원뿔곡선

평면기하학 Plane Geometry
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<colbgcolor=#871243,#871243> 원뿔곡선 Conic Sections
사영	이차곡선
아핀	타원			포물선		쌍곡선
유클리드	원	타원	점^*	포물선	평행한 두 직선^*	쌍곡선	교차하는 두 직선^*
* 퇴화 이차곡선

1. 개요2. 특징3. 종류

3.1. 그 외의 이차곡선3.2. 3차원 확장

4. 직교좌표계에서 이차곡선의 표준화5. 극좌표계에서 원뿔곡선

5.1. 이심률5.2. 원뿔곡선의 극방정식

5.2.1. 유도5.2.2. 종합

6. 기타7. 관련 문서

1. 개요

圓錐曲線 / conic section

원뿔곡선(또는 원추곡선)은 위 아래로 연장된 직원뿔을 평면으로 잘랐을 때 나오는 곡선을 의미한다. 종류로는 원, 타원, 포물선, 쌍곡선이 있다.

2. 특징

그리스 수학자 아폴로니우스(Apollonius of Perga)에 의해 연구되었다. 후대에 해석 기하학의 발전으로 이 곡선들이 정확히 [math(x)]와 [math(y)]에 대한 일반적인 이차곡선, 즉,

[math(\displaystyle Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0)]

꼴로 표현됨이 증명되었고, 원뿔곡선과 이차곡선이 구분없이 쓰이게 되었다.[1] 위에서 [math(A \sim F)]는 상수이며, [math(A\sim C)] 중 적어도 하나는 0이 아니다.[2][3]

원뿔곡선의 모습

아폴로니우스는 원뿔면과 절단면이 이루는 각도를 기준으로, 원뿔곡선을 타원, 포물선, 쌍곡선의 세 종류로 다음과 같이 분류하였다.

①: 절단면과 원뿔면이 평행하면 포물선을 잘라낸다.
②: 절단면이 원뿔면보다 덜 기울어져 있으면 타원을 잘라낸다. 닫힌 곡선 하나의 형태로 나타난다. 원은 타원의 특수한 형태로, 절단면이 원뿔의 회전중심과 수직할 때 나타난다.
③: 절단면이 원뿔면보다 더 기울어져 있으면 쌍곡선을 잘라낸다. 직원뿔의 위아래에서 모두 곡선을 잘라내고, 따라서 쌍곡선은 말굽 형태의 곡선 둘이 마주보는 형태이다.

아폴로니우스는 타원, 포물선, 쌍곡선을 각각 ἔλλειψις, παραβολή, ὑπερβολή로 이름 지었는데, 각각 '부족함', '알맞음', '넓음'을 의미한다. 이 이름은 현대 영어의 ellipse, parabola, hyperbola에 각각 대응된다.

3. 종류

<colbgcolor=#871243,#871243> 원뿔곡선 Conic Sections
사영	이차곡선
아핀	타원			포물선		쌍곡선
유클리드	원	타원	점^*	포물선	평행한 두 직선^*	쌍곡선	교차하는 두 직선^*
* 퇴화 이차곡선

아폴로니우스는 다음과 같은 정의를 도출하였다.

포물선: 평면상의 한 정직선과의 거리와 한 정점으로부터의 거리가 같은 점들의 집합
타원: 평면상의 두 정점으로부터의 거리의 합이 같은 점들의 집합
원: 평면상에서 한 정점으로부터의 거리가 같은 점들의 집합
쌍곡선: 평면상의 두 정점으로부터 거리의 차가 같은 점들의 집합

[math(\mathbb{R}^n)] 위의 이차 초곡면에 대한 현대적 분류는 아핀 변환의 orbit이다:

