1. 개요
소파 옮기기 문제 / Moving sofa problem[1]
폭이 1m이고 직각 커브가 있는 복도를 지날 수 있는 도형의 최대 넓이를 구하는 문제이다.
난제 치고는 굉장히 이해하기 쉽고 간단하지만, 답을 내는 것은 전혀 그렇지 않아 아직까지 풀리지 않은 고전 난제이다.
2. 역사
오스트리아의 수학자 레오 모서가 1966년에, '폭이 1m이고 직각 커브가 있는 복도를 지나 갈 수 있는 소파의 크기는 최대 몇 m²인가'라는 질문을 한 것이 이 문제의 시작이다.여기서 소파는 도형이기만 하면 어떤 형태든 상관이 없으며, 3D가 아닌 2D로만 따지기에 높이나 기울이는 방법 등은 고려하지 않는다.
3. 하한선 분석
우선 직관적으로 떠올릴만한 도형들로는 다음과 같은 것들이 있다.| 도형 이름 | 설명 | 넓이 |
| 선분 | 길이가 [math(2\sqrt2)] m | 0 |
| 직각이등변삼각형 | 빗변을 제외한 변들이 [math(\sqrt2)] m | 1 m² |
| 정사각형 | 한 변의 길이가 [math(1)] m | 1 m² |
| 원 | 반지름이 [math(\dfrac 12)] m | [math(\dfrac 14 \pi)] m² |
| 반원 | 반지름이 [math(1)] m | [math(\dfrac 12 \pi)] m² |
이들은 어디까지나 간단한 도형으로 대충 어느 정도 넓이가 나오는지에 대한 예시일 뿐이다. 실제 문제에서는 어떤 형태든 간에 최대의 넓이를 가지는 도형을 찾는 것이 이 문제의 핵심이다.
3.1. 헤머슬리 소파
John Hammersley가 제시한 소파. 반지름이 1m인 반원을 사분원 2개로 만들고 그 2개를 [math(\dfrac 2π)]m² 만큼 잘린 1m²의 정사각형으로 이은 모습이다. 넓이는 [math(\dfrac π2+\dfrac 2π)](m²), 약 2.2074m²이다.
3.2. 게르버의 소파
1992년 Joseph L. Gerver라는 수학자가 제시한 답이다. 언뜻 보면 헤머슬리의 소파와 유사하지만 자세히 보면 총 18개의 곡선으로 구성되어있다. 헤머슬리의 소파에서 어떻게든 늘릴 수 있는 공간을 늘린 형태라고 할 수 있다. 넓이는 2.2195m²으로, 고작 0.01m² 정도긴 해도 더 넓다.
게르버의 소파의 넓이를 구하는 과정은 여기에서 볼 수 있다.
이 소파는 어디까지나 현재까지 알려진 가장 큰 소파일 뿐이다. 즉, 이 소파나 혹은 이보다 큰 어떤 소파를 가지고 '이것보다 더 큰 소파는 존재하지 않는다'라는 것까지 증명해내야지만 완전히 풀렸다고 할 수 있는 것이다.
3.3. 좌우이심 소파
위 도형들은 우회전이나 좌회전 둘 중 하나밖에 안 되기에, 복도에 우회전과 좌회전 코너가 둘 다 있을 경우에는 통과가 불가능하다. 그래서 우회전과 좌회전 모두 되는 소파를 구하는 파생 문제의 해답으로 Dan Romik이 제시한 소파.[2] 넓이는 약 1.645m²으로 위 도형들의 0.8배 정도이다. 이 소파의 넓이 공식은 아래와 같다.
| [math(S = \sqrt[3]{3+2\sqrt2}+\sqrt[3]{3-2\sqrt2}-1+\tan^{-1}{{\dfrac 12(\sqrt[3]{\sqrt2+1}-\sqrt[3]{\sqrt2-1})}})] |
물론 이것 역시 게르버의 소파처럼 현재까지 알려진 가장 큰 소파일 뿐 가장 크다고 증명해내진 못했다.
4. 상한선 분석
헤머슬리는 이 문제의 해답이 [math(2\sqrt2)] m² 를 초과할 수 없음을 증명하였다. 이후 2018년, Yoav Kallus와 Dan Romik은 이 문제의 정답은 이론상 2.37 m²까지일 것이라는 증명을 내놓았다.다만 이것 역시 어디까지나 이것보다 크게는 못 한다는 증명이지, 실제로 상한선의 넓이가 되는 소파를 제시하지는 못했다.
5. 증명?
2024년 11월 29일 연세대학교 수학과 대학원의 박사후연구원 백진언 박사가 이 문제와 관하여 '게르버 소파의 최적성'(Optimality of Gerver's Sofa)이라는 제목의 논문을 arXiv에 투고하였다. 논문 주소논문의 내용은 게르버의 소파가 문제의 조건을 만족하는 최대 넓이임을 증명하여 소파 옮기기 문제를 해결하는 것이다.
arXiv는 동료평가를 거치지 않는 선공개 저널이기 때문에, 차후 증명의 검토가 이루어지면 소파 옮기기 문제가 해결되었는지 확인될 전망이다.