1. 개요
고바야시 마코토(小林誠), 마스카와 도시히데(益川敏英)가 1973년에 주장한 양자장 이론. 카비보 행렬(Cabbibo matrix)을 확장시키는 것을 통해 제 3세대 쿼크의 존재가 CP 대칭성을 위반시킬 수 있음을 보이는 것으로 CP 대칭성 위반을 설명함과 동시에 제 3세대 쿼크의 존재를 예언한 이론이다.2. 설명
고바야시-마스카와 이론을 이해하려면 힉스 매커니즘에 대한 이해가 어느 정도 필요하다. 힉스 매커니즘에서 소개하는 유카와 상호작용(Yukawa interaction)이 쿼크들과 그리 간단하게 구성되어 있지 않다는 것으로부터 카비보 행렬이 도출되고, 여기서 카비보 행렬의 확장이 왜 CP 위반을 야기하는지 설명할 수 있기 때문이다.2.1. CKM 행렬
여기서는 왜 힉스 매커니즘이 생기는가 하는 이야기를 하지 않을 것이다. 다만, 이 힉스 매커니즘이 어떻게 페르미온들에 질량을 부여하는지에 대한 설명은 카비보 행렬에 있어서 핵심이기에, 여기서 간단하게 소개하도록 하겠다.먼저, 약한 상호작용이 패리티 위반을 일으킨다는 것은 이미 1957년 우젠슝의 실험을 통해 밝혀졌다. 이 사실은 게이지 대칭성을 가지는 양자장론 프레임워크(framework)에 있어서 심각한 고민거리를 안겨다 줬는데, 페르미온의 질량항이 더 이상 게이지 대칭성을 유지하지 못한다는 것이었다. 디랙 장(Direct field)의 질량항은 왼손잡이 성분과 오른손잡이 성분의 커플링(coupling)으로 간주될 수 있는데, 이 커플링이 게이지 변환에 불변하려면 왼손잡이 성분과 오른손잡이 성분 각각의 게이지 변환이 동등하게 일어나야 한다. 그런데 약한 (게이지) 상호작용은 왼손잡이 성분하고만 엮여 있기 때문에 질량항은 더 이상 약한 상호작용의 게이지 변환에 대하여 불변하지 않다. 따라서 양자장론에 게이지 대칭성을 요구하게 되면 모든 디랙 장 입자들의 질량이 0이어야 한다는 것을 알 수 있다.
하지만 이미 전자의 질량(0.511 MeV/c2)부터 0이 아니라는 사실을 알고 있기에 이를 설명할 수 있는 다른 방법이 필요했다. 여기서 힉스 매커니즘이 빛을 발휘한다. 이 매커니즘은 기본적으로 약한 상호작용의 게이지 보손들이 질량을 가진다는 것을 설명하기 위해 도입된 것이긴 하지만, 재밌게도 페르미온들에게 질량을 부여하는 것에도 활용될 수 있다. 이는 다음과 같은 자연스러운 유카와 상호작용으로부터 출발한다.
[math(\displaystyle \mathscr{L}_{\textrm{Yukawa}} = -\sum_{i, j} \left( \lambda_d^{ij} \overline{Q}^i_L \cdot \phi d^j_R +\lambda_u^{ij} \overline{Q}^i_L \cdot \tilde{\phi} u^j_R \right) - \sum_{i, j} \lambda_e^{ij} \overline{E}^i_L \cdot \phi e^j_R + \textrm{h. c.})].
여기서 [math(Q^i_L = \left( \begin{array}{c} {u}^i_L \\ {d}^i_L \end{array} \right))]은 [math(i)]번째 세대의 위-타입 쿼크 (up-type quark) [math(u^i_L)]과 아래-타입 쿼크 (down-type quark) [math(d^i_L)]의 왼손잡이 성분들로 구성된 이중항이고[1], [math(\overline{E}^i_L)]은 마찬가지로 [math(i)]번째 세대의 전자와 중성미자의 왼손잡이 성분들로 구성된 이중항이며, [math(u^i_R)], [math(d^i_R)], 그리고 [math(e^i_R)]은 각각 [math(i)]번째 세대의 위-타입 쿼크, 아래-타입 쿼크, 그리고 전자의 오른손잡이 성분, [math(\phi)]는 복소 이중 스칼라 장(complex doublet of scalar fields), [math(\tilde{\phi} = i\sigma^2 \phi)] ([math(\sigma^2)]는 파울리 행렬들 중 2번째 것), [math(\lambda_d^{ij})], [math(\lambda_u^{ij})], [math(\lambda_e^{ij})]는 커플링 상수들, 그리고 h. c.는 저 식에 쓰여진 모든 항의 에르미트 켤레(Hermitian conjugate)이다. 여기서 렙톤 쪽 항이 쿼크 쪽 항과 비교했을 때 반쪽임을 볼 수 있는데, 이로부터 중성미자의 질량이 0이라는 것을 곧 볼 수 있을 것이다.
