에는 수열의 극한의 성질을 이용해서 명제의 참과 거짓을 판별하는 'ㄱ, ㄴ, ㄷ' 합답형 유형의 문제가 나오기도 했는데 상당히 헷갈리기 쉬웠다.
• 급수에 관한 단골 출제 문제는 등비급수 개념을 이용한 도형 문제가 있다. 매년 출제되었으나 2015학년도 수능에서 이 기록이 깨졌다. 하지만 다시 나오지 말라는 법은 없기 때문에 공부할 필요가 없다는 건 아니다. 미적분Ⅰ의 기출문제집들 상당수가 급수 파트에 이 유형을 무지하게 많이 때려박아둔다. 이 유형은 이론상으로 주어진 프랙털 도형 안의 삼각형, 원 등의 도형의 성질을 통해 첫째항과 공비를 구하고 식에 대입하면 끝이다. 그 첫째항과 공비를 구하는 과정이 한숨이 나오는 경우가 허다하다. 이 속에 숨어있는 닮음비를 구해내는 게 관건인데 도형의 형태에 따라 첫째항이 좀 더럽게 나오는 경우가 있으니 계산을 조심해야 한다. 닮음비가 바로 나오지 않는다면 좌표평면을 그려보는 것도 방법이다. 그 외에 닮음이 아닌 경우도 종종 있으니 규칙성을 파악할 때 주의해야 한다. 2010학년도에는 6월, 9월 모의고사 모두 3점으로 출제한 바가 있다.
• 다항함수의 극한 관련 문제는 수학Ⅰ(2009)에서 나머지 정리와 인수정리를 이용한 간단한 인수분해를 잘 익혔다면, 전국연합학력평가나 수능 모의평가 2, 3점으로 출제되는 문제들의 풀이 시간을 20 ~ 30초는 아낄 수 있다. x→a일때 f(x)의 극한값(0/0꼴로 나타내어지는 f(x))을 구하라는 문제를 풀 때 쏠쏠히 써먹을 수 있는 것이다. 예를 들어 "f(x)=(x²+ax+b)/(x-1)에서 x가 1로 수렴할 때의 극한값이 4라고 할때 a²+b²=?" 같은 문제를 풀때, 인수분해를 익혔다면 f(x)의 분자를 (x-1)(x-b)로 인수분해된 식으로 놓은 다음 1-b=4라고 놓고 b=-3이라 구한 뒤 인수분해식 전개하여 a=2를 구할 수 있겠지만, 완벽히 기본기를 다지지 못한 학생은 그 문제가 나오면 x=1을 분자에 대입해서 1+a+b=0이라고 생각한 뒤 b=-a-1을 대입한 뒤에나 인수분해를 하게 되어 시간을 잡아먹게 될 수도 있다.
• 하지만 윗부분만 쓰고 정의를 까먹었다간 피를 본다. 가령 무리식의 유리화라던가, f(x)가 삼차식 이상일때는 원래의 정의를 쓰는것이 좋다. 인수분해로 푸는 방법은 어디까지나 보조 방법이므로, 절대로 정의를 까먹어서는 안된다.
• 수능 문제에서 로피탈의 정리를 썼다가 되려 피보는 문제도 간혹 있다. 이런 경우 정의를 있는 그대로 사용하라는 경우인데, 로피탈을 쓰다가 너무 꼬인다 싶으면 정의대로 하자. 물론 21번 혹은 30번 이전에서는 그런 수준의 문제는 거의 나오지 않으며, 로피탈을 써서 틀리는 경우는 대부분 무리식을 유리화해서 푸는 대신 로피탈을 써서 풀다가 그러는 경우가 많다. 그 이유는 미적분 II에서 미분법을 참고하자.
