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1. 개요
inverse trigonometric function / 逆三角函數삼각함수는 각의 수치[1]을 입력받아 그 각에 대한 삼각비의 값을 출력하는 함수이다. 그것에 대한 역함수, 곧 삼각함수의 값(삼각비)을 입력받아 그 값에 해당하는 각을 출력하는 함수를 생각할 수 있고, 그것을 역삼각함수라 한다.
호도법에서는 단위원을 기준으로 각의 수치가 곧 호의 길이 수치가 되기 때문에 호를 의미하는 접두사 [math(\text{arc-})]가 본래 함수의 명칭 앞에 붙는다.
2. 상세
삼각함수는 주기함수이기 때문에 일대일대응이 아니어서 역함수를 정의할 수 없다. 하지만 정의역을 제한하여 일대일 대응으로 만들면 역함수를 정의할 수 있게 된다.이 문제를 쉽게 생각하기 위해 [math(\sin{\theta}=a)] (단, [math(|a| \leq 1)])의 방정식을 고려해보자. 이 삼각방정식의 해가 무한히 존재하는 것은 일반해의 개념을 논의하면서 보았다. 이 뜻은 한 [math(a)]의 값에 대하여 [math(\theta)] 값이 여러개 존재한다는 의미가 되는데 역삼각함수는 [math(a)]의 값에 대하여 [math(\theta)]의 값을 출력하는 함수임을 고려해보면 하나의 정의역의 원소에 대응되는 값이 여러개 존재한다는 의미가 되어 일정 조건을 걸지 않으면 역삼각함수는 함수가 될 수 없다.
하지만 일종의 제약 즉, [math(\theta)] 값을 가질 수 있는 영역을 제한한다면[2] 일대일대응이 되어 함수가 될 수 있다. 이 제한한 영역을 주욧값(principal value)이라 한다.
각 역삼각함수의 정의역과 치역(주욧값)을 나열해보면 아래와 같다.
| 역삼각함수 | 정의역 | 치역 |
| [math(\boldsymbol{y=\arcsin{x}})] | [math(|x| \leq 1)] | [math(|y| \leq \dfrac\pi2)] |
| [math(\boldsymbol{y=\arccos{x}})] | [math(0 \leq y \leq \pi)] | |
| [math(\boldsymbol{y=\mathbf{arcsec}\,{x}})] | [math(|x| \geq 1)] | [math(0 \leq y <\dfrac\pi2)] 또는 [math(\dfrac\pi2 < y \leq \pi)][3] |
| [math(\boldsymbol{y=\mathbf{arccsc}\,{x}})] | [math(-\dfrac\pi2 \leq y <0)] 또는 [math(0 < y \leq \dfrac\pi2)][4] | |
| [math(\boldsymbol{y=\mathbf{arctan}\,{x}})] | [math(x \in \mathbb{R})] | [math(|y| < \dfrac\pi2)] |
| [math(\boldsymbol{y=\mathbf{arccot}\,{x}})] | [math(0<y<\pi)] |
아크 사인, 아크 탄젠트, 아크 코시컨트, 아크 코탄젠트는 원점 대칭인 홀함수이다. 즉, 다음이 성립한다.
[math(\begin{aligned}
\arcsin x &= -\arcsin{(-x)} \\
\arctan x &= -\arctan{(-x)} \\
\operatorname{arccsc}x &= -\operatorname{arccsc}{(-x)} \\
\operatorname{arccot}x &= -\operatorname{arccot}{(-x)}
\end{aligned})]
반면에 아크 코사인, 아크 시컨트는 원래 함수가 짝함수인 관계로 음함수가 되는 것을 회피하기 위해 [math(x)]축 아래를 버렸으므로 홀함수도 짝함수도 아니며, 다음이 성립한다.
[math( \begin{aligned}
\arccos{(-x)} &= \pi -\arccos x \\
\operatorname{arcsec}{(-x)} &= \pi -\operatorname{arcsec} x
\end{aligned} )]
3. 표기법
학자, 교재, 프로그래밍 언어마다 그 표기법이 달라 주의를 요한다. 예를 들어 아크 사인의 경우 [math(\operatorname{asin}{x})], [math(\operatorname{arcsin}{x})], [math(\sin^{-1}{x})] 등의 방법으로 표기한다. 다만 수학계가 권장하는 것은 접두사 [math(\text{arc-})]를 붙인 형태이며, -1을 첨자로 올린 방식은 제곱 표기와 혼동될 수 있어 그다지 권장하지 않는다. 따라서 해당문서에서는 수학계가 권장하는 방식인 접두사 [math(\text{arc-})]를 붙인 형태만 서술한다.4. 항등식
- [math(\arcsin x +\arccos x = \dfrac\pi2)]
- [math(\operatorname{arcsec}x +\operatorname{arccsc}x = \dfrac\pi2)]
- [math(\arctan x +\operatorname{arccot}x = \dfrac\pi2)]
- [math(\arccos{\biggl( \dfrac1x \biggr)} = \operatorname{arcsec}x)]
- [math(\arcsin{\biggl( \dfrac1x \biggr)} = \operatorname{arccsc}x)]
- [math(\operatorname{arcsec}{\biggl( \dfrac1x \biggr)} = \arccos x)]
- [math(\operatorname{arccsc}{\biggl( \dfrac1x \biggr)} = \arcsin x)]
- [math(\arctan{\biggl( \dfrac1x \biggr)} = \operatorname{arccot}x - \pi {\bold 1}_{\mathbb R^-}(x) = \begin{cases} \operatorname{arccot}x \quad& (x>0) \\ \operatorname{arccot}{x} -\pi \quad& (x<0) \end{cases})][지시함수]
- [math(\operatorname{arccot}{\biggl( \dfrac1x \biggr)} = \arctan x + \pi {\bold 1}_{\mathbb R^-}(x) = \begin{cases} \arctan x \quad& (x>0) \\ \arctan x +\pi \quad& (x<0) \end{cases})][지시함수]