이제 힉스 매커니즘을 적용시켜 보자. 이때 복소 이중 스칼라 장 [math(\phi)]는 (적절한 게이지 변환 이후) 다음과 같이 바뀌게 된다.
[math(\displaystyle \phi \to \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \begin{array}{c} 0 \\ v + h \end{array} \right))].
여기서 [math(v)]는 소위 진공 기댓값(vacuum expectation value)이며, [math(h)]는 또다른 실수(real) 스칼라 장이다.[2] 이제 이걸 위의 유카와 상호작용에 대입시켜보자. 그러면 다음을 얻을 수 있다.
[math(\displaystyle \mathscr{L}_{\textrm{Yukawa}} = -\frac{1}{\sqrt{2}} \sum_{i, j} \left( \lambda_d^{ij} v \overline{d}^i_L d^j_R +\lambda_u^{ij} v \overline{u}^i_L u^j_R \right) - \frac{1}{\sqrt{2}} \sum_{i, j} \lambda_e^{ij} v \overline{e}^i_L e^j_R + h (\cdots) + \textrm{h. c.})].
여기서 생략된 항들은 힉스 장과 페르미온들 간의 상호작용에 해당하는 항들로, 그 자체로 흥미로운 것들이지만, 이 문서에서는 중요하지 않으므로 무시하기로 하자. 이때, 만약 [math(i \ne j)]인 모든 [math(i, j)]에 대하여 [math(\lambda_u^{ij} = 0)], [math(\lambda_d^{ij} = 0)], [math(\lambda_e^{ij} = 0)]이면, 맨 뒤의 에르미트 켤레까지 합쳐서 정확하게 [math(u^i)], [math(d^i)], 그리고 [math(e^i)]의 질량항이 튀어나오게 된다는 것을 알 수 있다. 더군다나 지금 상황에서는 이미 약한 상호작용의 게이지 대칭성이 이미 깨진 상황이므로, 더 이상 질량항의 (약한 상호작용) 게이지 대칭성 불변 여부를 신경 쓸 필요가 없다. 이런 식으로 힉스 매커니즘을 통해 페르미온들의 질량을 설명할 수 있을 것 같아 보인다.
문제는 [math(\lambda_u^{ij})], [math(\lambda_d^{ij})], [math(\lambda_e^{ij})]가 일반적으로 그리 간단한 꼴이 아니라는 점에 있다. 즉, 위에서 가정한 대각 행렬 꼴이 아닐 수 있다는 것이다. 다행스럽게도, 각 [math(x = u, d, e)]에 대하여 [math(x^i_L)]들끼리, 그리고 [math(x^i_R)]들끼리 적절히 잘 섞으면 위의 식을 디랙 장의 질량항처럼 쓸 수 있다. 즉,
[math(\displaystyle x'^i_L := (U_x^\dagger)^{ij} x^j_L, x'^i_R := (W_x^\dagger)^{ij} x^j_R)]
과 같이 정의하되, 행렬 [math(U_x)]와 [math(W_x)]는 모두 유니터리(unitary)하고 [math(\lambda'{}_x := U_x^\dagger \lambda_x W_x)]가 대각행렬이도록 설정하면, 즉, [math(i \ne j)]인 모든 [math(i, j)]에 대하여 [math(\lambda'{}_x^{ij} = 0)]이도록 설정하면, 다음을 얻을 수 있다.
[math(\displaystyle \mathscr{L}_{\textrm{Yukawa}} = -\frac{1}{\sqrt{2}} \sum_{i} \left( \lambda'{}_d^{ii} v \overline{d'}^i_L d'^i_R +\lambda'{}_u^{i} v \overline{u'}^i_L u'^i_R \right) - \frac{1}{\sqrt{2}} \sum_{i} \lambda'{}_e^{ij} v \overline{e'}^i_L e'^i_R + h (\cdots) + \textrm{h. c.})].
