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1. 개요
넓이(area, extent, surface) 또는 면적(面積)은 2차원 공간에서의 크기를 가리킨다.2. 넓이 측정
기호로는 Area에서 따온 [math(A)] 또는 Surface에서 따온 [math(S)]를 쓴다.2.1. 평면도형의 넓이
2.1.1. 다각형의 넓이
직사각형을 대각선을 따라 합동인 두개의 직각삼각형으로 나눌 수 있으므로 직각삼각형의 넓이는 직사각형의 넓이의 절반이다.예각삼각형과 둔각삼각형은 직각삼각형으로 쪼개서 넓이를 구할 수 있다. 따라서 삼각형의 넓이 공식은 다음과 같다.
- 삼각형의 넓이 = 밑변 × 높이 × [math(\frac {1}{2})]
[math(\frac{1}{2})][math(ab)]
- 직사각형 넓이 = 가로 × 세로, 정사각형 넓이 = (변의 길이)2
위 식이 성립하고 다른 사각형은 대각선을 따라 삼각형 두개로 나누어 넓이를 구한다. - 서로 마주보는 두 점을 이어 대각선을 그린다.
- 모든 사각형은 이 대각선을 밑변으로 하는 삼각형 2개를 구할 수 있다. 이때 1. 에서 선택되지 않은 두 점과 밑변을 이어 높이 a,b를 구한다.
- 1.에서 그린 대각선이 사각형 안에 있을때;
사각형의 넓이 = [math(\frac {1}{2})] × (대각선의 길이) × (a+b) - 1.에서 그린 대각선이 사각형 밖에 있을때;
사각형의 넓이 = [math(\frac {1}{2})] × (대각선의 길이) × |(a-b)|
2.1.2. 이차폐곡선의 넓이
- 원의 넓이 = 원주율 × 반지름2
- 타원의 넓이 = [math(\frac {1}{4})] × 원주율 × 장축의 지름 × 단축의 지름 = 원주율 × 장축의 반지름 × 단축의 반지름[1]
중학교 1학년 수학에서 가르치기는 하지만 고등학교 2학년 과정인 미적분Ⅰ, 미적분Ⅱ 中 '구분구적법'과 '정적분'을 이해해야 이 공식을 이해할 수 있다. 초등학교에서 하는 증명[2]도 구분구적법이다.
원을 4등분하면 모양과 크기가 같은 부채꼴 4개가 되므로 네 부채꼴의 넒이를 모두 더해도 원 넒이와 같다.
2.2. 입체도형의 겉넓이
입체도형의 경계가 면이므로 해당 도형의 겉넓이를 구할 수 있다. 6학년 때 배우며 중1 올라가면 뿔, 구의 겉넓이까지 다룬다. 증명은 고2ㆍ3 때 미적분을 배워야 알 수 있다. 어떤 입체도형의 겉넓이는 그것의 전개도의 넓이이다.- 직육면체의 겉넓이 = (2 × 넓이 × 높이) + (2 × 넓이 × 깊이) + (2 × 높이 × 깊이)
- 정육면체의 겉넓이 = 6 × 한 변의 길이2 = 6 × 한 면의 넓이
- 원기둥 겉넓이 = 밑면들의 넓이 + 옆면의 넓이 = (2 × 원주율 × 반지름2) + (2 × 원주율 × 반지름 × 높이) = 2 × 원주율 × 반지름 × (반지름 + 높이)
- 원뿔의 겉넓이 = (원주율 × 반지름2) + (원주율 × 반지름 × 모선 길이[3]) = 원주율 × 반지름 × (반지름 + 모선 길이)
- 구의 겉넓이 = (4 × 원주율 × 반지름2)
원과 마찬가지로 정적분을 동원해야 증명을 할 수 있다. 원과는 달리 입체도형이므로 중적분을 해야 한다.[4]
구의 부피 공식을 반지름에 대해서 미분해서 구할 수도 있다.[5]
2.3. 다항함수 관련 넓이 공식
3. 넓이의 단위
3.1. SI 단위계
[math( \mathrm{m}^2 )]통칭 '제곱미터(square meter)'. 옛날 교과서나 서적 등에서는 '평방미터'라고 되어있는 경우도 있는데 같은 단위이다. 건축이나 산업 현장에서는 일본식 표현에서 온 단위로 '헤베'(平米, へーべー)를 많이 사용하기도 한다. [6]
3.2. 비SI 단위계
4. 여담
- 넓이라는 용어는 수학적으로 한 도형에서 음이 아닌 실수로 가는 함수를 뜻한다. 다만 임의의 함수가 되는것은 아니고 넓이라는 용어에 대한 기본적인 성질을 만족해야만 한다. 가령 안겹치게 쪼갠 도형들의 넓이의 값이 원 도형의 넓이와 같다거나, 포함되는 도형이라면 넓이가 더 작다는 등 사실 넓이보다는 측도라는 표현을 쓴다. 정적분의 정의를 이용한 조던 측도 방법이 있었고 그 후에 르벡이 이를 일반화 시켜 측도론이 탄생했다.