- [math(\sin{(\arccos x)} = \sqrt{1-x^2})]
- [math(\cos{(\arcsin x)} = \sqrt{1-x^2})]
- [math(\sec{(\arctan x)} = \sqrt{1+x^2})]
- [math(\tan{(\operatorname{arcsec}x)} = \sqrt{x^2-1})]
- [math(\tan{(\operatorname{arcsin}x)} = \dfrac x{\sqrt{1-x^2}})]
- [math(\cos{(\operatorname{arctan}x)} = \dfrac1{\sqrt{1+x^2}})]
- [math(\arcsin{x} \pm \arcsin{y} = \arcsin{(x\sqrt{1-y^2} \pm y\sqrt{1-x^2})})]
- [math(\arccos{x} \pm \arccos{y} = \arccos{(xy \mp \sqrt{1-x^2} \sqrt{1-y^2})})]
- [math(\arctan{x} \pm \arctan{y} = \arctan{\biggl( \dfrac{x\pm y}{1\mp xy} \biggr)})]
5. 그래프
본래의 삼각함수와 역함수 관계에 있기 때문에 해당 그래프들을 [math(y=x)]에 대하여 대칭하면 삼각함수의 그래프와 일치하게 된다. 상술했듯 정의역의 범위를 제한했으므로, 아크 탄젠트와 아크 코탄젠트를 제외하면 실수의 진부분집합에 대해서만 그래프가 나타난다.
한편, 아크 탄젠트와 아크 코탄젠트와 같은 개형의 그래프를 시그모이드라고 한다.
6. 도함수
- [math(\dfrac{\rm d}{{\rm d}x}(\arcsin x) = \dfrac1{\sqrt{1-x^2}})]
- [math(\dfrac{\rm d}{{\rm d}x}(\arccos x) = -\dfrac1{\sqrt{1-x^2}})]
- [math(\dfrac{\rm d}{{\rm d}x}(\arctan x) = \dfrac1{1+x^2})]
- [math(\dfrac{\rm d}{{\rm d}x}(\operatorname{arcsec}x) = \dfrac1{|x|\sqrt{x^2-1}})]
- [math(\dfrac{\rm d}{{\rm d}x}(\operatorname{arccsc}x) = -\dfrac1{|x|\sqrt{x^2-1}})]
- [math(\dfrac{\rm d}{{\rm d}x}(\operatorname{arccot}x) = -\dfrac1{1+x^2})]
분모에 제곱근과 거듭제곱이 있는 도함수를 가진다. 미적분학 과목에서 삼각치환을 이용한 적분을 할 때 역삼각함수들을 자주 볼 수 있다. 왜냐하면 적분 과정에서 삼각함수로 치환한 변수를 다시 본래의 정의역으로 되돌려야 하는데, 이때 역삼각함수로 쓰는게 편하기 때문.[7]
부호는 삼각함수의 도함수와 같다.
- [도함수 유도하기]
- ------
[1] 아크 사인
이므로 양변을 [math(x)]에 대해 미분하면[math(\begin{aligned} y = \arcsin x \quad \Leftrightarrow \quad x = \sin y \end{aligned} )]
한편, [math(\cos y = \sqrt{1-\sin^2y})]인데, 부호를 양으로만 선택한 것은 아크 사인의 치역 [math(-\pi/2 \leq y \leq \pi/2)]때문이다. 그런데 [math(x=\sin y)]이므로[math(\begin{aligned} 1 = \cos y \cdot \frac{{\rm d}y}{{\rm d}x} \quad \to \quad \frac{{\rm d}y}{{\rm d}x} = \frac1{\cos y} \end{aligned} )] [math(\begin{aligned} \frac{{\rm d}}{{\rm d}x}(\arcsin x) = \frac1{\sqrt{1-x^2}} \end{aligned} )]
[2] 아크 코사인
아크 사인 비슷한 과정을 거쳐 다음을 얻는다.[math(\begin{aligned} \frac{{\rm d}}{{\rm d}x}(\arccos x) = -\frac1{\sqrt{1-x^2}} \end{aligned} )]
[3] 아크 탄젠트
이므로 양변을 [math(x)]에 대해 미분하면[math(\begin{aligned} y = \arctan x \quad \Leftrightarrow \quad x = \tan y \end{aligned} )]
한편, [math(\sec^2y = 1+\tan^2y)]이고 [math(x = \tan y)]이므로[math(\begin{aligned} 1 = \sec^2y \cdot \frac{{\rm d}y}{{\rm d}x} \quad \to \quad \frac{{\rm d}y}{{\rm d}x} = \frac1{\sec^2y} \end{aligned} )] [math(\begin{aligned} \frac{{\rm d}}{{\rm d}x}(\arctan x) = \frac1{1+x^2} \end{aligned} )]
[4] 아크 시컨트
이므로 양변을 [math(x)]에 대해 미분하면[math(\begin{aligned} y = \operatorname{arcsec}x \quad \Leftrightarrow \quad x = \sec y \end{aligned} )]
한편, 치역에 의해[math(\begin{aligned} 1 = \sec y\tan y \cdot \frac{{\rm d}y}{{\rm d}x} \quad \to \quad \frac{{\rm d}y}{{\rm d}x} = \frac1{\sec y\tan y} \end{aligned} )]
이고, [math(x=\sec y)]이므로[math(\begin{aligned} \tan y = \begin{cases} \sqrt{\sec^2y-1} \quad& \left( 0<y \leq \dfrac\pi2 \right) \\ \\ -\sqrt{\sec^2y-1} \quad& \left( \dfrac\pi2<y \leq \pi \right) \end{cases} \end{aligned} )]
이다. 이상에서[math(\begin{aligned} \tan y = \begin{cases} \sqrt{x^2-1} \quad& ( x \geq 0 ) \\ \\ -\sqrt{x^2-1} \quad& (x<0) \end{cases} \end{aligned} )]