이렇게 새로 정의된 디랙 장들 [math(u'{}^i)], [math(d'{}^i)], [math(e'{}^i)]가 질량을 가진다는 것을 알 수 있다. 사실, 이 새로운 장들이 바로 우리가 (실험 등을 통해) 보는 전자와 쿼크에 해당한다.[3]
그렇다면 원래 [math(u^i)], [math(d^i)], [math(e^i)]는 무엇인가? 한 가지 주목해야 할 것은 새로 정의된 것들이 아닌 바로 이들이 직접 약한 상호작용의 커플링에 포함된다는 것이다. 잘 알려진 양자역학적 관점으로 바라 보면 실제 관측을 통해 [math(u'{}^i)], [math(d'{}^i)], [math(e'{}^i)]는 약한 상호작용과 직접 상호작용하는 상태들의 중첩이라고 볼 수 있다. 그래서 그 양자역학적 관점을 통해 알 수 있는 것 중 하나가 이것이다. 예컨대, 실제 관측되는(?) 기묘 쿼크는 [math(s = d'{}^2)]에 해당하는데, 중첩으로 인하여 약한 상호작용을 일으킬 때 일정 확률로 [math(d^2)] 뿐만 아니라 [math(d^1)]으로 (또는 [math(d^3)]으로) 약한 상호작용을 일으킬 수 있다는 것이다. 결과적으로, [math(s = d'{}^2)]는 [math(W^- + u^2)] 뿐만 아니라 [math(W^- + u^1)] (그리고 [math(W^- + u^3)])로 붕괴 혹은 변환될 수 있다는 것이다. 거꾸로, 약한 상호작용과 직접 상호작용하는 상태들은 [math(u'{}^i)], [math(d'{}^i)], [math(e'{}^i)] 이들의 선형 결합, 즉 중첩 상태에 있다고도 말할 수 있다. 앞서 든 예시를 거꾸로 적용하고 나면, 결국 다음을 알 수 있다. 쿼크는 세대를 넘나드는 약한 상호작용이 가능하다는 것이다. 물론 이는 케이온을 비롯한 여러 강입자들의 붕괴를 통해, 특히 약한 상호작용으로 인한 붕괴가 기묘도를 보존하지 않는다는 사실을 통하여 실험적으로 밝혀진 사항이다.[4]
이를 상호작용의 커플링으로 표현할 수 있다. 다음을 보자.
[math(\displaystyle J_{qW}^{\mu +} = \frac{1}{\sqrt{2}} \sum_{i = 1}^N \overline{u}^i_L \gamma^\mu d^i_L)],
[math(\displaystyle J_{qW}^{\mu -} = \frac{1}{\sqrt{2}} \sum_{i = 1}^N \overline{d}^i_L \gamma^\mu u^i_L)],
[math(\displaystyle \mathscr{L}_{\textrm{W int.}} = -g \left( W^{+\mu} J_{qW}^{\mu +} + W^{-\mu} J_{qW}^{\mu -} \right))].
자발적 대칭성 붕괴가 일어난 이후 쿼크 장들과 W 보손 간의 상호작용을 나타낸 식이다. 여기서 [math(W^{\pm \mu})]는 W+, W- 보손의 장이고, [math(\gamma^\mu)]는 디랙 감마 행렬들(Dirac gamma matrices)이며, [math(N)]은 세대 수이다. 이때, 마지막 줄의 두 항이 서로의 에르미트 켤레임을 눈여겨 보자. 여기서 [math(J_{qW}^{\mu \pm})]을 [math(u'{}^i_L)], [math(d'{}^i_L)]로 표현하면 다음과 같이 쓸 수 있다.
[math(\displaystyle J_{qW}^{\mu +} = \frac{1}{\sqrt{2}} \sum_{i, j = 1}^N \left( U_u^\dagger U_d \right)^{ij} \overline{u'}^i_L \gamma^\mu d'{}^j_L, \;\;\; J_{qW}^{\mu -} = \frac{1}{\sqrt{2}} \sum_{i, j = 1}^N \left( U_d^\dagger U_u \right)^{ij} \overline{d'}{}^i_L \gamma^\mu u'{}^j_L)] (*).
이제 다음과 같이 표기하자.
[math(V = U_u^\dagger U_d)].