이차 곡선의 판별식

타원: 아핀변환에 의한 단위원 [math(x^2 + y^2 = 1)]의 상
점

포물선: 아핀변환에 의한 단위포물선 [math(y = x^2)]의 상
평행한 두 직선

쌍곡선: 아핀변환에 의한 단위쌍곡선 [math(x^2 - y^2 = 1)]의 상
교차하는 두 직선

3.1. 그 외의 이차곡선

1개의 점(퇴화 타원): 원뿔곡선의 점점(원점)과 평면이 가로로 만나면 점이 된다. 예를 들어 [math(\displaystyle x^2 + y^2 = 0)] 의 경우
1개의 직선(퇴화 포물선): 원뿔곡선에 평면이 접하면 직선이 된다. 예를 들어 [math(\displaystyle x^2 + 2xy + y^2 = 0)] 의 경우
2개의 교차하는 직선(퇴화 쌍곡선): 원뿔곡선의 점점(원점)과 평면이 수직으로 만나면 2개의 직선이 된다. 예를 들어 [math(\displaystyle x^2 - y^2 = 0)] 의 경우
2개의 평행하는 직선(퇴화 포물선): [math(\displaystyle Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey +F = 0 )] 형식인 또다른 경우도 있다. 예를 들어 평행하는 2개의 직선 [math(\displaystyle x + y = 0)] 과 [math(\displaystyle x + y + 1 = 0)] 을 서로 곱하면 [math(\displaystyle x^2 + 2xy + y^2 + x + y = 0 )] 이 되는데, 이는 2개의 평행하는 직선을 나타낸다. 하지만, 원뿔곡선의 정의로는 만들어질 수 없다.
없음(허상): 예를 들어 [math(\displaystyle x^2 + y^2 + 1 = 0 )] 이 식으로 표현되는 실수 해는 존재하지 않는다. 이 경우도, 원뿔곡선의 정의로는 만들어질 수 없다.

3.2. 3차원 확장

구: 모든 방향에서 절단 시 원이 되는 곡면
타원면: 모든 방향에서 절단 시 타원이 되는 곡면
타원포물면: [math(xy)]평면과 수직하게 절단 시 포물선, [math(z)]축과 수직하게 절단 시 원 또는 타원이 되는 곡면
쌍곡면: [math(xy)]평면과 수직하게 절단 시 쌍곡선, [math(z)]축과 수직하게 절단 시 원 또는 타원이 되는 곡면[4]
쌍곡포물면: [math(xy)]평면과 수직하게 절단 시 포물선, [math(z)]축과 수직하게 절단 시 쌍곡선이 되는 곡면

퇴화 형태는 다음과 같다.

원기둥(퇴화 타원포물면)
타원기둥(퇴화 타원포물면)
원뿔면(퇴화 쌍곡면): 원뿔 두 개를 뾰족한 쪽으로 맞닿게 하는 곡면. 이 문서 상단에서 원뿔곡선을 정의하는 곡면이기도 하다.
포물기둥(퇴화 쌍곡포물면)
쌍곡기둥(퇴화 쌍곡포물면)

4. 직교좌표계에서 이차곡선의 표준화

일반적인 이차곡선의 식 (단, [math(ABC \neq 0)])

[math(\displaystyle \Phi(x,\,y) = Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey +F = 0 )]

은 선형대수학 관점에서 다음처럼 요약될 수 있다.

[math( \displaystyle \mathbf{ x^{t}} \pmb{\mathsf{A}} \mathbf{x} + \mathbf{b^t x} + f = 0)],

여기서 각각의 알파벳은 다음과 같다.

[math( \begin{aligned} \displaystyle {\bf x} &= \begin{bmatrix}x \\ y \end{bmatrix}\\ \pmb{\mathsf{A}} &= \begin{bmatrix}A & B/2 \\ B/2 & C\end{bmatrix} \\ {\bf b} &= \begin{bmatrix}D \\ E\end{bmatrix} \end{aligned} )]

대칭행렬의 스펙트럼 정리를 생각하면 이차형식의 행렬 [math(\pmb{\mathsf{A}})]을 직교 회전변환을 통해 대각행렬로 변환시킬 수 있고, 즉 이 변환을 통해 [math(b=0)]으로 만들어 줄 수 있다는 것을 의미한다. 직교 회전변환에 쓰이는 회전각 [math(\theta)]는 직접 계산을 하지 않고 다음의 공식으로 얻을 수도 있다.

[math(\displaystyle \cot{(2 \theta)} = \frac{A-C}{B} \qquad \left( -\frac{\pi}{4} \le \theta < \frac{\pi}{4} \right) )]

이후에는 대각화된 [math(a)], [math(c)]의 부호가 같냐, 하나가 0이냐, 다르냐에 따라서 각각 타원, 포물선, 쌍곡선의 표준화 작업을 거치면 된다. 이를 좀 더 일반적으로 본다면 회전변환에 대해 불변인 판별식(discriminant) [math(\mathfrak{D})][5][math(=B^2-4AC)]의 부호에 따라서 크게 다음처럼 분류된다.

[math(\mathfrak{D}<0)]: 타원 혹은 축퇴형(한 점) 혹은 허타원(없음)
[math(\mathfrak{D}=0)]: 포물선 혹은 축퇴형(두 평행한 직선, 이중 직선, 없음)
[math(\mathfrak{D}>0)]: 쌍곡선 혹은 축퇴형(두 교차하는 직선)

축퇴(degeneracy)의 정확한 정의는 이차곡선의 식 [math(\Phi)]가 복소수 범위 내에서 인수분해되는 것을 말하고, 이에 대해서는 (즉 [math(y)]에 대해 판별식을 취하고 다시 [math(x)]에 대해 판별식을 취한) 이중 판별식

[math(\displaystyle \frac{1}{16} \mathfrak{D}_x \mathfrak{D}_y \Phi(x,\,y)= (B^2 - 4 AC) F+ AE^2 -BDE + CD^2)]

의 값이 0일 때 정확히 축퇴가 된다는 판별법이 있다.

