필요조건과 충분조건

1. 개요

2. 배경지식

• 논증 / 증명 / 입증 (proof, demonstration): 참 거짓을 나눌 수 있는 문장이다. 전제와 결론으로 구성되며, 각각의 전제와 결론은 명제이다.

• 명제 (proposition): 참과 거짓을 나눌 수 있는 문장이다. 논증의 구성요소인 전제와 결론이 바로 명제이다. 명제는 문장 구조에 따라 다양한 종류로 나뉘는데, 대표적인 것이 바로 조건명제이다.

• 조건 (condition): 명제의 한 종류로, "A이면 B이다" 구조를 가진 명제이다. 앞에 A는 전건(앞 조건)이라 하고 B는 후건(뒷 조건)이라 한다.

3. 종류

3.1. 필요조건

• "P ⇒ Q"
• "Q라면 P일 수 있다."[2]
• "Q가 아니면, P도 아니다."[3]
• "P는 Q의 충분조건이다"

• '아리스토텔레스는 동물이다'는 '아리스토텔레스는 사람이다'의 필요조건이다. (아리스토텔레스가 사람이기 위해서는 아리스토텔레스가 동물일 필요가 있다.)
• 여대에 입학하려면 여자여야 한다. (여자는 여대에 입학하기 위한 필요조건이다.)
• 공무원이 되려면 공무원 시험에 합격해야 한다. (공무원이기 위해서는 공무원 시험에 합격할 필요가 있다.)

3.2. 충분조건

• "P ⇒ Q"
• "P라면 Q이다."[4]
• "P가 아니면 Q가 아닐 수 있다" ('아니다'가 아니다!)[5]
• "Q는 P의 필요조건이다"

• '철수는 농구를 한다'는 '철수는 운동을 한다'의 충분조건이다. ('철수가 농구를 한다'면 '철수는 운동을 한다'라고도 충분히 말할 수 있다.)

3.3. 필요충분조건

• "P ⇔ Q"
• "P이면 Q이며, Q이면 P이다."
• "P가 아니면 Q가 아니며 Q가 아니면 P가 아니다."
• "P인 경우 오직 그 경우에만 Q이다."
• "P if and only if Q"
• "P iff[6] Q"로 줄여쓰는 경우가 잦다.
• "Q는 P의 필요충분조건이다."

4. 여담

• 수리논리학에도 등장하는 논리학의 기초적인 개념이다.
• 필요조건은 흔히 일상에서 일컫는 ‘조건’과 유사하며 상대 조건문보다 상위 또는 전제적 개념에 가깝다. 충분조건은 상대 조건문보다 하위 또는 결론적 개념에 가깝다.
• 쉽게 외우는 방법 중에 "화살표 맞은 쪽이 피가 나니까 필요조건 화살표 쏘는 쪽에서 출발하니까 충분조건"가 있다. 다만 개념적 이해로 들어가면 주체가 뒤에 있는 명제이므로 '뒤에 있는 명제가 필요'한 것이 필요조건, '뒤에 있는 명제가 충분'해지는 것이 충분조건이다.
• 이 필요조건과 충분조건을 혼동하면 전건부정/후건긍정의 오류가 된다.
• 수학도들이 지겹게 암기하는 정의, 정리, 증명의 패턴에서 ⇔, ⇒, ⇐ 등의 두줄 화살표가 많이 쓰인다. 한줄 화살표는 함수 및 사상의 정의역과 치역, 공역을 나타낼 때 주로 쓰이기 때문에 한줄 화살표와 두줄 화살표의 용도는 제법 엄격하게 구분되는 편. 그러나 정작 필기와 판서가 아닌 수학 교과서에서 이 기호를 쓰는 경우는 의외로 드물다. 한국어 교과서들이 쓰는 경우는 꽤 있으나, 영어 및 불어 교과서에서는 범주론이나 수리논리학 같은 일부 수학기초론 과목에서 이 두 줄 그은 화살표를 자연 변환 등의 중요한 의미를 나타내기 위해 쓰기도 해서인지 그리 흔히 보이지는 않는다. 대신 영어 교과서에서는 필요충분조건을 진술할 때 "다음은 동치이다; (1) P(x) (2) Q(x)"라는 패턴을 쓰거나 위에서 말한 P(x) iff Q(x) 같은 문장을 쓰는데, iff의 경우 영어와 한국어 어순의 차이 때문에 P⇒Q를 먼저 증명함은 P only if Q를 증명함이므로 초보 독자들은 가끔 필요조건과 충분조건이 무엇인지 혼동하기도 한다.
• 두 조건이 서로 필요조건과 충분조건의 관계에 있을 때, 두 조건을 부정하면 필요조건과 충분조건의 관계가 서로 바뀐다. 즉, P가 Q이기 위한 충분조건이면 ~P는 ~Q이기 위한 필요조건이 된다.