2009 개정 교육과정/수학과/고등학교/기하와 벡터

1. 개요

2. 상세

2.1. 교과 내용

2.1.1. Ⅰ. 평면곡선

• 이차곡선의 방정식: 이전에 배운 원의 방정식의 심화 단계로, 대수학적으로 접근하면 Ax²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+F=0꼴의 방정식을 다루는데 xy에 관한 항은 고급 수학Ⅰ에서 다루므로[3] 일반 고등학교 과정에서는 보통 이를 제외한 Ax²+By²+Cx+Dy+E=0 꼴만 다룬다. 보통 정의를 정확히 외우면 대부분 문제가 쉽게 풀리는 경향이 있었는데 최근엔 수학적 테크닉을 강요하는 문제가 나오기도 했다. 가장 신유형으로 각색하기 좋은 단원이기도 해서 그리 만만하게 볼 단원은 아닐 수도 있다. 개념 설명까지 하자면 포물선은 Ax²+By²+Cx+Dy+E=0의 두 이차항 중 어느 하나가 0인 것. A가 0이면 (y-n)²=4p(x-m)의 꼴로, B가 0이면 (x-m)² = 4q(y-n)의 꼴로 나타낼 수 있으며, 이를 표준형이라 한다. 참고로 이 함수를 y에 대하여 정리해보면, 준선이 x축과 평행한 포물선은 이차함수라는 것을 알 수 있다. 포물선은 좌표 평면 상에서 준선과 초점으로부터의 거리가 서로 같은 점들의 집합으로 표현된다. 이를 통해 이등변삼각형을 유도하기도 한다. 예를 들어 포물선의 기본형 y² = 4px에서 초점은 F(p,0) 준선은 x=-p가 된다. 타원은 Ax²+By²+Cx+Dy+E=0의 두 이차항의 계수의 부호가 같은 것. 수학Ⅰ(2009)에서 배운 원의 방정식을 안 까먹었다면 이차곡선 중 제일 쉽다. 쌍곡선은 Ax²+By²+Cx+Dy+E=0의 두 이차 항의 계수의 부호가 다른 것이다. 여기서는 다른 두 이차곡선에서는 없던 점근선 때문에 특이 성질도 많이 나온다. 특히 두 점근선이 직교하는 쌍곡선을 직각쌍곡선이라고 하는데, 수학Ⅱ(2009)에 나오는 분수 함수의 그래프가 이런 예이다.

• 접선의 방정식: 위에서 배운 이차곡선을 미분하려면 먼저 음함수라는 정의를 알아야 하는데, 이전 교과 과정에서는 음함수라는 존재 자체를 상세히 다루지 않아서 고전하는 학생이 많았다. 덕분에 이번에는 이차곡선의 접선파트로 넘어오게 되고, 음함수의 미분까지 다뤄 접선의 방정식을 보다 의미 있게 유도할 수 있게 되었다. 개정 이후 새롭게 서술하는 단원으로 취지가 조금 바뀌었는데, 이제 이차곡선에 대한 접선의 방정식은 미분으로 증명만 하고 사실상 외우는 게 더 신상에 좋을 것이다. 또한, 매개변수로 나타낸 함수의 미분을 배우고, 바로 접선까지 배운다. 매개변수로 나타낸 함수의 미분은 평면 운동 파트에서 다시 나온다. 벡터의 x성분과 y성분을, 매개변수 t를 이용하여 나타내어, t에 따른 x좌표와 y좌표의 변화를 가지고 미분도 하고 적분도 하기 때문에, 매개변수에 대한 개념을 확실히 잡는것이 중요하다.

2.1.2. Ⅱ. 평면벡터

• 평면벡터의 뜻: 고등학교에서 말하는 벡터는 상당히 물리학적으로 접근한 의미이다. 고등학교 수학 교과서에 정의된 '벡터'는 엄밀하게 말하자면 수학적인 정의는 아니다. '방향'과 '크기'로 정의하는 것은 '물리학'적인 의미에 가깝다. 괜히 자연대생들이 선형대수학을 펼치자마자 나오는 행렬과 벡터의 정의에 멘붕하는게 아니다. 이 단원에서는 벡터의 뜻과 연산, 벡터의 내분과 외분, 일차결합, 내적, 도형의 방정식을 배운다.

