1. 정의
임의의 정식 [math(f(x, y, z, ...))]에 대해 어느 두 문자를 교환하여도 식이 원래의 식과 부호가 반대인 것으로 될 때, [math(f(x, y, z, ...))]를 교대식이라 한다. 대칭식 항목과 같이 볼 것.비슷하게 교대다항식(alternating polynomial)이 일반적 교대식보다 중요하지만, 아래의 성질처럼 교대다항식은 대칭다항식만으로 묘사가 가능하다.
2. 성질
교대다항식은 항상 대칭다항식 곱하기 특정 식의 꼴을 지닌다. 보통 Vandermonde determinant라 불리는 이 특정 식은 다음 두 가지의 행렬식/인수분해 표현이 존재한다.[math(V(x_1, \cdots, x_n) = \prod_{i<j} (x_i - x_j) = \det(x_i^{j-1})_{i,j} )]
예시로 [math(n=3)]이면 [math(V(x,y,z) = (x-y)(x-z)(y-z) = x^2 y - x^2 z + y^2 z - y^2 x + z^2 x - z^2 y)]이다.
[math(n=3)]일 때의 증명 : [math(f(x, y, z))]가 교대식이므로 [math(f(x, y, z)=-f(x, z, y))]이다. 이때, 이 식은 [math(x, y, z)]에 관한 항등식이므로 양변에 [math(z)]대신 [math(y)]를 대입하면 [math(f(x, y, y)=-f(x, y, y))]이다. 즉, [math(f(x,y,y)=0)]이므로 이는 다항식 [math(f(x,y,z))]가 [math((y-z))]로 나누어떨어짐을 의미한다. 이때, 다시 [math(f(x, y, z))]가 교대식임을 사용하면 앞과 같이 [math((x-y), (y-z), (z-x))]를 인수로 가짐을 알 수 있다. 즉, [math(f(x,y,z))]는 반드시 [math((x-y)(y-z)(z-x))]를 인수로 갖는다. 일반적 n의 경우에도 비슷하게 진행하면 된다.
이 반데르몬드 행렬식의 제곱이 대칭식이므로, 교대다항식은 덧셈/뺄셈에 대해서는 닫혀 있지만 곱했을 때는 (대칭식)*(교대식)=(교대식), (교대식)*(교대식)=(대칭식)을 만족한다.
교대군 [math(A_n)]에 대한 불변다항식(대칭식 항목 참조)은 (대칭식)+(교대식)의 합으로 유일하게 나타낼 수 있다.
갈루아 이론 중 다항식의 해법을 구할 때는, 근들에 대한 저 Vandermonde determinant의 제곱이 판별식(discriminant)이라는 이름으로 많이 등장한다. [math(V(x))]의 제곱인 판별식은 대칭식이므로, 제곱근을 구하면 [math(V(x))]의 값을 구할 수 있는 것. 이차방정식의 [math(b^2 - 4ac)]의 일반화로 볼 수 있다.