이 [math(N \times N)] 행렬을 가리켜 카비보 행렬 (Cabbibo matrix), 혹은 카비보-고바야시-마스카와 행렬 (Cabbibo-Kobayashi-Maskawa matrix), 아니면 더 줄여서 CKM 행렬이라고 부른다. 사실, [math(N = 2)]인 경우에 한하여 이 행렬을 카비보 행렬이라고 많이 부른다. 여기서 [math(U_u)]와 [math(U_d)]가 유니터리 행렬이기 때문에 [math(V)] 역시 유니터리 행렬임을 눈여겨 보자. 이 행렬이 대각행렬이 아니라는 것이 곧 앞서 말한 세대 간 약한 상호작용의 존재와 동치임을 식 (*)으로부터 바로 알 수 있다.
2.2. CP 대칭성 위반
식 (*)에서 [math(u^i)], [math(d^j)] 이 한 쌍을 포함하는 항들만 고른 다음, 이걸 포함하는 [math(\mathscr{L}_{\textrm{W int.}})]의 식을 써 보자. 이는 다음과 같다.[math(\displaystyle -\frac{g}{\sqrt{2}} \left( W^{+\mu} V^{ij} \overline{u'}^i_L \gamma^\mu d'{}^j_L + W^{-\mu} (V^\dagger)^{ji} \overline{d'}^j_L \gamma^\mu u'{}^i_L \right))] ([math(\dagger)]).
이때 [math((V^\dagger)^{ji} = (V^{ij})^*)]임을 상기하자. 사실, [math(\mathscr{L}_{\textrm{W int.}})]는 이런 꼴의 식들을 전부 합친 것과 같다.
이 식에 이제 CP 변환을 적용시켜 보자.[5] 궁금한 것은 식 ([math(\dagger)]), 혹은 [math(\mathscr{L}_{\textrm{W int.}})] 항이 CP 변환에 불변인가 여부이다. 만약 CP 변환을 가하고 난 후에 저 식이 (후술할 전하가 뒤집히는 것 정도만 제외한 나머지가) 원래 식 ([math(\dagger)])과 완전히 똑같다면, 그러면 [math(\mathscr{L}_{\textrm{W int.}})] 항이 CP 변환에 불변할 것이다. 반면에 식 ([math(\dagger)])에 CP 변환을 하고 난 결과가 원래 식과 같지 않게 되면, 식 ([math(\dagger)])은 CP 대칭성에 위반한다고 말할 수 있을 것이다. 참고로 디랙 장과 감마 행렬에 CP 변환을 적용시키는 것에 대한 자세한 설명은 여기서 다루지 않을 것이다. Peskin의 교재 (특히 3.6절 맨 마지막에 실린 표) 등에 실린 규칙 등을 참고하자. 다만, 한 가지 꼭 염두에 두어야 할 것은 [math(C)]가 앞에 있는 페르미온 장과 뒤에 있는 페르미온 장의 위치를 뒤바꾼다는 것이다. 이로 인하여 위 식에 CP 변환을 한 결과는 다음과 같게 된다.
[math(\displaystyle -\frac{g}{\sqrt{2}} \left( -W^{-\mu} V^{ij} \overline{d'}^j_L \gamma^\mu u'{}^i_L - W^{+\mu} (V^{ij})^* \overline{u'}^i_L \gamma^\mu d'{}^j_L \right))].
이를 변환하기 전의 식과 비교해 보자. 먼저 전체 부호가 바뀌었다. 하지만 이건 [math(g \to -g)]가 된 것으로 해석할 수 있을 것이고, 이는 곧 전하의 부호가 예상대로 잘 뒤집혔음을 의미하는 것이기에 CP 대칭성과 잘 맞는 결과이다. 이것만 제외했을 때, 만약 [math((V^{ij})^* = V^{ij})]이면, 즉 모든 [math(i, j)]에 대하여 [math(V^{ij})]가 실수라면, CP 변환이 위 식을 전혀 바꾸지 않는다는 것을 알 수 있다. 이로부터, 앞서 설명하였듯이, [math(\mathscr{L}_{\textrm{W int.}})]가 CP 변환에 대해 불변이라고 말할 수 있다. 하지만 만약 어떤 [math(i, j)]에 대하여 [math(V^{ij})]가 실수이지 않다면, CP 변환은 식 ([math(\dagger)])을 보존하지 않는다는 것을 알 수 있다. 그렇다고 그 차이를 [math(\mathscr{L}_{\textrm{W int.}})]의 다른 곳에서 메꿔줄 수 있지도 않음을 또한 바로 알 수 있을 것이다. 따라서, 이러한 경우에 [math(\mathscr{L}_{\textrm{W int.}})]는 더 이상 CP 변환에 대해 불변하다고 말할 수 없게 된다. 즉, CKM 행렬에 복소 성분이 포함될 경우 약한 상호작용이 CP 위반을 하게 된다는 뜻이다.