- 적분이 고대 이집트 시절부터 생겨난 것은 나일강으로 인해 주기적으로 범람해서 엉망(...)이 되곤 하는 토지의 넓이를 구하기 위해서이다. 나일강이 직선으로 흐를 리는 없기 때문에 한 면 이상이 곡선으로 이루어진 도형의 넓이를 구해야 했는데, 곡선은 직선과는 달리 정확하게 길이를 구하기가 힘든지라 이를 직선으로 최대한 근사시켜서 넓이를 구했다.[7]
- 간혹 너비를 넓이로 잘못 알고 있는 사람이 있는데 너비는 1차원 선분의 길이를 말하고, 넓이는 2차원 평면의 크기를 말한다.
- 특정 도형이 아닌 불규칙한 모양은 정확한 넓이를 구할 수 없으며, 구분구적법으로 대략적인 넓이를 구할 수 있다.
- 길이와 마찬가지로 일상 생활에서 자주 쓰이는 크기의 단위이지만, 여기서부터는 제곱의 개념을 사용하기 때문에 직관적인 크기 비교가 까다로워지기 시작한다.[8] 제곱으로 늘어나는게 싫다면 제곱근을 동원하여 각 변의 길이를 늘리거나 한 변의 길이만 늘린다. 이때, 길이는 곱해서 늘린다.
- 원환면(토러스)의 겉넓이는 ‘원주율2 × (바깥 반지름2 - 안 반지름2)’로 계산할 수 있다.
[1] 타원을 원으로 정사영시켜 넓이 비교를 통해 증명할 수 있다.[2] 원을 최대한 미세하게 가위로 잘라내서 부채꼴들의 호가 위아래로 번갈아 오도록 이들을 붙여 근사시킨 직사각형의 넓이가 (원주의 절반 × 반지름)이라는 사실을 통해 알 수 있다. 초등학교에서는 거듭제곱을 배우지 않았기에 반지름 × 반지름 × 원주율로 가르친다.[3] √(반지름2 + 높이2)[4] 회전체의 부피 공식을 이용하면 한 번만 적분해도 된다.[5] [math(\dfrac{\rm d}{{\rm d}r}\left(\dfrac{4}{3}\pi r^3\right) = 4\pi r^2)][6] 1 헤베는 1 제곱미터와 같다.[7] 이를 구분구적법이라고 한다.[8] 너비와 높이가 각각 원래 도형의 [math(2)]배가 된 경우, 넓이는 원래 도형의 4배[9]가 된다. [math(1^2=1)], [math(2^2=4)], [math(3^2=9)], [math(4^2=16)], [math(5^2=25)], [math(6^2=36)], [math(7^2=49)], [math(8^2=64)], [math(9^2=81)], [math(10^2=100)], [math(11^2=121)], [math(12^2=144)], [math(13^2=169)], [math(14^2=196)], [math(15^2=225)], [math(16^2=256)], [math(17^2=289)], [math(18^2=324)], [math(19^2=361)], [math(20^2=400)], [math(\cdots)] 등으로 외워 두면 좋다.