이다. 한편, 이것을 한번에 쓰기 위해서 절댓값의 특성을 고려하면[math(\begin{aligned} \frac{{\rm d}}{{\rm d}x}(\operatorname{arcsec}x) = \begin{cases} \dfrac1{x\sqrt{x^2-1}} \quad& ( x \geq 0 ) \\ \\ \dfrac1{-x\sqrt{x^2-1}} \quad& (x<0) \end{cases} \end{aligned} )]
을 얻는다. 다른 방법으로서 항등식 [math(\operatorname{arcsec}x = \arccos\cfrac1x)]을 이용하면 더 간단하게 유도할 수 있는데[math(\begin{aligned} \frac{{\rm d}}{{\rm d}x}(\operatorname{arcsec}x) = \frac1{|x|\sqrt{x^2-1}} \end{aligned} )] [math(\begin{aligned} \frac{\rm d}{{\rm d}x}(\operatorname{arcsec}x) &= \frac{\rm d}{{\rm d}x}{\left(\arccos\frac1x\right)} \\ &= -\frac{-\dfrac1{x^2}}{\sqrt{1-\dfrac1{x^2}} } \\ &= \frac1{x^2\sqrt{1-\dfrac1{x^2}} } \\ &= \frac1{|x|\sqrt{x^2-1}}\end{aligned})]
[5] 아크 코시컨트
아크 시컨트와 비슷한 과정을 거쳐 다음을 얻는다.[math(\begin{aligned} \frac{{\rm d}}{{\rm d}x}(\operatorname{arccsc}x) = -\frac1{|x|\sqrt{x^2-1}} \end{aligned} )]
[6] 아크 코탄젠트
아크 탄젠트와 비슷한 과정을 거쳐 다음을 얻는다.[math(\begin{aligned} \frac{{\rm d}}{{\rm d}x}(\operatorname{arccot}x) = -\frac1{1+x^2} \end{aligned} )]
7. 역도함수
- [math(\displaystyle \int \arcsin x \,{\rm d}x = x \arcsin x +\sqrt{1-x^2} +{\sf const.})]
- [math(\displaystyle \int \arccos x \,{\rm d}x = x \arccos x -\sqrt{1-x^2} +{\sf const.})]
- [math(\displaystyle \int \arctan x \,{\rm d}x = x \arctan x -\frac12 \ln{(x^2+1)} +{\sf const.})]
- [math(\displaystyle \int \operatorname{arcsec}x \,{\rm d}x = x \operatorname{arcsec}x -\operatorname{sgn}x \ln{(x+\sqrt{x^2-1})} +{\sf const.})]
- [math(\displaystyle \int \operatorname{arccsc}x \,{\rm d}x = x \operatorname{arccsc}x +\operatorname{sgn}x \ln{(x+\sqrt{x^2-1})} +{\sf const.})]
- [math(\displaystyle \int \operatorname{arccot}x \,{\rm d}x = x \operatorname{arccot}x +\frac12 \ln(x^2+1) +{\sf const.})]
부분적분을 활용하여 증명할 수 있다.
여기서 [math(\operatorname{sgn}x)]는 부호 함수이고, [math(\sf const.)]는 적분 상수이다.
7.1. 특수 적분
- [math(\displaystyle \int \frac{\arcsin x}{x} \,{\rm d}x = -\frac{1}{2} [2 \ln{(-e^{2i \arcsin x} + 1 )} - i \arcsin x] - \frac{i}{2} \mathrm{Li}_2 (e^{2i \arcsin x}) +{\textsf{const.}})]
- [math(\displaystyle \int \frac{\arccos x}{x} \,{\rm d}x = -\frac{1}{2} [2 \ln{(e^{2i \arccos x} + 1 )} - i \arccos x ] - \frac{i}{2} \mathrm{Li}_2 (e^{2i \arccos x} ) +{\textsf{const.}})]
- [math(\displaystyle \int \frac{\arctan x}{x} \,{\rm d}x = \frac{i}{2} [ \mathrm{Li}_2 ( -ix ) - \mathrm{Li}_2 (ix ) ] +{\textsf{const.}})]
- [math(\displaystyle \int \frac{\operatorname{arcsec}x}{x} \,{\rm d}x = \frac{i}{2} \operatorname{arcsec}x (2i \ln{(e^{2i\, \operatorname{arcsec}x} + 1 )} + \operatorname{arcsec}x ) + \frac{i}{2} \mathrm{Li}_2 (-e^{2i \,\operatorname{arcsec}x} ) +{\textsf{const.}})]
- [math(\displaystyle \int \frac{\operatorname{arccsc}x}{x} \,{\rm d}x = \frac{i}{2} \operatorname{arccsc}x (2i \ln{(-e^{2i\, \operatorname{arccsc}x} + 1 )} + \operatorname{arccsc}x ) + \frac{i}{2} \mathrm{Li}_2 (e^{2i\, \operatorname{arccsc}x} ) +{\textsf{const.}})]
- [math(\displaystyle \int \frac{\operatorname{arccot}x}{x} \,{\rm d}x = -\frac{i}{2} \left[ \mathrm{Li}_2 \biggl( -\frac{i}{x} \biggr) - \mathrm{Li}_2 \biggl(\frac{i}{x} \biggr) \right] +{\textsf{const.}})]
여기서 [math(\mathrm{Li}_2)]는 폴리로그함수이고, [math(\textsf{const.})]는 적분 상수이다.