실제로 세대 수 [math(N)]이 2인 경우, 카비보 행렬의 모든 성분이 실수이어야 함을 알 수 있다. 이를 위해 일반적인 CKM 행렬이 가지는 자유도를 조사해 보자. 이 행렬은 일단 [math(N^2)]개의 복소 성분들을 가지고 있다. 이로부터 이 행렬의 (실수) 자유도는 [math(2N^2)]임을 알 수 있다. 여기서 CKM 행렬이 유니터리하다는 조건 때문에 자유도 [math(N^2)] 만큼의 제약이 걸린다.[6] 따라서 남은 자유도는 [math(N^2)]이다. 여기에 [math(2N)]개의 쿼크가 있고, 이들 각각의 위상(phase)에 자유도 하나 씩 있는 것을 이용하여 CKM 행렬의 자유도를 하나 씩 줄일 수 있다. 다만, 한 개의 자유도는 남겨둬야 하는데, 이는 전체 시스템의 위상에 대한 자유도까지 쓸 수 없기 때문이다. 따라서 [math((2N - 1))]개의 자유도를 추가로 줄일 수 있고, 결과적으로 CKM 행렬이 가지게 되는 자유도는 [math(2N^2 - N^2 - (2N - 1) = (N - 1)^2)]이 된다. 이로부터 [math(N = 2)]인 경우, CKM 행렬, 혹은 카비보 행렬의 자유도는 고작 1에 불과함을 알 수 있다. 여기서 적절한 위상을 부여하는 식으로 해서 카비보 행렬이 다음과 같아야 함을 알 수 있다.
[math(\displaystyle V_{N = 2} = \left( \begin{array}{cc} \cos{\theta_c} & \sin{\theta_c} \\ -\sin{\theta_c} & \cos{\theta_c} \end{array} \right))].
여기서 [math(\theta_c)]가 바로 카비보 행렬의 유일한 자유도에 해당하는 매개 변수에 해당한다. 보다시피 이 행렬의 모든 성분들은 실수이다. 따라서 이 경우에는 [math(\mathscr{L}_{\textrm{W int.}})]가 CP 변환에 대해 불변임을 알 수 있다.
만약 [math(N = 3)]이면 어떨까? 이 경우 CKM 행렬의 자유도는 [math((3 - 1)^2 = 4)]로 늘어난다. 만약 어떤 유니터리 행렬의 성분이 모두 실수이면, 그 행렬은 조건에 따라 항상 직교 행렬(orthogonal matrix)이어야 한다. 그리고 [math(N \times N)] 직교 행렬의 자유도는 [math(N(N - 1)/2)]이다. 따라서 세대 수가 3인 경우, CKM 행렬의 어떤 성분은 실수가 아닌 복소수일 수 있다는 것을 알 수 있다. 그리고 이러한 경우에는 위에서 말했듯이 약한 상호작용이 CP 위반을 하게 된다. 결국 다음과 같은 결론을 얻게 된다. 세 번째 세대 쿼크가 존재하면, 약한 상호작용은 CP 위반을 일으킬 수 있다. 물론 추가적인 자유도만 있다 뿐이지, 이게 CKM 행렬의 성분들 중에 실수가 아닌 복소수가 항상 있다는 것을 의미하지는 않는다. 즉, 그러한 자유도에도 불구하고 전부 다 실수일 수도 있는 노릇이다. 이는 실험을 통해 확인하는 수 밖에 없고, 실제로 아래에 기술된 실험들과 그 외 여러 실험들을 통하여 CKM 행렬의 성분들 중 일부가 복소수임을 확인하는 것은 물론, CKM 행렬의 성분들 모두를 어느 정도의 정밀도 내에 측정하는 것도 수행해냈다.
아래에 서술되어 있듯이, 역사적으로 CP 위반이 먼저 발견되었고, 꽤 오랜 시간이 지난 후에야 세대 수와 CKM 행렬을 통하여 CP 위반을 설명하는 방식이 나오게 되었다. 1964년도에 발견된 CP 위반과 더불어 B-physics (아래 (bottom) 쿼크 물리)에서도 CP 위반이 확인되는 것을 통해 CKM 행렬로 표준 모형에서의 CP 위반을 설명할 수 있게 되었다.