5. 극좌표계에서 원뿔곡선

이 문단에서는 극좌표계에서 원뿔곡선은 어떻게 표현되는지 알아볼 것이다. 들어가기 앞서 우리는 가장 간단한 케이스인 곡선의 초점이 원점에 있는 경우만 다룰 것이다.

5.1. 이심률

離心率

원뿔곡선에 해당되는 곡선들은 공통적으로 한 가지 특징이 있으며, 곡선 위의 점 [math(\mathrm{P})]가 있고, 점 [math(\mathrm{P})]에서 준선에 내린 수선의 발을 [math(\mathrm{H})]라고 하자. 또한, 초점을 [math(\mathrm{F})]라 하면, 원뿔곡선은

[math(\displaystyle \frac{\overline{\mathrm{PF} }}{\overline{\mathrm{PH} }}={\sf const.} )]

을 만족시킨다. 따라서 두 선분 길이의 비를 이심률 [math(e)][6]라 정의하는데, 즉,

[math(\displaystyle e := \frac{\overline{\mathrm{PF} }}{\overline{\mathrm{PH} }} )]

이다. 수학적으로 다음이 밝혀져있다.

[math(e=0)]: 원
[math(0<e<1)]: 타원
[math(e=1)]: 포물선
[math(e>1)]: 쌍곡선

5.2. 원뿔곡선의 극방정식

5.2.1. 유도

들어가기 앞서 다음을 약속한다.

점 [math(\mathbf{P})]: 원뿔곡선 위의 점
점 [math(\mathbf{F})]: 원뿔곡선의 초점이자 원점
점 [math(\mathbf{H})]: 점 [math(\mathrm{P})]에서 준선에 내린 수선의 발
점 [math(\mathbf{A})]: 점 [math(\mathrm{P})]에서 축에 내린 수선의 발
점 [math(\mathbf{B})]: 축과 준선의 교점
[math(p>0)]

[1] 준선이 [math(\boldsymbol{x=p})]인 경우

[math(\displaystyle \overline{\mathrm{PH}}=\overline{\mathrm{FB}}-\overline{\mathrm{FA}} =p-r\cos{\theta} )]이므로

[math(\displaystyle e := \frac{\overline{\mathrm{PF} }}{\overline{\mathrm{PH} }}=\frac{r}{p-r\cos{\theta}} )]

이다. 위 식을 정리하면 아래와 같은 극방정식을 얻는다.

[math(\displaystyle r=\frac{ep}{1+e\cos{\theta}} )]

[2] 준선이 [math(\boldsymbol{x=-p})]인 경우

[math(\displaystyle \overline{\mathrm{PH}}=\overline{\mathrm{FB}}+\overline{\mathrm{FA}} =p+r\cos{\theta} )]이므로

[math(\displaystyle e := \frac{\overline{\mathrm{PF} }}{\overline{\mathrm{PH}} } = \frac{r}{p+r\cos{\theta} })]

이다. 위 식을 정리하면 아래와 같은 극방정식을 얻는다.

[math(\displaystyle r=\frac{ep}{1-e\cos{\theta}} )]

[3] 준선이 [math(\boldsymbol{y=p})]인 경우

[math(\displaystyle \overline{\mathrm{PH}}=\overline{\mathrm{FB}}-\overline{\mathrm{FA}} =p-r\sin{\theta} )]이므로

[math(\displaystyle e := \frac{\overline{\mathrm{PF} }}{\overline{\mathrm{PH}} }=\frac{r}{p-r\sin{\theta} } )]

이다. 위 식을 정리하면 아래와 같은 극방정식을 얻는다.

[math(\displaystyle r=\frac{ep}{1+e\sin{\theta}} )]

[4] 준선이 [math(\boldsymbol{y=-p})]인 경우

[math(\displaystyle \begin{aligned} \overline{\mathrm{PH}}=\overline{\mathrm{FB}}+\overline{\mathrm{FA}} =p+r\sin{\theta} \end{aligned} )]이므로

[math(\displaystyle e := \frac{\overline{\mathrm{PF}} }{\overline{\mathrm{PH}} } = \frac{r}{p+r\sin{\theta} } )]

이다. 위 식을 정리하면 아래와 같은 극방정식을 얻는다.

[math(\displaystyle r=\frac{ep}{1-e\sin{\theta}} )]

5.2.2. 종합

이상에서 초점이 원점인 원뿔곡선의 극방정식은 아래와 같이 나타낼 수 있다.