8. 무한급수
역삼각함수의 도함수가 초등함수로 나타나므로 이를 매클로린 급수로 전개한 식을 적분함으로써 무한급수를 얻을 수 있다. 예를 들어[math(\begin{aligned} \frac{{\rm d}}{{\rm d}z} (\arcsin{z})&=\frac{1}{\sqrt{1-z^{2} }} \\ &= (1-z^2)^{-1/2} \quad (|z|<1) \end{aligned} )]
이므로 이항급수의 테일러 전개를 이용하면
| [math(\begin{aligned} (1-z^2)^{-1/2} &= \sum_{n=0}^\infty\binom{-1/2}n(-z^2)^n \\ &= 1 + \sum_{n=1}^\infty\frac1{n!}{\left(-\dfrac12\right)}{\left(-\dfrac12-1\right)}{\left(-\dfrac12-2\right)}\cdots{\left(-\dfrac12-n+1\right)}(-z^2)^n \\ &= 1 + \sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)(-3)(-5)\cdots(1-2n)}{2^n{\cdot}n!}(-1)^nz^{2n} \\ &= 1 + \sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n(2n-1)!!(-1)^n}{(2n)!!}z^{2n} \\ &= 1 + \sum_{n=1}^\infty \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}z^{2n} \\ &= \sum_{n=0}^\infty\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}z^{2n}\end{aligned})] |
이제 위 식을 구간 [math([0,\,z])]에 대해 정적분하면 [math(\arcsin0 = 0)]이므로
| [math(\begin{aligned}\int_0^z \frac{\rm d}{{\rm d}t}\arcsin t{\rm\,d}t &= \biggl[\arcsin t\biggr]_0^z \\ &= \arcsin z \\ &= \int_0^z \sum_{n=0}^\infty\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}t^{2n}{\rm\,d}t \\ &= {\left[\sum_{n=0}^\infty\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\frac{t^{2n+1}}{2n+1}\right]}_0^z \\ &= \sum_{n=0}^\infty\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\frac{z^{2n+1}}{2n+1}\end{aligned})] |
[math(\displaystyle \arcsin z = \sum_{n=0}^\infty\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\frac{z^{2n+1}}{2n+1})]
이고 도함수에서와는 다르게 이 급수에서는 [math(z = \pm1)]에서도 정의가 되므로 정의역은 [math(|z|\le1)]이다. 이중계승을 계승으로 대치함으로써 다음을 얻는다.
| [math(\displaystyle \arcsin z= \sum_{n=1}^\infty \frac{(2n)!}{4^n(n!)^2}\frac{z^{2n+1}}{2n+1} \quad (|z| \le 1))] |
역탄젠트 함수의 경우
| [math(\displaystyle \arctan z = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2n+1}z^{2n+1} \quad (|z| \le 1) )] |
나머지 함수들의 경우 앞선 항등식 항목의 관계식
| [math(\begin{aligned} \arccos z &= \dfrac\pi2 - \arcsin z\\ \operatorname{arccot}z &= \dfrac\pi2 - \arctan z \\ \operatorname{arccsc} z &= \arcsin{\biggl(\dfrac1z \biggr)} \\ \operatorname{arcsec}z &= \arccos{\biggl(\dfrac1z \biggr)}\end{aligned})] |
8.1. 도량형학 관점에서의 의의
바로 이 무한급수의 존재 때문에 삼각함수의 정의역이 호도법으로 나타낸 각의 수치, 즉 [math(\theta/{\rm rad})]이어야 함이 자명하게 드러난다.[8]역삼각함수는 삼각함수의 결과값을 정의역으로 받는 함수인데, 삼각함수의 값은 좌표평면 위의 반지름이 [math(r)]인 원에서 다음과 같이
| [math(\begin{aligned} \sin\underline\theta &= \dfrac yr \\ \cos\underline\theta &= \dfrac xr \\ \tan\underline\theta &= \dfrac yx\end{aligned})] |
| [math(\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!{\cdot}(2n+1)}{\left(\frac yr\right)}^{2n+1} = \frac yr + \frac16{\left(\frac yr\right)}^3 + \frac3{40}{\left(\frac yr\right)}^5 + \frac5{112}{\left(\frac yr\right)}^7 + \cdots )] |
[math(\theta = \cfrac\pi2{\rm\,rad})]
의 수치이므로 [math(\underline\theta = \theta/{\rm rad})]이다. 따라서 삼각함수의 정의역은 각도 [math(\theta)] 그 자체가 아닌 이를 [math(\rm rad)]으로 나눈 값 [math(\theta/{\rm rad})]으로 표기함이 마땅하다.
또한, 이러한 무한급수의 수렴값은 호도법으로 나타낸 각의 수치로 수렴하므로, 가령 육십분법 각도 [math(\phi)]로 표기할 경우 비례식 [math(\theta : 2\pi{\rm\,rad} = \phi : 360\degree)]로부터 얻어지는 관계식
[math(\theta/{\rm rad} = \cfrac\pi{180\degree}\phi)]
를 이용하여
[math(\sin\cfrac\pi{180\degree}\phi)]
[math(\cfrac\pi{180\degree}\phi)]
역시 물리량과 단위를 묶어서 표기하면
[math(\cfrac\pi{180}(\phi/\degree))]
가 되어, 육십분법으로 나타낸 각도의 수치(무차원량) [math(\phi/\degree)]에 [math(\pi/{180})]가 곱해진 무차원량의 수치임을 알 수 있다.
