1. 개요
사분위수 범위(interquartile range, IQR)는 산포에서 변산도의 일종으로, 이상치 등의 극단적인 데이터들을 제외하고 일반적으로 기대되는 표본을 추정하는 방법이다. 동시에 이상치를 판별하는 방법이기도 하다. 이차방정식의 근을 구하는 여러 방법론 중에 판별식 D가 있다면, 이상치를 구하는 방법 중엔 IQR이 있다.2. 정의
사분위수는 이름 그대로 4분의 1을 적용한 백분위수를 말한다. IQR은 확률분포에서 백분위 수가 각각 25%, 75%인 제1사분위수와 제3사분위수의 차로 정의된다. 즉, 하위 25%를 Q1, 상위 25%를 Q3로 하여 이 범주의 절대총합이 50%가 되게끔 시행하는 것이다.[math(IQR = Q_3 - Q_1)]
최댓값에서 최솟값을 뺀 범위는 이상치에 아주 민감한 측도이다. 사분위수 범위는 이상치에 의한 영향을 적게 받으므로 산포를 나타내는 측도로 많이 이용된다.
2.1. 정규분포에서의 IQR
어떤 확률변수가 표준편차가 [math(\sigma)]인 정규분포를 따른다면, 다음과 같은 공식으로 IQR을 계산할 수 있다.[math(1.35 * \sigma)]
연속확률변수 X에 대한 정규분포를 따르는 확률밀도함수를 f라 하면, 이를 이상적분한 누적분포함수 F를 유도할 수 있는데, 이때 사분위수를 구할 수 있다.
[math(Q_1 = F^{-1}(0.25))], [math(Q_3 = F^{-1}(0.75))]로 말이다.
이를 표준정규분포 [math(N(0, \sigma^2))]에 적용해보면
[math(IQR = m + \sigma*F^{-1}(0.75) - (m + \sigma*F^{-1}(0.25)) = 2\sigma*F^{-1}(0.75) \simeq 1.35\sigma)]
가 됨을 보일 수 있다.
3. 도식
이렇게 구해낸 사분범위를 도식화해서 표현하는데, 이를 상자그림이라 칭한다. 상자그림에서 상자는 사분범위인 즉 하위 25%, 상위 25% 구간을 의미하며, 이때일반적으로 이상치에서 일반이상치는 2.7s로, 극단이상치는 4.7s로 정의된다. 그러나 통계학적 맥락에 따라 이러한 이상치 중에서도 평균 상, 상위, 최상위 이상치로 나뉘는 등 연구 방법에 따라 세부적인 이상치를 정의하는 것은 상이할 수 있으니 유의하길 바란다. 어디까지나 기본적으로 약속된 이상치 기준 Z-score가 2.7s일 뿐이다.
이상치는 애초에 비정상적인 양상을 보이는 데이터로, 표본 연구에 있어 실제 주류 빈도 데이터를 오염시키기 때문에 일반적으론 배제하려는 목적으로 사용된다. 때문에 2.7s만 해도 0.4% 확률을 나타내며, 실제 현실에서 매우 드문 빈도를 보인다.
그러나 집단 특성에 따라 상이할 수도 있다. 가령, 모집단의 평균 키는 175지만 NBA 집단의 평균 키는 200.7cm 것처럼 말이다. 즉, 집단 특성에 따른 맥락에 의해 결정된다.
3.1. 예시
3.1.1. 어깨너비
어깨 문서에도 자세히 서술되어 있지만 여기서 확장하여 서술하겠다.위 그림과 같이 나타난다. 어깨 골격 너비의 평균은 40.0, 표준편차는 1.79이며, 일반 이상치는 44.8cm, 극단 이상치는 48.5cm임을 알 수 있다.