준선이 [math(\boldsymbol{x=\pm p\,(p>0)})]인 경우
{{{#!wiki style="text-align: center"

[math(\displaystyle r=\frac{ep}{1 \pm e\cos{\theta}} \quad)](복부호 동순)}}}

준선이 [math(\boldsymbol{y=\pm p\,(p>0)})]인 경우
{{{#!wiki style="text-align: center"

[math(\displaystyle r=\frac{ep}{1 \pm e\sin{\theta}}\quad)](복부호 동순)}}}

아래는 준선이 [math(x=1)]일 때, 세 가지 이심률에 대해 나타나는 곡선을 그래프로 그린 것이다.

이와 같이 [math(e=0.5<1)]일 때는 타원이, [math(e=1)]일 때는 포물선이, [math(e=1.5>1)]일 때는 쌍곡선이 된다.

6. 기타

대한민국 고등학교 수학 교육과정에서도 다룬다. 다만, 변화된 선택과목제도 때문에 원을 제외한 원뿔곡선은 접할 기회는 희박한 상황(2022 수능 기준 선택률 7%).

5차 교육과정:'원'과 '포물선'은 일반수학(고1), 타원과 쌍곡선은 자연계(이과)만 이수
6차 교육과정: ‘원’만 공통수학에 잔류하고, ‘포물선, 타원, 쌍곡선’은 수학Ⅱ(자연계 전용)로 이동.
7차 교육과정: 변화는 없으나, ‘공통수학’을 1학기(10-가), 2학기(10-나) 두 권으로 쪼개어 ‘수학 10-나’에서 다룸. ‘포물선, 타원, 쌍곡선’은 수학Ⅱ에 잔류.
2007 개정 교육과정: 변화는 없으나, 수학 10-가/나를 다시 한 권으로 통합하여 ‘수학’에서 다룸(수학(하)는 비공식 용어). ‘포물선, 타원, 쌍곡선’은 기존 수학Ⅱ가 ’미적분과 통계 기본’, ‘수학Ⅱ’, ‘기하와 벡터’로 쪼개졌는데 이 중 ‘기하와 벡터’로 소속.
2009 개정 교육과정: 변화는 없으나, ‘수학’을 다시 두 권(수학Ⅰ, 수학Ⅱ)으로 쪼개어 ‘수학Ⅰ’에서 다룸. ‘포물선, 타원, 쌍곡선’은 ‘기하와 벡터’에 잔류.
2015 개정 교육과정: 변화는 없으나, ‘수학Ⅰ, 수학Ⅱ’을 다시 한 권으로 통합하여 ‘수학’에서 다룸(수학(상)은 비공식 용어). ‘포물선, 타원, 쌍곡선’은 ‘기하와 벡터’에서 공간 벡터 등이 빠진 ‘기하’에 잔류.

뉴턴의 만유인력의 법칙을 따르는 행성의 궤도를 계산하면 항상 이차곡선이 된다.[7] 행성의 공전 속도를 [math(v)], 항성을 중심으로 한 원운동 속도를 [math(v_1)], 항성에 대한 탈출 속도를 [math(v_2)]라 할 때, [math(v=v_1)]이면 궤도는 원이 되고, [math(v_1<v<v_2)]이면 타원, [math(v=v_2)]이면 포물선, [math(v>v_2)]이면 쌍곡선이 된다. 이로서 모든 행성이 타원 궤도를 그리며 공전한다는 케플러의 1법칙이 설명된다.
파라볼라(parabola) 안테나가 포물선 모양으로 만들어진 것은, 포물면을 향해 똑바로 들어오는 선들은 반사되어 모두 초점으로 모인다는 기하학적 성질을 응용한 것이다.
재미있는 사실 중 하나로, 타원은 초등함수로 길이를 나타낼 수 없다. 타원의 둘레를 구하기 위한 적분에서 유래한 것이 그 유명한 타원곡선이다.

7. 관련 문서

[1] 참고로 일반적인 이차곡선의 개형이 될 수 있는 것은 다음과 같다: 타원, 쌍곡선, 포물선, 두 교차하는 직선(축퇴 쌍곡선), 두 평행한 직선(축퇴 포물선), 한 직선(축퇴), 한 점, 없음.[2] [math(A=B=C=0)]이면 [math(Dx+Ey+F=0)]이 되는데 이는 직선의 방정식이기 때문이다.[3] [math(A = C = 1)]이고 [math(B = 0)]일 때 [math(D^2 + E^2 - 4F \ge 0)]이면 원의 방정식이 된다.[4] 곡면이 1개인지 2개인지에 따라서 각각 일엽쌍곡면, 이엽쌍곡면이라고 한다.[5] 상수 [math(D)]와의 구분을 위해 블랙 레터를 썼다.[6] eccentricity의 머릿글자에서 따왔다. 표기가 같은 자연로그의 밑과 혼동하지 말 것.[7] 정확히 말하면 역제곱 중심력장 안에서 외력이 작용하지 않은 물체는 이차곡선의 궤도를 따라야만 한다.