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1. 개요
Euclidean vector유클리드 기하학을 따르는 벡터로, 크기와 방향을 함께 가지는 양. 물리학의 역학이나 고등학교 수학에서 다루므로, 한국에서 고등학교를 갓 졸업한 평범한 이과생이 벡터에 대해 듣는다면 십중팔구 이걸 떠올릴 것이다. 유클리드 벡터는 선형대수학에서 다루는 벡터 공간의 원소인 벡터의 일종이라고 볼 수 있다. 편의상, 여기에서 다루는 벡터와 구별하기 위해 선형대수학에서 다루는 벡터를 '선형대수학 벡터', 함수인 벡터는 '함수 벡터'라고 하겠다.
비유클리드 기하학에서는 유클리드 벡터의 내용이 성립되지 않을 수 있다. 비유클리드 기하학의 벡터는 따로 미분기하학이라는 학문에서 다룬다. 구체적으로는 비유클리드 공간에서는 벡터 성분을 정의하는 기저벡터가 위치에 따라 유동적으로 변할 수 있어서 미분기하학을 통해 정의하기 때문이다.
2. 표현
선분 [math(\rm AB)]의 길이를 크기로 하고, 점 [math(\rm A)]에서 시작해 점 [math(\rm B)]에서 끝나는 벡터를 기호로 [math(\overrightarrow {\mathrm {AB}})]와 같이 나타낸다. 이때 [math(\overrightarrow {\mathrm {AB}})]에서 점 [math(\rm A)]를 시점, 점 [math(\rm B)]를 종점이라고 한다. 또한 벡터 [math(\overrightarrow {\mathrm {AB}})]의 크기는 [math(|\overrightarrow {\mathrm {AB}}|)][1]와 같이 나타낸다.
한 문자로 [math(\overrightarrow{a})], [math(\bold a)][2] 와 같이 나타낼 수 있다. 이때 화살표를 떼거나 이탤릭체로 적은 [math(a)]는 벡터의 크기를 의미한다.
공간 상의 점의 좌표를 표현하는 것과 헷갈리기 쉬운데, 공간상의 점은 일반적으로 대문자 알파벳으로 표기하며, [math({\rm A}(a,\, b,\, c))]와 같이 알파벳과 좌표 정보를 붙여 쓴다. 그러나 벡터는 보통 소문자 알파벳으로 표현하며 [math(\mathbf{v} = (a,\, b,\, c))]와 같이 문자와 좌표 사이에 등호가 들어간다.
3. 위치 벡터
시점을 특정한 한 점으로 고정할 때, 벡터는 어떤 점 하나에 유일하게 대응된다. 이때의 벡터를 위치 벡터라고 한다.원점 [math(\mathrm{O})]를 시점으로 하는 위치 벡터는 점처럼 순서쌍으로 나타낼 수 있다. 예를 들어 점 [math(\mathrm{P}(a, \,b))]에 대응되는 위치 벡터 [math(\overrightarrow{\mathrm{OP}})]를 [math((a,\, b))]로 나타낼 수 있다.
벡터 [math(\mathbf{v} = (a_1, \,a_2, \,\cdots,\, a_n))]을 행렬로 나타낼 때[3]는 원소를 한 열 안에 순서대로 나열한다.
| [math(\mathbf{v} = \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{bmatrix})] |
열이 1개만 있다는 점에서 이러한 행렬을 열벡터라 한다.
다음과 같이 [math(\mathbf{v})]의 전치 [math(\mathbf{v}^{\sf T})]도 생각할 수 있다.
| [math(\mathbf{v}^{\sf T} = \begin{bmatrix} a_1 & a_2 & \cdots & a_n \end{bmatrix})] |
행이 1개만 있다는 점에서 이러한 행렬을 행벡터라 한다.
한편, 벡터의 각 성분의 개수를 벡터의 차원이라고 하며, [math(\dim \mathbf{v})]로 나타낸다.
4. 성질과 연산
4.1. 같은 벡터
크기와 방향이 같은 두 벡터 [math(\mathbf{a}=(a_1,\,a_2,\,a_3))], [math(\mathbf{b}=(b_1,\,b_2,\,b_3))]에 대하여 다음 조건을 만족할 때, 같은 벡터라 한다.| [math( \begin{aligned} a_1&=b_1 \\ a_2&=b_2 \\ a_3 &=b_3 \end{aligned})] |
또, 크기가 같고, 방향이 다른 두 벡터 [math(\mathbf{a}=(a_1,\,a_2,\,a_3))], [math(\mathbf{b}=(b_1,\,b_2,\,b_3))]에 대하여 다음 조건을 만족할 때, [math(\mathbf{b})]는 [math(\mathbf a)]의 역벡터이자, [math(\mathbf a)]는 [math(\mathbf b)]의 역벡터이다.
| [math( \begin{aligned} a_1&=-b_1 \\ a_2&=-b_2 \\ a_3 &=-b_3 \end{aligned})] |
4.2. 스칼라 배
벡터 [math(\mathbf{a}=(a_1,\,a_{2},\,a_{3}))]에 대하여, 스칼라 배는 다음과 같이 정의한다.| [math( \begin{aligned} k\mathbf{a}=(ka_{1},\,ka_{2},ka_{3}) \end{aligned})] |
이때, [math(k)]가 실수라면 다음이 성립한다.