9. 기타 논의
9.1. 역삼각함수를 이용한 삼각방정식의 풀이
삼각함수 문서에서 삼각방정식의 한 특수해를 [math(\xi)], [math(a)], [math(b)]는 상수, [math(|a| \leq 1)], [math(n)]을 임의의 정수라 할 때 각 방정식의 일반해는 다음과 같음을 논의했다.| 방정식 | 일반해 |
| [math(\boldsymbol{\sin{x}=a})] | [math(x=n\pi+(-1)^{n}\xi)] |
| [math(\boldsymbol{\cos{x}=a})] | [math(x=2n\pi \pm \xi)] |
| [math(\boldsymbol{\tan{x}=b})] | [math(x=n\pi+\xi)] |
| 방정식 | 일반해 |
| [math(\boldsymbol{\sin{x}=a})] | [math(x=n\pi+(-1)^{n}\arcsin{a})] |
| [math(\boldsymbol{\cos{x}=a})] | [math(x=2n\pi \pm \arccos{a})] |
| [math(\boldsymbol{\tan{x}=b})] | [math(x=n\pi+\arctan{b})] |
주의해야 할 것은 특정 구간에 대한 특수해를 구할 때인데, 역삼각함수는 치역이 정해져있어 구하는 구간이 치역과 동일한 경우를 제외하곤 방정식 [math(\sin{x}=a)], [math(\cos{x}=a)], [math(\tan{x}=b)]의 해를 [math(x=\arcsin{a})], [math(x=\arccos{a})], [math(x=\arctan{b})]로 단정해선 안된다. 이 경우 일반해에서 적당한 정수를 대입해 해당 구간 내에 해가 존재하도록 맞춰줘야 한다.
9.2. 역삼각함수를 이용한 각 찾기
윗 문단에서도 논의했지만 역삼각함수는 치역이 제한되어 있어, 어떤 삼각함수의 값을 대입한다고 해서 원하는 각이 얻어지는 것은 아니다. 따라서 윗 문단과 같이 일반해를 이용하여 조건에 맞는 각을 찾아야 한다.오일러 공식을 이용해서 다시 쓴 역삼각함수를 이용해도 되지만, 환원 불능(casus irreducibilis)[9]이 될 수 있으므로 주의하는 것이 좋다.
9.3. 역삼각함수와 삼각함수의 합성함수
이 문단에서는 역삼각함수와 삼각함수의 합성함수 [math(\arcsin{(\sin{x})})]같은 꼴을 분석해본다.[1] [math(\boldsymbol{\arcsin{(\sin{x})}})]
얼핏 생각하기엔 역함수와 본 함수를 합성한 것이어서 [math(\arcsin{(\sin{x})}=x)]라고 생각할 수 있다. 하지만 이것이 성립하는 것은 닫힌 구간 [math([-\pi/2,\,\pi/2])]에서만 성립한다. 그 이유는 아크 사인 함수의 치역 때문으로, 해당 구간을 넘어서면 역삼각함수의 치역에서 벗어나기 때문이다.
일단 가장 쉬운 단서를 파악해보자. 합성함수여도 역삼각함수의 일종이기에 [math(-\pi/2 \leq \arcsin{(\sin{x})} \leq \pi/2)]를 만족할 것이다. 또, 치역 내의 값이 함숫값으로 나오는 [math(x)]값의 구간에 대해선 [math(\arcsin{(\sin{x})}=x)]로 쓸 수 있을 것이다. 그렇기 때문에 구간을
| [math(\begin{aligned} -\frac{\pi}{2}+n \pi \leq x \leq \frac{\pi}{2}+n \pi \quad \cdots \,(\ast) \end{aligned} )] |
| [math(\begin{aligned} \sin{x}=\sin{ \{(-1)^{n}(x-n \pi) \} } \end{aligned} )] |
| [math(\begin{aligned} \arcsin{(\sin{x})}=\arcsin{[\sin{ \{(-1)^{n}(x-n \pi) \} }]}\end{aligned} )] |
| [math(-\dfrac{\pi}{2}\leq (-1)^{n}(x+n \pi) \leq \dfrac\pi2 )] |
| [math(\arcsin{(\sin{x})}=(-1)^{n}(x-n \pi) \quad \left(-\dfrac{\pi}{2}+n \pi \leq x < \dfrac{\pi}{2}+n \pi \right) )] |
[2] [math(\boldsymbol{\arccos{(\cos{x})}})]
[1]과 비슷한 방법으로 구간을
| [math(\begin{aligned} 0+2n \pi & \leq x \leq \pi+2n \pi \end{aligned} )] |
| [math(\begin{aligned} \cos{x}=\cos{(x-2n \pi)} \end{aligned} )] |
| [math(0 \leq x-2n \pi \leq \pi )] |
| [math(\begin{aligned} \arccos{(\cos{x})}=x-2n \pi \quad (2n \pi \leq x \leq (2n+1)\pi ) \end{aligned} )] |
| [math(\begin{aligned} (2n-1)\pi \leq x \leq 2n\pi \end{aligned} )] |
| [math(\begin{aligned} \cos{x}=\cos{(x-2n \pi)} \end{aligned} )] |
| [math(-\pi \leq x-2n \pi \leq 0 )] |
| [math(\begin{aligned} \cos{x}=\cos{(x-2n \pi)}=\cos{(2n \pi-x)} \end{aligned} )] |
| [math(0 \leq 2n \pi-x \leq \pi )] |
| [math(\begin{aligned} \arccos{(\cos{x})}=2n \pi -x \quad ((2n-1) \pi \leq x \leq 2n\pi ) \end{aligned} )] |
| [math(\arccos{(\cos{x})}=\begin{cases}2n \pi -x & \quad ((2n-1)\pi \leq x < 2n\pi) \\ x-2n\pi & \quad (2n\pi \leq x < (2n+1) \pi ) \end{cases} )] |
[3] [math(\boldsymbol{\arctan{(\tan{x})}})]
[1]과 비슷한 방법을 적용한다. 구간을
| [math(\begin{aligned} -\dfrac\pi2 -n \pi \leq x \leq \dfrac\pi2 -n \pi \end{aligned} )] |
| [math(\begin{aligned} \tan{x}=\tan{(x+n\pi)} \end{aligned} )] |
| [math(\begin{aligned} -\dfrac\pi2 \leq x+n\pi \leq \dfrac\pi2 \end{aligned} )] |
| [math(\begin{aligned} \arctan{(\tan{x})}=x+n \pi \quad \left( -\dfrac\pi2 -n \pi < x < \dfrac\pi2 -n \pi \right) \end{aligned} )] |
[4] 그래프
위에서 논의한 함수들의 그래프는 다음과 같다.