• 어떤 점에서 불연속을 따지는 문제 유형의 경우, 어떤 점에서 불연속인 함수끼리 연산하더라도 그 점에서 연속인 함수가 생길 수 있다. 각각의 함수의 극한 여부, 함숫값 여부를 따져서 그 점에서 연속인지 극한값이 존재하는지 따지도록 한다. 추천하는 방법은 선 함숫값 후 극한이다. 함숫값이 없는 점은 무조건 불연속이기 때문에, 극한을 따지는 것보다 훨씬 빠르게 배제가 가능하기 때문이다.
• 함수의 연속성 파트에서는 등비수열의 극한 내지 등비급수로 주어지는 함수들도 있다. 등비수열의 극한꼴로 나오는 함수들의 경우 x=-1, 1에서 연속 유무를 살펴보면 된다. 등비급수의 경우는 조금 더 복잡한데 보통은 공비가 -1<r<1을 벗어나지 않으니 첫항이 0이 되는 지점을 조심해서 살펴보자.
• 미분계수 파트에서는 조건을 주고 이걸 이용해서 풀라는 문제나 합답형 유형에서 미분계수가 중요해지는 경우가 많다.
• 미분의 활용 파트에서 주어진 조건에 맞춰 함수를 추론하여 해결하는 문제가 최고난도 문항으로 빈번하게 출제되었다. 예를 들면 2015학년도 수능 수학A형 21번. 익숙해지면 손쉽게 해결 가능한 문제들이니 충분히 준비하자.
• 2017학년도 수능 부터 나형은 미적분이 30번에 나오게 되었다 이에따라 21번은 수2에서 나온다. 가형과 달리 나형은 29번에서 킬러를 내지 않는다.
• 정적분과 급수 파트의 경우, 수학 나형 기준으로 무조건 4점이다. 물론 반드시 급수식과 정적분식을 서로 변환해야만 풀 수 있는 것은 아니다. 대부분의 문제는 급수식을 주고 그걸 계산한 결과를 구하라고 하는데, 그냥 단순무식하게 식을 전개해서 시그마 돌린 다음에 극한 때려도 답이 그대로 나온다. 그냥 계수가 1인 k에 대한 t차항을 0부터 n까지 돌리면 계수가 t+1인 k에 대한 t+1차항이 나온다는 것만 알면 그대로 풀 수 있다.그러나 그짓거리도 사관학교 문제로 까지 넘어가 버린다면 그냥 공식으로 푸는게 더 편할정도로 함숫값이 복잡해지니 과정은 알아놓자....

2.3. 여담

• 이 교과목과 함께 새롭게 신설된 교과목에는 미적분Ⅱ가 있다. 눈치가 빠르다면 어느 정도 예상했을 수도 있지만, 미적분Ⅰ에서는 다항함수의 미적분을 다루고 미적분Ⅱ에서는 초월함수의 미적분을 다루게 된다. 문과 학생들은 미적분Ⅰ을 이수한 뒤 확률과 통계만 배우면 수능 범위가 모두 끝난다. 다만 수능직접출제범위는 신설 이전의 과목의 분량보다 많다. 물론 이과에 해당하는 학생들은 미적분Ⅰ과 미적분Ⅱ를 모두 배우게 된다. 당연하게도 미적분Ⅱ는 미적분Ⅰ을 선이수해야 하는 선택 이수과목이다. 참고로 절대로 이과생은 미적분Ⅰ을 소홀히 해서는 안 된다.[6] 그리고 미적분Ⅰ을 잘 해놓으면 미적분II가 정말 쉽다. 특히 미분법이나 적분법을 할 때 미적분Ⅰ이 잘 되어있으면 이해가 어느정도 쉽게 되는편.
