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최근 수정 시각 : 2025-01-24 01:19:41

부채꼴

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1. 개요2. 공식
2.1. 둘레2.2. 넓이
3. 언어별 명칭

1. 개요

파일:나무_부채꼴_정의.png

위 그림과 같이 반지름의 길이가 [math(r)]이고, 중심이 [math(\rm O)]인 원을 고려했을 때, 두 반지름과 한 호를 둘러싸는 도형을 부채꼴(circular sector)이라 한다. 위 그림에서 회색 영역에 해당하는 도형이다.[1]

이때, 두 반지름 사이의 각을 [math(\theta)]라 할 때, 그 각을 부채꼴의 중심각이라 하며, 그 범위는 [math(0\degree \le \theta \le 360\degree)]이다.[2] 호도법으로 나타내면 [math(0{\rm\,rad}\le \theta \le 2\pi{\rm\,rad})]이다.

2. 공식

2.1. 둘레

우선 지름이 1인 원의 둘레 [math(pi)]를 아래처럼 정의하자.
[math(\begin{aligned} \pi &\triangleq \int^1_{-1} \frac{{\rm d}t}{\sqrt{1-t^2}} = 2\int_0^1 \frac{{\rm d}t}{\sqrt{1-t^2}} \\ &= \int_{-\infty}^\infty \frac{{\rm d}t}{1+t^2} = 2\int_0^\infty \frac{{\rm d}t}{1+t^2} \\ &\approx 3.14159265358979 \cdots \end{aligned})]

중심각이 [math(\theta)]이고, 반지름의 길이가 [math(r)]인 부채꼴의 호의 길이 [math(l)]은
[math(l=2\pi r\cdot \dfrac\theta{360\degree} = r\cdot\dfrac{\pi\theta}{180\degree})]
[math(\pi{\rm\,rad} = 180\degree \Leftrightarrow 1{\rm\,rad} = \dfrac{180\degree}\pi)]이므로 위 식을 호도법으로 나타내면
[math(l = r\theta/{\rm\,rad})]
이다.

둘레 [math(L)]은 호의 길이 [math(l)]에 반지름 [math(r)]을 두 번 더하면 되므로[3]
[math(\begin{aligned} l+2r &= r\cdot \frac{\pi\theta}{180\degree}+2r \\ &= r{\left(\frac{\pi\theta}{180\degree} + 2\right)}\end{aligned})]
임을 알 수 있다. 역시 호도법을 적용하면
[math(l=r(\theta/{\rm rad} + 2))]
로 간단하게 나타낼 수 있다.

2.2. 넓이

부채꼴의 호의 길이를 [math(l)], 반지름의 길이를 [math(r)], 넓이를 [math(S)]라 하면
[math(360\degree:\pi r^2=\theta:S)]
이를 정리하면 다음과 같다.
[math(\begin{aligned} S &= \pi r^2\cdot \frac\theta{360\degree} \\ &= \frac12r\cdot {\left(r\cdot\frac{\pi\theta}{180\degree}\right)} \\ &= \frac12rl \end{aligned})]
[math(l = r\theta/{\rm rad})]이므로 호도법으로 나타내면
[math(S=\dfrac12r^2\theta/{\rm rad})]
이 된다.

3. 언어별 명칭

[1] 하얀색 부분도 부채꼴이 맞긴 하다.[2] 중심각의 크기가 [math(0\degree)]이면 반지름과 길이가 같은 선분, [math(90\degree)]이면 사분원, [math(180\degree)]이면 반원, [math(360\degree)]이면 원이 된다.[3] 중심각이 [math(180\degree)] 미만인 경우 부채꼴을 이등변삼각형과 활꼴로 분할할 수 있다.

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