1. 개요
그레고리 급수(Gregory Series)는 역삼각함수 중 하나인 아크탄젠트 생성함수이자 무한급수이다.[1][2][3]2. 역사
제임스 그레고리가 1670~1671 사이에 영국의 수학작 존 콜린스(John Collins)와의 교신 서신에서 아크탄젠트 생성함수을 사용했다고 알려져있다.[4] 그러나 그보다 이른 16세기를 전후하는 인도의 수학자들인 닐라칸트하 소마야지(Nilakantha Somayaji)의 탄트라상그라하(TantraSangraha 1501)등에서 이미 사용이 기술되어있으며 점차로 이들에 의해 체계화 되어진바있다.[5][6]3. 무한급수 생성함수
[math(\displaystyle \arctan{x}=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1} )]4. 아크탄젠트
탄젠트(tangent)가 각도(°)로 부터 삼각형의 선분들[math( \left( \dfrac{\textrm{대변}}{\textrm{밑변}} \right) )]간의 관계를 보여주는 값을 얻을수있는 삼각함수라면 역삼각함수인 아크탄젠트(역탄젠트,arctangent)는 삼각형의 선분들[math( \left( \dfrac{\textrm{대변}}{\textrm{밑변}} \right) )]로 부터 각도(°) 정보를 보여주는 무한급수이다. 이러한 관계에서 [math( \tan^{-1} )]로 표기할뿐 [math( \dfrac{1}{\tan} )]과는 관련없다. 이 때 대변은 실측에서 높이 또는 거리로 계산될수있다.일정한 법칙에 따라 증감하는 수를 일정한 순서로 배열한 수열의 합을 급수라고 가정하면 이들의 항의 개수가 무한한 급수로 이루어진 수열이 수렴하는 그 수렴값을 얻기위한 생성함수로서 아크탄젠트(역탄젠트)가 사용된다.
4.1. 호의 길이
이러한 성질로 인해서 아크탄젠트는 원의 (반)지름과 함께 삼각형의 선분들(대변/밑변)이 원의 현들로서 그 정보로부터 원의 호(arc)에 대한 길이 값을 조사할수있도록 해준다. arc(호)도 이러한 연유에서 arc-tangent,아크탄젠트5. 탄젠트와 아크탄젠트의 계산식
탄젠트 : [math( \tan(\textrm{각도}) \cdot \dfrac{\pi}{ 180} = \dfrac{\textrm{대변}}{\textrm{밑변}}\textrm{값} )]아크탄젠트 : [math( \tan^{-1}\left( \dfrac{\textrm{대변}}{\textrm{밑변}}\textrm{값} \right) \cdot \dfrac{180}{\pi}= \textrm{각도} )]
계산기는 위의 변환 계산과정을 자동적으로 포함하고 있다.
6. 원주율
그레고리 급수는 그 분자 항의 부호자리를 제외한 미지수 및 차수 자리를 [math( \left( \dfrac{4}{1} \right)^1)]인 자연수 4로 고정했을때 그레고리-라이프니츠 원주율(Gregory-Leibniz π) 무한교대급수를 얻을수있다.[가][math(\displaystyle \arctan{x}=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n {\color{red}x^{2n+1} } }{2n+1} )]
[math(\displaystyle \pi =\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n {\color{red}4 } }{2n+1} )] [math( = 4
\left( \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n {\color{red}1 } }{2n+1} \right) )] 그레고리-라이프니츠 원주율은 +부호에서는 분모239에서267사이 즈음(n=100이후)에서 3.14(99)로 수렴하기 시작하지만 -부호에서는 분모1257전후(n=600이후)에서나 3.14(00)에 수렴하기 시작한다. [8][9]
사실상 그레고리-라이프니츠 원주율(Gregory-Leibniz Pi) 무한급수로 +값과 -값으로 교대급수하는 방식에서 원주율 근사값을 조사하는것은 현대 기술에서 조차 소수점 몇째 자리에서 반올링하는가?와 같은 딜레마로 인해서 부동소수점 연산의 결과값은 정확한 값이라고 단정짓기 어렵다.