• 2017년 수능부터 적용되는 과목이다. 문과가 볼 나형의 출제범위는 수학Ⅱ, 확률과 통계, 미적분Ⅰ로 확정되었다. 수능 개편 논의 당시 문과와 이과의 실질적인 구분 자체를 없애는 방안이 나왔으나, 문이과의 실질 통합이 시기상조라는 여론이 우세해 최종적으로는 통합이 유보되었다. 미적분 두 과목이 수능 수학의 난이도/시험범위 구분 자체가 철폐될 경우 모두 수능 수학의 필수 과목으로 지정될 가능성도 있었으나, 개편안의 완화에 따라 자연스레 취소.(대학수학능력시험/역사의 2017 수능 개편안 단락 참조)
• 이 교과에서 다루는 내용은 2007년 개정 교육과정에서 여러 권의 교과서에 분할되어 있었다. 즉 과거 B형 선택자 기준으로 미적분은 수학 Ⅱ와 적분과 통계로, A형 선택자 기준으로는 미적분과 통계 기본으로 이원화되어 있었다. 2011년 교과 교육과정에서 현재와 같게 바꾼 것이, 이런 점을 해소하기 위한 조치로 보인다.
• 이 과목의 의의는 문과생들에게는 미적분의 기본적인 개념을 심어주는 것이고, 이과생들에게는 미적분Ⅱ에 나오는 심화 내용을 배우기 위한 발판이다. 다만, 문과생이라 해도 상경계으로의 진학으로 고려하거나 상경계를 전공한다면 고교 문과 수학에서 다루는 미적분은 상경계 수학에서 다루는 미적분의 일부라는 점을 유의해야 한다. 대학 상경계 수학(경제수학, 경영수학)에서 다루지만 고교 문과수학에서 빠진 미적분 중에 초월함수(로그함수, 지수함수)의 미적분은 이과용 과목인 미적분Ⅱ에 나오는 부분이고, 음함수와 매개변수의 미분은 이과용 과목인 기하와 벡터에 나오는 부분이고, 편미분은 고급 수학Ⅱ에 등장하며, 전미분법은 대학에서나 배우는 것들이다. 물론 미적분Ⅰ에 나오는 다항함수의 미적분은 미적분의 기본이므로 상경계 지망자라면 제대로 공부해두는 것이 좋다.
• 수능/모평에 출제될 때 개정 전 미통기 시절보다 어렵게 출제될 것이라는 게 중론이다.[7]미분 파트부터 어떻게 나올지는 6평 뚜껑을 따보면 가닥이 잡힐 듯.....이었지만 평가원이 본수능에서 어떤 방향으로 출제될지 예측 못하도록 연막을 친 건지 최소한의 변별을 위한 몇 문제 빼고 나머지는 배점 불문 상투적인 개념문제 수준의 문제들만 포진한 하품나오는 난이도로 6평을 출제해 9평을 기다릴 수밖에 없게 되었다... 만 9평 역시 평이한 난이도로 출제 되었다. 허나 21번 문제[8]가 굉장히 어려운 난이도로 출제되어 수능의 난이도를 가늠하기 더더욱 어렵게 되었다.
• 미적분I, II를 배우고 있는 고2, 고3 학생들은 로피탈의 정리 사용은 지양하자. 단순한 계산뻘짓인 로피탈 정리를 본 시험에서 써도 되긴 하지만, 수학적 사고력을 기르는 과정에서 로피탈 정리를 쓴다는 것은 사고력을 죽여놓는거다. 아니 사고력 죽이기 이전에도 로피탈은 계산 실수가 나오기 가장 쉬운 편법이다. 그래서 시험이 아닌 자습시간이나 다른 시간에 미적 I, II를 공부하고 있다면 로피탈 정리를 좀 지양하자. 특히나 이과는 로피탈 정리로 답이 안나오게 내는 경우가 있으니 주의. 이과 뿐만 아니라 문과도 마찬가지로, 다항함수에서도 로피탈이 적용되지 않는 꼴이 나올 수 있다. 그냥 문과라면 조용히 조립제법을 쓰도록. [9]
• 다음 교육과정에서는 이 교과서에서 수열의 극한(미적분 과목으로 이동)만 빠진 채로 명칭이 수학Ⅱ로 바뀐다. 기존의 수학Ⅱ는 공통 수학과 수학Ⅰ로, 미적분Ⅱ는 로마숫자가 빠진 미적분으로 대체된다.