- [math(|k|=1)]이라면, 벡터의 크기는 같다.
- [math(|k|>1)]이라면, 벡터의 크기가 커진다.
- [math(|k|<1)]이라면, 벡터의 크기가 감소한다.
- [math(k>0)]이라면, 변환된 벡터의 방향은 같다.
- [math(k<0)]이라면, 변환된 벡터의 방향은 반전된다.
특히 [math(k=0)]이라면, 변환된 벡터는 영벡터가 되며, [math(k=-1)]이면, 역벡터가 된다.
4.3. 벡터의 합과 차
두 벡터 [math(\mathbf{a}=(a_1,\,a_2,\,a_3))], [math(\mathbf{b}=(b_1,\,b_2,\,b_3))]에 대하여 그 합을 다음과 같이 정의한다.| [math( \begin{aligned} \mathbf{a+b}=(a_1+b_1,\,a_2+b_2,\,a_3+b_3) \end{aligned})] |
| [math( \begin{aligned} \mathbf{a-b} &=\mathbf{a}+(-\mathbf{b}) \\ &=(a_1-b_1,\,a_2-b_2,\,a_3-b_3) \end{aligned})] |
벡터의 합은 교환법칙과 결합법칙이 성립한다.
| [math( \begin{aligned} \mathbf{a+b}&=\mathbf{b+a} \\ \mathbf{(a+b)+c}&=\mathbf{a+(b+c)} \end{aligned})] |
시점과 종점이 같은 벡터, 즉 크기가 0인 벡터를 영벡터라 하며, 기호로 [math(\mathbf{0})]이라 나타낸다. [math(\mathbf{0}=(0,\, 0,\, 0))]이다. 영벡터의 크기는 0이며 방향은 생각하지 않는다. 또한 영벡터는 벡터의 합의 항등원이다.
4.3.1. 스칼라 배와 교환 법칙
두 벡터 [math(\mathbf{a}=(a_1,\,a_2,\,a_3))], [math(\mathbf{b}=(b_1,\,b_2,\,b_3))]이고, [math(k, l)]이 각각 스칼라일 때 다음의 성질이 성립한다.| [math(\begin{aligned} k\mathbf{a}+l\mathbf{a}&=(k+l)\mathbf{a} \\ k\mathbf{a}+k\mathbf{b}&=k(\mathbf{a+b}) \end{aligned})] |
| [math(\begin{aligned} k\mathbf{a}+l\mathbf{a}&=(ka_1+la_1,\,ka_2+la_2,\,ka_3+la_3) \\ &= ( (k+l)a_{1},\,(k+l)a_2,\,(k+l)a_{3} ) \\ &= (k+l)\mathbf{a} \\ \\ k\mathbf{a}+k\mathbf{b}&=(ka_1+kb_1,\,ka_2,kb_2,\,ka_3+kb_3) \\ &= ( k(a_{1}+b_{1}),\,k(a_{2}+b_{2}),\,k(a_{3}+b_{3}) ) \\ &=k(\mathbf{a+b}) \end{aligned})] |
4.4. 내적
유클리드 공간은 내적 공간의 일종이기 때문에 내적이 정의되며, 다음과 같이 구할 수 있다.[4][5]다루는 벡터를 실벡터[6][7]라 가정하면, 두 벡터 [math(\mathbf{a}=(a_1,\,a_2,\,a_3))], [math(\mathbf{b}=(b_1,\,b_2,\,b_3))]에 대하여 둘 사이의 내적을 다음과 같이 정의한다.
| [math( \begin{aligned} \mathbf{a}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{b} &=\sum_{j=1}^{3}a_{j}b_{j} \\ &=a_1 b_1+a_2 b_2+a_3 b_3 \end{aligned})] |
| [math( \begin{aligned} \mathbf{a}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{b}=\mathbf{b}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{a} \end{aligned})] |
4.4.1. 벡터의 크기
벡터의 크기는 자기 자신을 내적하여, 근호를 씌워 구할 수 있다. 즉,| [math( \begin{aligned} a &=\sqrt{\mathbf{a} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{a}} \\ &= \sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}} \end{aligned})] |
4.4.2. 두 벡터가 이루는 각
두 벡터 [math(\mathbf{a})], [math(\bf{b})]가 이루는 각을 [math(\theta)]라 놓을 경우, 벡터의 내적은 다음과 같이 쓸 수 있다.| [math( \begin{aligned} \mathbf{a}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{b} =ab\cos{\theta} \end{aligned})] |
이것을 응용하면, 두 벡터가 이루는 각을 다음과 같이 구할 수 있다.