• 평면운동: 여기 이후부터는 개념조차 서서히 어려워지기 시작한다. 앞에서도 언급했지만, 매개변수로 나타낸 함수의 대한 개념을 확실히 알아야 하며, 변수가 t, x, y 3개나 존재하기 때문에 어떤 문자에 대해 미분하는지 헷갈리면 안된다. 그리고 기본적으로 원과 타원의 매개변수 방정식은 알아두는것이 좋다. 예를 들어 x² + y² = 1을 매개변수로 나타낸 함수로 변형하면 {x=cos(t), y=sin(t)}이다. 또, y=f(x)를 매개변수로 나타낸 함수로 변형하면 {x=t, y=f(t)} 인데, 이런 기본적인 개념은 알아야 한다. 평면 운동 파트는 미적분2의 초월함수 미분법과 적분법을 반드시 알고 있어야 문제가 풀리므로, 개념이 부족하다면 이 부분은 그냥 털린다. 만약 미적분2와 기하와 벡터를 같이 동시에 선행한다면 이 평면 운동 파트는 가장 나중에 건드리는게 좋고, 미적분2의 삼각함수 파트를 끝낸채로 기하와 벡터의 공간도형에 입성하면 된다. 참고로 곡선의 길이의 경우는 적분하려는 식에 루트가 있어서 특수한 경우가 아니면 초등함수로 나타낼 수 없기 때문에, 어렵게 내기 힘들다고 보면 된다. 그나마 어려운 것을 고르자면 [math(y=x^2)]을 들 수 있겠다.[4][5]

2.1.3. Ⅲ. 공간도형과 공간좌표

• 공간도형: 3차원 세계에 오신걸 환영합니다. 본격적인 기하 파트의 시작. 이쪽은 확률과 통계의 순열과 조합처럼 개념만 보면 모르는 부분이기 때문에 연습 문제를 통해 개념을 익혀야 한다. 처음 배우는 학생들은 '이거랑 이거는 수직 같은데?', '이거랑 이거는 길이가 같은건가?' 이런식으로 눈에 보이는 그대로로 판단해서 털리는 경우가 많다. 전국 이과생이라면 한번쯤 겪어봤을 일이다. 말그대로 여기부터는 공간을 다루니 평면과 헷갈리면 안 된다. 애초에 공간도형이란 것은 교과서나 시험지 위에 존재하지 않는다. 왜냐하면 책에 그려진 것들은 그냥 평면도형일 뿐이고, 단지 그 그림들이 왜곡되어 입체처럼 보이는것이기 때문이다. 그러니 그림에 속지 말아야 된다. 예를 들어, 평면에서는 두 직선이 수직이면 서로 반드시 만나는데 공간에서는 안만나는 경우, 즉 꼬인 위치도 고려해야한다. 당장에 공부를 못하는 학생은 이론서만 달달 외우고 문제를 푸는데, 사실상 이 파트에서 그런 식의 사회탐구식 공부법은 전혀 도움이 되지 않는다. 또 하나 이 부분을 어려워 하는 학생들은 주로 중학교 도형 수학이 제대로 안 되어 있는 사람들이 대부분이니 안됐지만 중학교 수학의 그쪽을 다시 공부하기 바란다. 중학교 2학년 때 배운 도형의 성질과 닮음 개념을 휘황찬란하게 곁들여주기 때문에 중학교 때 논 사람들은 상당히 힘들어한다. 각종 인터넷 강의 전문 사이트에서는 중학 도형 특강을 무료로 제공하고 있으니, 중학교 도형이 약한 수험생들은 그쪽 컨텐츠를 적극적으로 활용하기 바란다. 처음 배운 사람 입장에서 생소한 개념으로 꼽히는 삼수선 정리는 가히 평면 도형의 피타고라스 정리 만큼의 위상을 갖고 있다. 특히 문제에서 수직이 나오면 일단 삼수선 정리를 떠올리자. 직접 증명해보는 것도 좋은 방법이다. 일단 수선의 발을 내리고 삼수선 정리를 생각해 보면 뭘 물어보려는 지가 보인다. 이면각의 정의도 자유자재로 활용하는 능력 역시 중요하다. 두 평면의 교선으로 각각의 평면 위의 점에서 그은 수선의 발이 일치할 때, 각각의 평면 위의 점과 교선에 내린 수선의 발 이렇게 3개의 점을 이용해 각을 구하는 방법이다. 정사영도 마찬가지로 활용 빈도가 높다. 두 평면의 교선이 제대로 나와있지 않으면, 한 평면 위의 도형의 다른 평면 위로의 정사영의 넓의 비를 통해 사잇각을 구하는 방법이다. 정사영 문제는 정사영을 구하라는 식으로 나오면 낫지만, 그냥 평면 사이의 각을 구하라는 문제에서 하나의 문제 풀이로 나오는, 즉 숨겨진 개념으로 나오는 연습 문제가 상당히 어렵다. 마지막으로 내적에서는 두 평면이 이루는 각은 그 법선 벡터가 이루는 각과 같다는 걸 꼭 숙지하여야 한다. 여기서 법선 벡터를 성분으로 잡을 수만 있으면, 내적을 통해 각을 잡으면 된다. 문제는 바로 그 성분을 잡아야 한다는 것이다.

