소수를 정의 할 때 1과 자기 자신만을 약수로 갖는다는 irreducible의 방식으로 정의하는 경우가 많다. 그러나, 소수의 이름에서 알 수 있듯, 소수는 정수환에서의 prime element를 의미한다. 일반적으로, 정역에서 prime이면 irreducible이지만, 그 역은 성립하지 않는다(정수환과 같은 유일 인수분해 환에서는 성립한다) 정역에서는 다음과 같이 소원, 기약원을 정의한다.
정리하면 다음과 같다.
1. 정역에서 소원은 기약원이다.
2. 유일인수분해정역(UFD)에서 소원과 기약원은 동치이다.
2. 유일인수분해정역(UFD)에서 소원과 기약원은 동치이다.
소원의 정의는 다음과 같다.
[math(p|ab\Leftrightarrow p|a \;\mathrm{or}\; p|b)]
반면, 기약원의 정의는 다음과 같다.
[math(i=ab)]이면 [math(a,\;b)]중 하나는 가역원이다.
UFD에서 irreducible이면 prime인 이유는 Euclid's Lemma 때문이다. 반례로는, UFD가 아닌 정역 Z의 [math(\sqrt{-5})] 확장에서 3이 있다. [math(2\cdot3=(1-\sqrt{-5})(1+\sqrt{-5}))] 이지만 [math(3\nmid(1-\sqrt{-5}))], [math(3\nmid(1+\sqrt{-5}))]이다. (노름 비교) 따라서 3은 기약원이지만 소원이 아니다.