3. 역사
1964년에 CP대칭이 파괴되는 현상이 발견되었지만[7], 약한 상호작용에 대한 이론이 규명되지 않아 이 현상을 설명할 방법이 없었다. 이후 전약통일이론이 확립되자,이 두 과학자는 쿼크가 6종일 때부터 (즉, 세대 수가 3일 때부터) CP대칭이 파괴된다는 것을 보였고, 이후 쿼크가 더 발견되어 쿼크 6종설은 정설로 받아들여지게 된다.[9] 그러나 이것만으로 CP대칭의 파괴를 설명하기에는 불충분했다. 그래서 그들은 이바라키현 츠쿠바 시에 있는 KEKB[10][11]를 활용하였다. 그들은 Belle 실험에서 B중간자와 반B중간자[12]의 붕괴 모습이 약간 다른 것을 관찰하였는데, 그 차이는 그들이 논문에서 예상한 그대로였다. 그들은 이 공로로 2008년 10월 7일 노벨물리학상을 수상하였다.
[1] 문자 위에 선이 그어진 것은 복소켤레에 오른쪽에다 0-감마 행렬을 곱한 것이라는 의미이다.[2] 이 장이 곧 힉스 장이며, 이 장의 여기(excitation)에 해당하는 보손이 바로 그 유명한 힉스 보손이다.[3] 다만 꼭대기 쿼크(top quark)를 제외한 나머지는 색 가둠(color confinement)에 의하여 직접 보는 것이 (즉, 강한 상호작용에 의하여 어떤 강입자에 속박되기 전의 쿼크를 보는 것이) 불가능하다. 그럼에도 이 문서에서는 그런 거 신경 안 쓰는 식의 서술이 있을텐데, 그건 그냥 대충 넘어가자.(...)[4] 여담이지만, 표준 모형에서 중성미자의 질량이 0인 것은 이러한 세대를 넘나드는, 혹은 세대가 섞이는 (mixing) 상황이 렙톤들에서는 일어나지 않는다는 것을 시사한다. 그냥 [math(e'^i)]를 [math(e^i)]로 간주해 버려도 아무 상관 없다는 의미다. 아직까지 쿼크에서 충분히 관측된 mixing이 렙톤 붕괴에서는 (예컨대, [math(\mu^- \to \nu_e + W^-)] 같은 붕괴는) 관측된 바가 없다. 하지만 중성미자의 질량이 0이지 않다는 것이 이미 밝혀진 지금, 이러한 mixing이 렙톤들 간에도 있을 것이라는 예측이 있긴 하다. 아무튼, 여기서는 그런 내용까지 다루지는 않을 것이며, 그런 이유로 이 문서에서는 이 이후로 렙톤 이야기가 별로 중요해지지 않기 때문에, 여기서부터는 렙톤의 약한 상호작용에 대한 언급 및 수식을 최대한 생략할 것이다.[5] 이를 위해 [math(\overline{u'}^i_L \gamma^\mu d'{}^j_L)]과 [math(\overline{d'}^i_L \gamma^\mu u'{}^j_L)] 각각을 [math(\overline{u'}^i \gamma^\mu \left( \frac{1 - \gamma^5}{2} \right) d'{}^j)], [math(\overline{d'}^i \gamma^\mu \left( \frac{1 - \gamma^5}{2} \right) u'{}^j)]로 표현한 다음 시작하는 것이 좋다.[6] [math(A^\dagger A = 1)]이라는 조건이 유니터리할 필요충분조건이고, 이는 총 [math(N^2)]개의 방정식으로 나타낼 수 있다.[7] R. Sachs, Phys. Rev. Lett. 13(8), 286(1964).[8] M. Kobayashi and T. Maskawa, Progress of theoretical physics 49 (2), 652-657, 1973.[9] 당시에 알려져 있던 쿼크는 u, d, s, c 이 네 가지 뿐이었다. 그마저도 c, 즉 맵시 쿼크(charm quark)는 GIM 매커니즘 등을 통해 이론적으로 예견이 되었지만 아직 직접적으로 발견되기 전이었다.[10] 고에너지 가속기 연구 기구. KEK는 고에너지 가속의 일본어 이니셜이고, B는 이 가속기에서 만들어지는 B중간자(반보텀 쿼크를 가진 중간자 종류)를 의미한다.[11] 이 기구는 현재 SuperKEKB로 개량되었다.[12] B중간자의 반입자