| [math( \begin{aligned} \cos{\theta} &=\frac{\mathbf{a} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{b}}{ab} \\ &=\frac{a_1 b_1+a_2 b_2 +a_3 b_3}{\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}} \sqrt{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}} } \end{aligned})] |
4.5. 외적
#!if (문단 == null) == (앵커 == null)
를#!if 문단 != null & 앵커 == null
의 [[외적#s-|]]번 문단을#!if 문단 == null & 앵커 != null
의 [[외적#|]] 부분을4.6. 반사
시작점을 원래 벡터의 끝점으로 옮긴 뒤 일부 성분의 부호를 바꾼 것이다.4.7. 미적분 연산
벡터 함수 [math(\mathbf{f}(t)=(f_{x}(t),\,f_{y}(t),\,f_{z}(t)))]일 때, 미분 연산은 다음과 같이 정의한다.| [math(\begin{aligned} \frac{{\rm d}\mathbf{f}}{{\rm d}t}=\biggl( \frac{{\rm d}f_{x}}{{\rm d}t},\, \frac{{\rm d}f_{y}}{{\rm d}t},\, \frac{{\rm d}f_{z}}{{\rm d}t} \biggr) \end{aligned})] |
| [math(\begin{aligned} \int \mathbf{f}(t)\,{\rm d}t=\biggl( \int f_{x}(t)\,{\rm d}t,\,\int f_{y}(t)\,{\rm d}t,\,\int f_{z}(t)\,{\rm d}t \biggr) \end{aligned})] |
4.7.1. 델 연산자
#!if (문단 == null) == (앵커 == null)
를#!if 문단 != null & 앵커 == null
의 [[나블라#s-|]]번 문단을#!if 문단 == null & 앵커 != null
의 [[나블라#|]] 부분을5. 물리학
물리학에서는 크기와 방향을 함께 가지는 양이다. 크기와 방향을 함께 가지는 물리량은 벡터량이라고 부른다. 단, 물리학에서는 반사시켰을 때 변위처럼 변해야 한다는 조건이 붙는다. 그렇지 않으면 유사벡터라고 부른다.쉽게 말하면 이렇다. 철수가 왼쪽으로 [math(3\,\rm{m/s})]의 속력으로 가고, 영희가 오른쪽으로 [math(3\,\rm{m/s})]의 속력으로 갔다고 치자. 그러면 둘의 속력은 [math(3\,\rm{m/s})]로 같은데, 그러면 물리학에서 얘네 둘을 같은 운동으로 취급해야 한다. 그런데 왼쪽으로 가는 거랑 오른쪽으로 가는 거랑 똑같이 취급할 수 없기 때문에 '왼쪽으로 [math(3\,\rm{m/s})]', '오른쪽으로 [math(3\,\rm{m/s})]'처럼 방향을 붙여줘서 계산하는 거다. 이런 식으로 '동남쪽으로 7', '북서쪽으로 10'처럼 방향이랑 크기를 같이 붙인 숫자를 만들었고 이걸 벡터라고 부르게 된 것이다.
5.1. 변위
#!if (문단 == null) == (앵커 == null)
를#!if 문단 != null & 앵커 == null
의 [[변위#s-|]]번 문단을#!if 문단 == null & 앵커 != null
의 [[변위#|]] 부분을5.2. 유사벡터
물리학에서 반사할 때 변위와 다르게 계산되는 벡터를 뜻한다. 반사는 일반적으론 improper rotation인데 어차피 반사와 회전의 결합이다. 두 벡터의 가위곱(외적)은 항상 유사벡터가 나온다. 대표적인 예시로 돌림힘, 각속도, 각운동량, 자기장 등이 있는데 죄다 외적으로 구하는 물리량이다. 수학에서는 그냥 벡터랑 차이가 없다.[1] 노름을 써서 [math(\|\overrightarrow{\text{AB}} \|)]로 쓰기도 한다.[2] 선형대수학에서 주로 사용하는 표기이나 이와 같이 볼드체로 적기도 한다.[3] 즉 선형대수학적 벡터와 동치로 둔다면[4] 선형대수학 벡터의 내적은 행렬의 수반 연산자와 행렬식을 이용해서 [math(\left<\bold{a} ,\, \bold{b} \right> = \det (\bold{a}^{\ast} \bold{b}) = \det (\bold{b}^{\ast} \bold{a}))]로 정의된다. 또한 단항 연산도 가능하다.[5] 함수 벡터의 내적은 두 함수의 켤레복소수 곱을 적분한 값으로 정의한다: [math(\displaystyle \left< f ,\, g \right> = \int_{[a,\,b]} f\overline{g}\, {\rm d}x)] 선형대수학 벡터와 마찬가지로 단항 연산이 가능하다.[6] 원칙대로라면 [math(\mathbf{a})], [math(\mathbf{b})]중 하나의 성분들에 켤레가 취해져야 하나(반쌍형적 형식(sesquilinear form)), 고전역학이나 고등학교 과정에서는 실벡터만 다루기 때문에 보통은 생략한다.[7] 단, 양자역학에서는 복소수 위의 선형대수학 벡터, 함수 벡터를 사용하므로 내적 시 한쪽 벡터에 켤레를 취하는 것이 당연시된다. 표기 역시 [math(\vec{a}\cdot\vec{b})] 대신 [math(langle a | b rangle)]를 쓰는 등 차이가 있다.