1. 개요
1959년에 열린 제 1회 국제수학올림피아드에 수록된 문제들과 그 문제의 풀이를 서술한 문서이다.2. 문제 목록
2.1. 1번 문제
모든 자연수 n에 대하여, [math(\displaystyle {{21n+4} \over {14n+3}})]이 기약분수임을 보여라.(5점)
2.1.1. 풀이 1
[math(a, b)]의 최대공약수를 [math(G(a, b))]라 나타내자. 이때, 유클리드 호제법에 의해,[math(G(21n+4, 14n+3) = G(7n+1, 14n+3) = G(7n+1, 1) = 1)] 이다.
따라서, 분자와 분모가 서로소이므로 주어진 분수는 기약분수이다.
2.1.2. 풀이 2
[math(3(14n+3) - 2(21n+4) = 1)]이므로 [math(14n+3)]과 [math(21n+4)]는 서로소이다.2.2. 2번 문제
다음 식을 만족하는 실수 [math(x)]를 (a) [math(A=\sqrt2)], (b) [math(A=1)], (c) [math(A=2)] 인 경우에 각각 찾아라.
{{{#!wiki style="text-align: center"
{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\displaystyle {\sqrt{(x+\sqrt{2x-1})}+\sqrt{(x-\sqrt{2x-1})}=A})]}}}
(단, 근호 안에는 음이 아닌 실수만이 들어갈 수 있다.)(8점)
우선, 주어진 조건에 의해 근호 안에는 0 이상의 수만 들어갈 수 있으므로 [math(\displaystyle {1 \over 2}≤x)]이다.
또한, 주어진 식에서 양변을 제곱하여 정리하면 다음과 같다.
[math(\displaystyle {2x+2|x-1|=A^2})]
여기서 a, b, c 의 경우를 대입하면
[math(\displaystyle {\text{a)}~{1 \over 2}≤x<1})]인 모든 실수
[math(\displaystyle {\text{b)}})] 해가 존재하지 않음
[math(\displaystyle {\text{c)}~x={3 \over 2}})]
임을 알 수 있다.
2.3. 3번 문제
[math(a,~b,~c)]가 실수일 때 다음과 같은 [math(\cos{x})]에 대한 이차 방정식을 생각하자.
{{{#!wiki style="text-align: center"
{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\displaystyle {a\cos^2{x}+b\cos{x}+c=0})]}}}
[math(a,~b,~c)]를 사용하여 위 방정식과 같은 해를 가지는 [math(\cos{2x})]에 대한 이차 방정식을 만들어 보아라. [math(a=4,~b=2,~c=-1)]일 경우 이 두 방정식을 비교해 보아라.(7점)
2.4. 4번 문제
[math(c)]를 주어진 상수라 하자. 이때, 빗변의 길이가 [math(c)]가 되면서 빗변에 그은 중선의 길이가 삼각형의 나머지 두 변의 길이의 기하평균이 되는 직각삼각형을 작도하여라.(5점)
나머지 두 변의 길이를 [math(a,b)]라 하면
[math(c=2\sqrt ab)]이므로
[math(a^2+b^2=4ab)]가 되고 이를 풀면
[math(b=(2\pm\sqrt3)a)]가 된다.
[math(tan15° = 2-\sqrt3, tan75° = 2+\sqrt3)]이므로 각의 크기가 15°, 75°, 90°인 직각삼각형을 작도하면 된다. 작도 방법은 매우 쉽고 간단하므로 생략.
2.5. 5번 문제
선분 [math(AB)]의 내부에 임의의 점 [math(M)]을 잡자. 그리고 [math(AM,~MB)]를 각각 한 변으로 하는 정사각형 [math(AMCD,~MBEF)]를 선분 [math(AB)]에 대해 같은 쪽에 그리자. 이제 이 두 정사각형의 외접원은 [math(M)]과 [math(N)]에서 서로 만나며, 각각의 외접원의 중심을 P,Q라고 하자. 그리고 두 직선 [math(AF)]와 [math(BC)]의 교점 [math(N')]이라 하자.
(a) 점 [math(N)]과 [math(N')]이 일치함을 보여라.
(b) 처음에 [math(M)]을 어떻게 고르는지와 상관없이 직선 [math(MN)]이 고정된 한 점 [math(S)]를 지남을 보여라.
(c) [math(M)]이 [math(A)]와 [math(B)] 사이를 움직일 때 선분 [math(PQ)]의 중점의 자취를 구하여라.(8점)
(a) 점 [math(N)]과 [math(N')]이 일치함을 보여라.
(b) 처음에 [math(M)]을 어떻게 고르는지와 상관없이 직선 [math(MN)]이 고정된 한 점 [math(S)]를 지남을 보여라.
(c) [math(M)]이 [math(A)]와 [math(B)] 사이를 움직일 때 선분 [math(PQ)]의 중점의 자취를 구하여라.(8점)
2.6. 6번 문제
두 평면 [math(P)]와 [math(Q)]가 직선 [math(p)]에서 만난다고 하자. 주어진 점 [math(A,~C)]는 각각 평면 [math(P,~Q)]위의 점이며 둘 중 어느 것도 직선 [math(p)] 위에 있지 않다. 이때, 사각형 [math(ABCD)]가 [math(AB~||~CD)]인 등변사다리꼴이 되며 내접원을 가지도록 평면 [math(P)] 위의 점 [math(B)]와 평면 [math(Q)] 위의 점 [math(D)]를 작도하여라.(7점)