[1] (Britannica)James Gregory Scottish mathematician and astronomer https://www.britannica.com/biography/James-Gregory[2] Original Articles,Certain Mathematical Achievements of James Gregory Max Dehn,& E. D. Hellinger,Pages 149-163 | Published online: 11 Apr 2018 doi:10.1080/00029890.1943.11991343[3] (stackexchange,Mathematics) How to derive the gregory series for inverse tangent function?https://math.stackexchange.com/questions/1820853/how-to-derive-the-gregory-series-for-inverse-tangent-function[4] (nature)Published: 30 December 1939 James Gregory Tercentenary Memorial Volume , H. C. PLUMMER https://www.nature.com/articles/1441062a0[5] Cultural Foundations of Mathematics: The Nature of Mathematical Proof and the Transmission of the Calculus from India to Europe in the 16th C. CE ,P113https://books.google.co.kr/books?id=jza_cNJM6fAC&redir_esc=y[6] TantraSamgraha with English translation (산스크리트어 및 영어). Translated by K.V. Sarma , V.S. Narasimhan.(편집) Indian National Academy of Science. 48쪽https://web.archive.org/web/20120309014402/http://www.new.dli.ernet.in/rawdataupload/upload/insa/INSA_2/20005a5d_s1.pdf[가] (Stanford University) The Gregory-Leibniz Series https://crypto.stanford.edu/pbc/notes/pi/glseries.html[8] (우분투22LTS 계산기)> ((4^1)÷1)−((4)÷3) +((4)÷5)−((4)÷7)+((4)÷9)−((4)÷11)+((4)÷13)−((4)÷15)+((4)÷17)−((4)÷19)+((4)÷21)−((4)÷23)+((4)÷25)−((4)÷27)+((4)÷29)−((4)÷31)+((4)÷33)−((4)÷35)+((4)÷37)−((4)÷39)+((4)÷41)−((4)÷43)+((4)÷45)−((4)÷47)+((4)÷49)−((4)÷51)+((4)÷53)−((4)÷55)+((4)÷57)−((4)÷59)+(4÷61)−(4÷63)+(4÷65)−(4÷69)+(4÷71)−(4÷73)+(4÷75)−(4÷77)+(4÷79)−((4)÷81)+((4)÷83)−((4)÷85)+((4)÷87)−((4)÷89)+(4÷91)−(4÷93)+(4÷95)−(4÷97)+(4÷99)−((4)÷101)+((4)÷103)−((4)÷105)+((4)÷107)−((4)÷109)+(4÷111)−(4÷113)+(4÷115)−(4÷117)+(4÷119)−((4)÷121)+((4)÷123)−((4)÷125)+((4)÷127)−((4)÷129)+(4÷131)−(4÷133)+(4÷135)−(4÷137)+(4÷139)−((4)÷141)+((4)÷143)−((4)÷145)+((4)÷147)−((4)÷149)+(4÷151)−(4÷153)+(4÷155)−(4÷157)+(4÷159)−((4)÷161)+((4)÷163)−((4)÷165)+((4)÷167)−((4)÷169)+(4÷171)−(4÷173)+(4÷175)−(4÷177)+(4÷179)−((4)÷181)+((4)÷183)−((4)÷185)+((4)÷187)−((4)÷189)+(4÷191)−(4÷193)+(4÷195)−(4÷197)+(4÷199)−((4)÷201)+((4)÷203)−((4)÷205)+((4)÷207)−((4)÷209)+(4÷211)−(4÷213)+(4÷215)−(4÷217)+(4÷219)−((4)÷221)+((4)÷223)−((4)÷225)+((4)÷227)−((4)÷229)+(4÷231)−(4÷233)+(4÷235)−(4÷237)+(4÷239)−((4)÷241)+((4)÷243)−((4)÷245)+((4)÷247)−((4)÷249)+(4÷251)−(4÷253)+(4÷255)−(4÷257)+(4÷259)−((4)÷261)+((4)÷263)−((4)÷265)+((4)÷267)−((4)÷269)+(4÷271)−(4÷273)+(4÷275)−(4÷277)+(4÷279)−((4)÷281)+((4)÷283)−((4)÷285)+((4)÷287)−((4)÷289)+(4÷291)−(4÷293)+(4÷295)−(4÷297)+(4÷299)−((4)÷301)+((4)÷303)−((4)÷305)+((4)÷307)−((4)÷309)+(4÷311)−(4÷313)+(4÷315)−(4÷317)+(4÷319)−((4)÷321)+((4)÷323)−((4)÷325)+((4)÷327)−((4)÷329)+(4÷331)−(4÷333)+(4÷335)−(4÷337)+(4÷339)−((4)÷341)+((4)÷343)−((4)÷345)+((4)÷347)−((4)÷349)+(4÷351)−(4÷353)+(4÷355)−(4÷357)+(4÷359)−((4)÷361)+((4)÷363)−((4)÷365)+((4)÷367)−((4)÷369)+(4÷371)−(4÷373)+(4÷375)−(4÷377)+(4÷379)−((4)÷381)+((4)÷383)−((4)÷385)+((4)÷387)−((4)÷389)+(4÷391)−(4÷393)+(4÷395)−(4÷397)+(4÷399)−((4)÷401)+((4)÷403)−((4)÷405)+((4)÷407)−((4)÷409)+(4÷411)−(4÷413)+(4÷415)−(4÷417)+(4÷419)−((4)÷421)+((4)÷423)−((4)÷425)+((4)÷427)−((4)÷429)+(4÷431)−(4÷433)+(4÷435)−(4÷437)+(4÷439)−((4)÷441)+((4)÷443)−((4)÷445)+((4)÷447)−((4)÷449)+(4÷451)−(4÷453)+(4÷455)−(4÷457)+(4÷459)−((4)÷461)+((4)÷463)−((4)÷465)+((4)÷467)−((4)÷469)+(4÷471)−(4÷473)+(4÷475)−(4÷477)+(4÷479)−((4)÷481)+((4)÷483)−((4)÷485)+((4)÷487)−((4)÷489)+(4÷491)−(4÷493)+(4÷495)−(4÷497)+(4÷499)−((4)÷501)+((4)÷503)−((4)÷505)+((4)÷507)−((4)÷509)+(4÷511)−(4÷513)+(4÷515)−(4÷517)+(4÷519)−((4)÷521)+((4)÷523)−((4)÷525)+((4)÷527)−((4)÷529)+(4÷531)−(4÷533)+(4÷535)−(4÷537)+(4÷539)−((4)÷541)+((4)÷543)−((4)÷545)+((4)÷547)−((4)÷549)+(4÷551)−(4÷553)+(4÷555)−(4÷557)+(4÷559)−((4)÷561)+((4)÷563)−((4)÷565)+((4)÷567)−((4)÷569)[9] Calculation of Pi Using the Gregory-Leibniz Series by Eve Andersson http://www.eveandersson.com/pi/gregory-leibniz