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최근 수정 시각 : 2019-04-05 23:19:54

최소공배수


1. 개요2. 찾는 법3. 성질4. 증명5. 관련 문서

1. 개요

Least Common Multiple
LCM

초등학교에서 약수배수를 배운 뒤에 최대공약수와 함께 배우게 되는 내용. 공배수란, 이름에서 알 수 있듯이 두 수, 혹은 그 이상의 수들의 공통인 배수라는 뜻이다. 최소공배수는 당연히 공배수 중에서 가장 작은 것. 두 수 a,ba,b의 최소공배수를 기호로 lcm(a,b)\text{lcm}\left(a,b\right)로 표기하며,[1] 더욱 줄이면 [a,b]\left[a,\,b\right]로 표기하기도 한다.

간혹 최공배수로 잘못 부르는 경우가 있는데, 최대공배수는 존재하지 않는다. 공배수는 한없이 커지므로, 가장 큰 숫자를 정의할 수 없기 때문.[2]

2. 찾는 법

예시로 두 수 10, 12의 공배수를 찾고 싶다고 하자. 먼저 두 수의 배수를 쭉 나열한다.
10: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, ...
12: 12, 24, 36, 48, 60, 72, ...
여기서 위아랫줄 동시에 나타나는 수가 바로 공배수이다. 최소공배수는 앞서 설명했듯이 공배수 중 가장 작은 것. 이 예시의 경우에는 60이 최소공배수가 된다. 예로 60갑자는 10갑(갑을병정...)과 12자(자축인묘...)의 조합을 의미하는 것으로, 60가지의 조합이 있어 60갑자라고 부르는 것이다. 이처럼 최소공배수는 나열에 해당하는 경우의 수를 구할 때 사용한다.

하지만 숫자를 나열하는 방법으로 최소공배수를 찾는게 힘들다면? 이 때는 소인수분해를 이용해서 최소공배수를 찾는다. 10과 12를 각각 소인수분해하면,
10=2510=2\cdot5
12=22312=2^2\cdot3
이제 중복되는 소인수는 차수가 큰 횟수만큼, 그리고 나머지 소인수를 모두 곱해주면 그 값이 최소공배수이다. 위 예시에서는 2를 두 번,[3] 3을 한 번, 그리고 5를 한 번 곱한 값, 즉 60이 최소공배수가 된다. 특히, 숫자가 서로소이면, 그냥 아무런 생각도 하지않고 두 수를 곱해주기만 하면 그 값이 최소공배수가 됨을 알 수 있다.

3. 성질

두 정수 a,ba,b에 대하여,
  1. lcm(a,b)ab\text{lcm}\left(a,b\right)\mid ab
  2. lcm(a,b)gcd(a,b)=ab\text{lcm}\left(a,b\right)\gcd\left(a,b\right)=ab
최대공약수는 성질이 많은데 얘는... 그나마 있는 하나도 최대공약수가 끼어있다.

4. 증명

1. gcd(a,b)=G\gcd\left(a,b\right)=G라 하자. 그럼 적당한 정수 mm, nn에 대해 a=Gm,b=Gna=Gm,b=Gn, (m,nm,n서로소)가 성립한다. 이 때, lcm(a,b)=Gmn\left(a,b\right)=Gmn이다. 따라서, lcm(a,b)=GmnG2mn=ab\text{lcm}\left(a,b\right)=Gmn\mid G^2mn=ab

2. gcd(a,b)=G\gcd\left(a,b\right)=G라 하자. 그럼 적당한 정수 m,nm,n에 대해 a=Gma=Gm, b=Gnb=Gn, (m,nm,n서로소)가 성립한다. 이 때, lcm(a,b)=Gmn\text{lcm}\left(a,b\right)=Gmn이다. 따라서, lcm(a,b)gcd(a,b)=G2mn=ab\text{lcm}\left(a,b\right)\gcd\left(a,b\right)=G^{2}mn=ab

5. 관련 문서



[1] lcm\text{lcm}은 Least Common Multiple의 줄임말[2] 그래도 어떻게 보면 아마도 최대공배수가 무한대라고도 볼 수 있을 지도 모른다.[3] 2는 중복되는 소인수인데, 12쪽의 2가 차수가 크므로 그 차수만큼(2번) 곱해준다. 콩까지마

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