각 함수는 역삼각함수의 치역 내에서 진동하는 형태를 띄며, 아크 사인과 아크 코사인 함수는 삼각파 형태를, 아크 탄젠트 함수는 톱니파 형태를 띈다.
9.4. 이변수함수 꼴
역삼각함수 중에서 이변수함수로 정의되는 함수도 있다.| [math(\operatorname{atan2}{(y,\, x)} = \begin{cases} \arctan\left(\dfrac y x\right) & \quad (x > 0) \\ \\ \end{cases} )] \arctan\left(\dfrac y x\right) + \pi & \quad (y \ge 0,\; x < 0) \\ \\ \arctan\left(\dfrac y x\right) - \pi & \quad (y < 0,\; x < 0) \\ \\ \dfrac\pi2 & \quad (y > 0,\; x = 0) \\ \\ -\dfrac\pi2 & \quad (y < 0,\; x = 0) \\ \\ \textsf{undefined} & \quad (y = 0,\; x = 0) |
10. 복소수 관련
10.1. 오일러 공식을 이용한 역삼각함수 다시 쓰기
일반적인 삼각함수는 오일러의 공식을 이용해서 복소평면상에서 정의할 수 있고, 이렇게 확장하면 역함수를 정의하기가 용이하다.- [math(\arcsin z = -i\ln\,(iz+\sqrt{1-z^2}))]
- [math(\arccos z = -i\ln\,(z+\sqrt{z^2-1}))]
- [math(\arctan z = -\dfrac i2\ln{\left(\dfrac{i-z}{i+z}\right)} = -\dfrac i2\ln{\left(\dfrac{1+iz}{1-iz}\right)})]
- [math(\operatorname{arcsec}z = -i\ln{\biggl(\dfrac1z+\sqrt{\dfrac1{z^2}-1}\biggr)})]
- [math(\operatorname{arccsc}z = -i\ln{\biggl(\dfrac iz+\sqrt{1-\dfrac1{z^2}}\biggr)})]
- [math(\operatorname{arccot}z = -\dfrac i2\ln{\left(\dfrac{z+i}{z-i}\right)} = -\dfrac i2\ln{\left(\dfrac{iz-1}{iz+1}\right)})]
- [유도하기]
- ------
오일러의 공식 [math(e^{ix}=\cos x+i\sin x)]를 이용한다.
각 식은 [math(e^{ix})]에 대한 2차 방정식과 같으므로 다음과 같이 변형한 뒤 근의 공식을 적용하고 자연로그를 취하면 [math(x)]를 [math(\cos x)], [math(\sin x)]로 나타낼 수 있게 된다.[math(\begin{aligned}\cos x &= \dfrac{e^{ix}+e^{-ix}}2 = \dfrac{e^{2ix}+1}{2e^{ix}} \\ \sin x &= \dfrac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i} = \dfrac{e^{2ix}-1}{2ie^{ix}}\end{aligned})]
[math(\cos x = z)]라 놓으면 [math(x = \arccos z)]이며, 마찬가지로 [math(\sin x = z)]라 놓으면 [math(x = \arcsin z)]이므로[math(\begin{aligned} (e^{ix})^2 &- 2\cos xe^{ix} + 1=0 \\ e^{ix} &= \cos x \pm \sqrt{\cos^2x-1} \\ x &= -i\ln\,(\cos x \pm \sqrt{\cos^2x-1}) \\ \\ (e^{ix})^2 &- 2i\sin xe^{ix} -1 = 0 \\ e^{ix} &= i\sin x \pm \sqrt{1-\sin^2x} \\ x &= -i\ln\,(i\sin x \pm \sqrt{1-\sin^2x}) \end{aligned})]
각 식에서 부호가 2개씩 얻어지는데, 미분했을 때 우리가 알고 있는 도함수의 꼴이 나오는 쪽을 취한다.[math(\begin{aligned} \arccos z &= -i\ln\,(z \pm \sqrt{z^2-1}) \\ \arcsin z &= -i\ln\,(iz \pm \sqrt{1-z^2}) \end{aligned})] [math( \begin{aligned} \dfrac{\rm d}{\mathrm{d}z}(\arccos z) &= \dfrac{\rm d}{\mathrm{d}z}\{-i\ln\,(z \pm \sqrt{z^2-1})\} \\&= -i\dfrac{1\pm\dfrac z{\sqrt{z^2-1} }}{z\pm\sqrt{z^2-1}} \\&= -i\dfrac{\dfrac{\sqrt{z^2-1}\pm z}{\sqrt{z^2-1} }}{z\pm\sqrt{z^2-1}} \\&= \mp i\dfrac1{\sqrt{z^2-1}} \\ &= \mp i\dfrac1{i\sqrt{1-z^2}} \\&= \mp\dfrac1{\sqrt{1-z^2}} \\ \\ \therefore \arccos z &= -i\ln\,(z+\sqrt{z^2-1}) \end{aligned})]
또한
따라서[math(\begin{aligned} \dfrac{\rm d}{\mathrm{d}z}(\arcsin z) &= \dfrac{\rm d}{\mathrm{d}z}\{-i\ln\,(iz \pm \sqrt{1-z^2})\} \\&= -i\dfrac{i\mp\dfrac z{\sqrt{1-z^2} }}{iz\pm\sqrt{1-z^2}} \\&= -i\dfrac{\dfrac{i\sqrt{1-z^2}\mp z}{\sqrt{1-z^2} }}{iz\pm\sqrt{1-z^2}} \\& = -i\dfrac{\pm i}{\sqrt{1-z^2}}\\&=\pm\dfrac1{\sqrt{1-z^2}} \end{aligned})] [math( \arcsin z = -i\ln\,(iz+\sqrt{1-z^2}))]
