1. 개요
Tupper's self-referential formula[math(\displaystyle \begin{aligned}
\frac12 &< \Bigl\lfloor \operatorname{mod} \Bigl( \Bigl\lfloor \frac y{17} \Bigr\rfloor 2^{-17 \lfloor x \rfloor -\operatorname{mod} ( \lfloor y \rfloor, 17)}, 2 \Bigr) \Bigr\rfloor \\
\end{aligned} )]
[math(\lfloor x \rfloor)]는 최대 정수 함수[1], [math(\operatorname{mod}(b, m))]은 나머지 값을 구하는 함수이다.
제프 투퍼(Jeff Tupper)에 의해 고안된 부등식이며, 특정 조건 하에서 식을 만족하는 두 수의 쌍을 이차원의 그래프로 그리면 부등식 그 자체의 형태가 된다.
다음 543자리의 정수를 k라고 정의하고
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- [math(k)]=960 939 379 918 958 884 971 672 962 127 852 754 715 004 339 660 129 306 651 505 519 271 702 802 395 266 424 689 642 842 174 350 718 121 267 153 782 770 623 355 993 237 280 874 144 307 891 325 963 941 337 723 487 857 735 749 823 926 629 715 517 173 716 995 165 232 890 538 221 612 403 238 855 866 184 013 235 585 136 048 828 693 337 902 491 454 229 288 667 081 096 184 496 091 705 183 454 067 827 731 551 705 405 381 627 380 967 602 565 625 016 981 482 083 418 783 163 849 115 590 225 610 003 652 351 370 343 874 461 848 378 737 238 198 224 849 863 465 033 159 410 054 974 700 593 138 339 226 497 249 461 751 545 728 366 702 369 745 461 014 655 997 933 798 537 483 143 786 841 806 593 422 227 898 388 722 980 000 748 404 719
[math(0 \le x < 106)], [math(k \le y < k+17)]를 만족하는 점의 집합 [math((x, y))]를 그래프로 나타낸다음 좌우반전 시키면 다음과 같은 결과가 나온다.
여담으로, 수식이란 언어로 자기 자신의 식을 출력했으므로, 콰인이라고도 볼 수 있다.
2. 해설
그래프를 그리면 1단위로 영역 내부가 비워지거나 채워지게 된다. 즉 일종의 비트맵 픽셀 이미지처럼 작동한다.이 수식은 사실 높이가 17픽셀인 모든 조합을 다 포함하고 있으며, 그 조합 중 자기 자신을 나타내는 픽셀 아트가 있는 위치가 주어진 k 값일 뿐이다. k 값을 적절히 바꾸면 17 픽셀로 그릴 수 있는 다른 조합도 찾을 수 있다. 예를 들어, 특정한 k 값에서는 팩맨과 고스트 이미지를 볼 수 있다.
3. 참고
[1] 흔히 '가우스 기호'라고 불리는 그 함수다.