• 공간좌표: 우리가 흔히 쓰는 평면좌표에서 축 하나가 추가된 게 공간좌표다. 사실상 수학Ⅰ(2009)만 잘해놓았다면 그의 연장선이기 때문에 까다로운 파트는 아니다. 또 원의 방정식도 z축을 추가하면 구의 방정식이 된다. 이 단원에서 우리가 지금까지 수도 없이 다뤘던, x축과 y축으로만 이루어진 평면을 xy평면이라고 정의한다. 그리고 yz평면, zx평면도 존재한다. 어떤 선생님들은 zx평면을 xz평면이라고 부르기도 한다. 다만 교육과정 지도서상으로는 zx평면이라고 쓰는 것이 원칙이다.

2.1.4. Ⅳ. 공간벡터[6]

• 공간벡터: 1학년 때 배운 선분의 중점, 내분점, 외분점의 좌표, 삼각형의 무게중심 등을 다시 보고, 그때 배웠던 공식에서 z성분만 추가된다.[7] 평면벡터에서 z성분만 추가된 것 말고는 달라진점은 없다. 벡터의 개념이 부족하다면 2단원 평면벡터로 돌아가서 복습하는 것을 추천한다. 이 파트는 3단원에서 배운 공간도형에다가 벡터를 끼얹어서 내분 · 외분점의 위치와 내적값의 최대 · 최소를 묻는 방식으로 엮어서 문제가 나온다. 또, 벡터의 내적을 이용하여 이면각의 크기도 구할 수 있게 된다. 후술할 도형의 방정식 파트에서도 직선과 평면의 방정식을 정의할때, 공간벡터가 사용된다.

• 도형의 방정식: 이제 더이상 좌표평면이 아닌, 좌표공간에서의 직선 · 평면의 방정식을 배운다. 여기서 배우는 직선의 방정식은, 수1에서 배운 직선이랑 착각하면 안된다. 평면이 아닌, 공간상을 떠도는 직선이기 때문에 수1에서 배운거와는 차원이 다르다. 좌표공간에서의 직선의 방정식은, 벡터를 이용해야만 정의가 되기 때문에 그냥 새 파트가 시작되었다고 생각해야 맘이 편하다. 공간상에서의 직선은 방향벡터를 이용하는데, 방향을 결정하는 벡터와 지나는 한 점을 이용하여 벡터방정식으로 정의한다. 또, 이를 제 3의 문자 t를 도입하여 t에 관한 매개변수 방정식으로 나타낼 수 있다. 참고로 직선의 벡터방정식을 언제든지 매개변수 방정식으로 변형할 줄 알아야 한다. 그리고나면 이제 평면의 방정식을 배우게 된다. 평면의 방정식은 법선벡터를 이용하여 벡터의 내적이 0인 자취와 지나는 한 점을 이용하여 벡터방정식으로 정의한다. 그리고나서 이 법선벡터를 성분화하여 수식으로 풀어해치면 x,y,z의 일차방정식꼴, 즉 음함수로 나타내어진다. 이 역시 평면의 벡터방정식에서 음함수로의 변형을 자유롭게 할 줄 알아야 한다. 마지막으로 구의 벡터방정식도 배우게 된다.