또한 복소수 [math(z = re^{i\theta})]에서 편각 [math(\arg z = \theta)]의 범위를 구간 [math((-\pi,~\pi])]로 잡으면 [math(\ln i = \ln e^{i\pi/2 } = i\pi/2)]이므로
가 되어 실수 범위의 함수에서 성립하던 성질도 여전히 유효함을 알 수 있다.[math(\begin{aligned} \arccos z &= -i\ln\,(z+\sqrt{z^2-1}) \\& = -i\ln\,\{i(-iz+\sqrt{1-z^2})\} \\& = -i\{\ln i + \ln\,(-iz+\sqrt{1-z^2})\} \\ &= -i\ln i - i\ln\,(-iz+\sqrt{1-z^2}) \\& = -i^2\frac\pi2 + i\ln\frac1{-iz+\sqrt{1-z^2}} \\& = \frac\pi2 + i\ln\,(iz+\sqrt{1-z^2}) \\ &= \frac\pi2 - \arcsin z \end{aligned})]
[math(\arctan z)]의 경우 도함수를 적분함으로써 유도할 수 있다.
이므로[math(\begin{aligned} \dfrac{\rm d}{{\rm d}z}\arctan z &= \dfrac1{1+z^2} \\&= \dfrac1{(z-i)(z+i)} \\&= \dfrac1{2i}{\left(\dfrac1{z-i}-\dfrac1{z+i}\right)} \end{aligned})]
여기서 치역이 주욧값의 범위를 취한다고 하면, [math(\arctan 0 = 0)]이므로 절댓값을 벗겨서[math(\displaystyle \arctan z = \int \frac1{2i}\biggl(\dfrac1{z-i}-\dfrac1{z+i}\biggr){\rm\,d}z = \frac1{2i}\ln\,\biggl|\frac{z-i}{z+i}\biggr| + {\textsf{const.}})]
[math(\sec x = z)]라 놓으면 [math(\cos x = \cfrac1z)]이므로 [math(x = \operatorname{arcsec}z = \arccos\cfrac1z)], 즉[math(\begin{aligned}\arctan z &= \dfrac1{2i}\ln{\left(\dfrac{i-z}{i+z}\right)} \\ &= -\dfrac i2\ln{\left(\dfrac{i-z}{i+z} \right)}\end{aligned})]
같은 방식으로[math(\begin{aligned}\operatorname{arcsec}z &= \arccos\dfrac1z = -\ln{\left(\dfrac1z+\sqrt{\dfrac1{z^2}-1}\right)}\end{aligned})]
을 얻는다.[math(\begin{aligned} \operatorname{arccsc}z &= \arcsin\dfrac1z \\&= -i\ln\,\biggl(\dfrac iz+\sqrt{1-\dfrac1{z^2}}\biggr) \\ \\ \operatorname{arccot}z &= \arctan\dfrac1z = -\dfrac i2\ln{\left(\dfrac{i-\dfrac1z}{i+\dfrac1z} \right)} \\&= -\dfrac i2\ln{\left(\dfrac{zi-1}{zi+1}\right)} \\&= -\dfrac i2\ln{\left(\dfrac{z+i}{z-i}\right)}\end{aligned})]
이 식은 삼각함수를 복소평면으로 확장해도 성립한다. 주의해야할 점은 [math(\arctan z)]와 [math(\operatorname{arccot}z)]의 분수 부분에 로그의 성질 [math(\ln x = -\ln\cfrac1x)]을 함부로 적용하면 안 된다는 것인데 두 식의 합에 의한 로그의 진수가 항상 [math(-1)]이 되기 때문이다. 주욧값의 범위 [math((-\pi,\,\pi])]를 그대로 유지할 경우 [math(\ln(-1) = \ln e^{\pi i} = \pi i)]이므로 각 분수 부분에 역수를 취할 경우 두 식의 합이 [math(-\cfrac\pi2)]가 되어 기존에 성립했던 성질이 유도되지 않는다. 로그 앞에 [math((-))]부호가 붙은 식만이 아래와 같은 항등식 관계를 만족시킨다.[math(\begin{aligned} \dfrac\pi2 - \arctan z &= \dfrac\pi2 + \dfrac i2\ln{\left(\dfrac{i-z}{i+z}\right)} \\ &= -\dfrac i2{\left\{\pi i -\ln{\left(\dfrac{i-z}{i+z}\right)}\right\}} \\&= -\dfrac i2\ln{\left(e^{\pi i}{\cdot}\dfrac{i+z}{i-z}\right)}\\& = -\dfrac i2\ln{\left\{(-1){\cdot}\dfrac{i+z}{i-z}\right\}} \\ &= -\dfrac i2\ln{\left(\dfrac{z+i}{z-i}\right)} \\ &= \operatorname{arccot}z \end{aligned})]
의외의 사실로 저 정의를 통해 유리수 삼각비[10]에 대응하는 각도를 구할 수 있다.
10.2. 복소평면상 역삼각함수의 그래프
| | | |
| [math(\arcsin z)] | [math(\arccos z)] | [math(\arctan z)] |
| | | |
| [math(\operatorname{arcsec} z)] | [math(\operatorname{arccsc} z)] | [math(\operatorname{arccot} z)] |
11. 기타
- 위에서 구구절절 설명이 길었지만, 사실 개념 자체는 삼각비를 배울 때부터 함께 따라다녔다고 봐도 과언이 아니다. 가장 단적인 예가 삼각방정식인데, 직각삼각형의 변 길이가 모두 주어졌을 때 각도[11]를 구하는 과정에서 (구체적으로는 무엇인지 아직 모르는 상태이지만) 역삼각함수를 생각하고 있다고 볼 수 있다.
- 원주율의 근본에 밀접한 함수이기 때문에 원주율 계산에 사용되기도 한다.
- 나무위키 상에서 [math(TeX)]을 이용하여 [math(\operatorname{arcsec}x)], [math(\operatorname{arccsc}x)], [math(\operatorname{arccot}x)]를 입력하려면 각각
\operatorname{arcsec}x,\operatorname{arccsc}x,\operatorname{arccot}x로 입력한다. 이 외에도\(연산자 명)이 지원되지 않는 함수들은\operatorname{(연산자 명)}을 이용한다.[12] - 경사도는 밑변 분의 높이 비율을 분율(%, ‰)로 표기하는데, 이를 각도로 나타내기 위해 역삼각함수를 사용할 수 있다.
12. 관련 문서
[1] 미적분 등에서 삼각함수를 활용할 때, 식을 간단하게 표현하기 위해 일반적으로 호도법으로 표현된 각의 수치(즉, [math(\rm rad)] 단위를 뗀 값)를 정의역으로 삼는다. 물리량으로서의 단위까지 포함하는 '각'이 아니라 '각의 수치'인 이유에 대해서는, 삼각함수 문서의 정의역에 관한 고찰 항목과 본 문서의 도량형학 관점에서의 의의 항목 참고.[2] 이를 분지 절단(branch cut)이라고 한다.[3] 일부 사람들은 계산의 용의성을 이유로 "[math(0 \leq y <\pi/2)] 또는 [math(\pi < y \leq 3\pi/2)]"로 하기도 한다.[4] 일부 사람들은 계산의 용의성을 이유로 "[math(-\pi \leq y <-\pi/2)] 또는 [math(0 < y \leq \pi/2)]"로 하기도 한다.[지시함수] [math({\bold 1}_{\mathbb R^-}(x))]은 [math(x)]가 음의 실수일 때 1, 나머지는 0을 띠는 지시함수다.[지시함수] [7] 에를 들어 [math(x = \sin t)]로 치환해 적분을 했는데, 적분 결과에 [math(t)] 변수가 있다면, 그걸 본래 정의역인 [math(x)]로 되돌려야 한다. 이때 역삼각함수를 사용해 [math(t = \arcsin x)]으로 되돌린다.[8] 그리고 이는 호도법에서 각도의 단위가 [math(\rm rad)]이라고 했으면서도 실제로 쓸 때에는 대부분 생략하는 것처럼 보이는 아리송한 현상에 대한 이유가 된다. 좀 더 정확히 말하자면 도량형학 관점에서 [math(\rm rad)] 단위는 생략되는 것이 아니라 쓰지 않아야 하는 것이 맞다. 물리학적으로 수식의 양변은 차원과 단위가 일치해야하기 때문이며, 이는 삼각함수 뿐만 아니라 회전 운동에서의 변위 [math(l = r{\color{red}\theta})]라든지, 구심 가속도 [math(a = r{\color{red}\omega}^2)] 등 각변위에 관련된 물리량이 포함되면서 단위에 [math(\rm rad)]을 쓰지 않는 이유도 정확하게는 [math(l = r{\color{red}\theta/{\rm rad}})], [math(a = r({\color{red}\omega/{\rm rad}})^2)]와 같이 [math(\rm rad)]이 약분된 물리량으로 쓰는 것이 올바른 표기이기 때문이다.[9] 어떤 실수가 허수단위가 포함되게 표현되는 것.[10] [math(\{3,4,5\})] 같은 피타고라스 세 쌍으로 나타낼 수 있는 유리수[11] 교과과정상 [math(30\degree)], [math(45\degree)], [math( 60\degree)]만 다루기는 하지만은.[12]
\mathrm{(연산자 명)} 방법을 사용할 수 있으나 이 경우엔 변수와 연산자 명 사이가 자동으로 띄워지지 않으므로 \operatorname{(연산자 명)}을 사용하는게 맞다.