2.2. 대학수학능력시험 수학 영역

• 문제 구성이 뒤로 갈 수록 어려워 진다는 점에서 확률과 통계와 대조된다. 수능에 대해 아예 모르지 않는 사람들은 알겠지만, 미적분Ⅱ에서는 예전엔 미분법에서 주로 킬러문제가 나왔으나 요즘은 적분법에서 내는편이고, 확률과 통계는 '사고력 문제를 가장한 경우의 수/확률' 파트에서 킬러가 나온다. 그리고 이 과목에서는 주로 '공간 벡터' 파트에서 킬러를 출제하는 편이다.
• 이차 곡선 단원에서 x축, y축, 그리고 원점대칭성을 이용해서 도형을 해석하도록 하는 문제도 꽤나 까다로울수 있으니 요주의. 2018학년도 수능 27번 같은 문제가 대표적인데, 대칭성을 이용해야 한다는 사실을 숙지하지 않으면 풀이에 지장이 생길 수 있다.
• 평면 운동 파트에서 알게모르게 쌍곡선 함수의 성질을 묻는다. 이에 유의하도록 하자. 2009 개정 교육과정 이후 처음으로 선 보이는 모의평가에서 29번 킬러로 나왔다. 교과서가 개정된 이후로 출제율이 다소 올라갔다.
• 공간 도형과 벡터가 결합되지 않은 문제라면, 조건과 직관적 센스로 커버 가능하긴 하지만 매우 중요한 개념인 정사영을 얼마나 철저하게 잡았는지가 이 파트에서 묻는 전부라고 보면 된다. 특히 정사영의 경우 이면각을 구하는 데 매우 유용하다. 2009학년도 수능 이후 공간 사이의 각이 잘 안 보이게 출제가 되고 있다. 이를 잘 대비해야 할 것이다.
• 2009 교육과정에서 '코사인 법칙, 사인 법칙'에 관련된 개념이 삭제되어, 코사인 제 2법칙으로 삼각형을 푸는 문제가 더 이상 나오지 않게 되었다.[8]
• 공간도형/공간벡터 문제는 수능 기준으로 봤을 때 그야말로 헬게이트이자 평가원이 자주 쓰는 필살기다. 따라서 상위권 학생들도 많이 까다로워하는 부분이다. 마지막 단원이기에 중위권 쪽에서는 아예 손 놓는 경향도 없지 않다.

2014 수능 수학 영역 B형 29번 문항 [정답/풀이]

• 수능에서의 공간 벡터는 공간 도형과 엮어서 출제하는 경우가 많다. 특히 삼수선을 생각해 보자는 말이 가장 절실히 드러났던 경우가 바로 위의 문제이다. 참고로 위 문제는 그림이 주어져서 더 장엄해보일 뿐이다. 여담으로 수학적 미적 감각에 예민한 사람들은 당시 시험장에서 놀라움을 감추지 못했을 정도(...). 실제로 저 그림은 2016학년도 수능 29번 문제와 더불어 이과뽕들의 프로필 사진으로 자주 쓰이기도 한다. 그러나 2018학년도 입학생부터 공간벡터라는 단원이 사라지면서, 더 이상 이 그림을 비롯하여, 기하와 벡터 전 내용을 수능에서 볼 수 없게 된다 (기하 문서 참조.)
• 공간 벡터 단원은 상황에 따라 최고난이도일 수도 있고, 또한 이런식으로, "지나가던 문제"로 나올 수도 있다. 특히 지나가던 문제의 대표적인 예가 2016년 9월 평가원이다. 마지막인 단원이지만 양이 매우 방대하다. 수능에 대비할 때, 유형 암기에 중점을 두는 공부법을 택하는 것이 좋다. 물론 개념을 소홀히 해도 좋다는 말이 아니다. 애초에 수학 ‘가’형(舊 수학 B형)은 수능 전 과목중 가장 개념 중시 과목이고 벡터 난이도가 쉽지 않아 왔다는 것을 생각하자. (수학 ‘가’형(舊 수학 B형)의 변별력은 대부분 공간 도형과 벡터가 핵심이 되었다. 기출문제라곤 직선/평면 방정식이 대세이거나 기껏해야 내적으로 최대/최소 찾기이다. 문제집에 널려 있는 내분/외분 공식을 난잡하게 이용하는 벡터는 수능은 물론이고 평가원 모의고사에도 나온 적 없다. 4점 고난도로 출제되는 마당에 가장 위험한 부분이다.
• 2009 개정 교육과정의 교과 지침에는 확률과 통계를 제외한 나머지는 수학Ⅰ → 수학Ⅱ → 미적분Ⅰ → 미적분Ⅱ → 기하와 벡터 순서로 진행하도록 명시되어 있으며, 본래 기벡과 확통은 3학년 과정이다. 그러나 3학년 때 수능특강/수능완성 진도를 나가야 한다는 이유로 위와 같은 순서로 2학년 때 몰아서 진행하는 학교도 종종 있었다.
• 이전 교육과정에서 7문제 정도가 출제된 것과 비교했을 때, 현2009개정 교육과정에서 출제 비중이 10문제로 늘어나게 된다. 그러나 처음 적용된 2017학년도 대학수학능력시험에서는 9문제가 출제되었다. 2018학년도 대학수학능력시험도 9문제가 출제되었다. 이는 평가원이 문항 비율을 20퍼센트 내외에서 조정할 수 있기 때문으로 보여진다. [10]
• 물수능 기조로 인해 2015학년도 수능, 2016학년도 수능은 모두 29번(각각 정사영 , 공간벡터) 문제가 쉽게 나왔다[11]. 하지만 최고 오답률은 모두 30번의 미적분 문제에서 기록했다. 애초에 기하와 벡터는 만만치 않다는 것을 알기에 상위권 수험생들은 기벡을 끝까지 물고 늘어지려 하고, 그 결과 비교적 만만해 보이는 미적분에서 정답률이 더욱 낮아지는 것.
• 최근 수능에서는 '공간 벡터'에서 킬러 문제가 나온다. 과거에는 '공간 도형'에서 그림자가 드리워지는 정사영에 관한 상황에서 킬러 문제를 냈는데, 당시 지금과 비교할 수 없을 정도로 아주 거친 문제가 많이 등장했었다. 현재는 난이도가 많이 완화된 편.
• 가형의 킬러문제(21, 29, 30번 문항)들 중 29번 문항은 주로 이 교과의 공간 도형과 공간 벡터 단원에서 출제한다. 나머지 2개는 미적분Ⅱ. 기벡 마지막 출제년도인 2020학년도 9월 모평에서 21번이 기벡에서 출제되었다. 전에 상용로그가 교육과정 삭제를 앞두고 킬러로써 나온만큼 기벡도 각별한 주의가 필요하다.[12]

2.3. 여담

2.3.1. 기타

• 2018학년도 고등학교 1학년 기준으로 적용되는 새 교육과정(2015 개정 교육과정)에서 '공간 벡터'가 삭제되는데 '평면 벡터'가 그대로 남아있다. 덕분에 공간에서의 직선의 방정식, 평면의 방정식, 구의 벡터방정식 등이 빠진다. 그리고 과목 이름에서 벡터가 빠지고 기하만 남는다.(해당 문서 참조.) 그리고 진로 선택 과목으로 전락해서, 수능시행 최초로 기하와 벡터 전 범위가 출제 범위에서 제외되었다.
• 그냥 공간을 잘하기 위해서는 그냥 중학교때 공부 열심히 하자. 실제로 기벡에서 중학교 때 배운 내용을 응용을 하면 어려운 문제도 부드럽게 풀리는 경우가 대부분이기 때문이다. 그러기 때문에 중학교 기하[13]를 더욱 깊이있게 공부하는 것이 이 단원에서 가장 좋은 방법이다. 만약에 중학교때 열심히 하지 못하고 중학교 내용을 까먹었으면 그냥 중학교 기하를 다시 하는 것을 추천한다. 앞서 말했다시피 EBSi 같은 인터넷 강의 사이트에서 10여 강 분량으로 제공하는 중학교 기하 특강도 추천할 만하다. 특히 중학교 기하는 삼각함수와 연관되어 나오는 부분이 꽤 많다. 원의 성질, 원주각과 중심각 등 원은 기본이요, 피타고라스의 정리의 응용에 나오는 공간도형은 말할 것도 없다.
• 문제의 난이도는 뒷 단원으로 갈수록 어려워지는 경향이 있다.

2.3.2. 공간지각능력에 관한 논쟁

1. 일단 공간지각능력을 타고났을 때 공간도형/공간벡터 문제를 보다 쉽게 풀 수 있다는 것은 자명하다.
2. 공간지각능력을 타고나지 못했다 하더라도 학습에 의해 극복될 수 있는지, 있다면 그 한계는 있는지 없는지에 대해서 우리는 모른다.
3. 공간지각능력이 높은 사람은 공간지각능력이 낮은 사람의 이해가 어떤 형태로 되어있을지 근본적으로 알 수 없다.[14]