1. 개요
uniformly accelerated motion · 等加速度運動속도의 증가량이 일정한 운동이다. 즉 가속도가 일정하며, 단위시간 당 속력의 변화량을 시간으로 나누어 구한다.[1][2] 고전역학적으로, 계의 가속도는 곧 계가 받는 알짜힘을 질량으로 나눈 값이다. 따라서 일정한 알짜힘이 작용할 때 이 운동이 나타나게 된다. 이 운동은 초급 물리학을 논의할 때, 등속도 운동 다음으로 나오게 된다.
이 문서는 고교 수준의 물리학보다 조금 더 수준이 높게 기술되어 있으며, 일반물리학 수준의 문제에 응용하기 위해 서술되었다.
2. 분석
2.1. 1차원
가속도는 물체의 위치의 이차 시간 미분이다. 즉, 계의 위치벡터 [math(\mathbf{r})]의 이차 시간 미분인[math(\displaystyle \mathbf{a} \equiv \mathbf{\ddot{r}})][3]
이다. 다음으로, 간단한 1차원일 때를 분석해보고자 한다. 1차원은 그 특성상 벡터 표기를 무시하고 쓸 수 있다. 즉, 시간에 대한 계의 위치를 [math(x)]라 놓으면
[math(\displaystyle a= \ddot{x})]
이고, 초기조건 [math(x(t=0)=x_{0})], [math(\dot{x}(t=0)=v_{0})]를 사용하면 위의 2계 상미분방정식은 쉽게 풀리고 다음을 얻는다.
[math(\begin{aligned}\displaystyle \dot{x}&=at+v_{0}\\x&=\frac{1}{2}at^{2}+v_{0}t+x_{0}\end{aligned})]
위치의 시간 미분 [math(\dot{x})]는 곧 속도이다. 이것을 [math(v)]로 놓으면, 등가속도 운동에서 시간에 따른 계의 속도 [math(v)]와 위치 [math(x)]를 얻는다.
[math(\begin{aligned}\displaystyle v&=at+v_{0}\\x&=\frac{1}{2}at^{2}+v_{0}t+x_{0}\end{aligned})]
이상의 결과에서 [math(x-t)] 그래프를 그린다면 포물선이 나오고, [math(v-t)] 그래프를 그린다면 직선이 나오게 된다.
한 가지 유용한 식을 유도해 보자. 위치 식을 약간 변형하면,
[math(\displaystyle x-x_{0}=\frac{1}{2}at^{2}+v_{0}t )]
로 쓸 수 있고, 변위 [math(x-x_{0} \equiv \Delta x)]로 정의하자.
[math(\displaystyle t=\frac{v-v_{0}}{a} )]
이므로 이것을 위 식에 대입하면,
[math(\displaystyle \Delta x=\frac{1}{2}a \left( \frac{v-v_{0}}{a} \right)^{2}+v_{0}\left( \frac{v-v_{0}}{a} \right) )]
양변에 [math(2a)]를 곱하면,
[math(\displaystyle 2a\Delta x=(v-v_0)^2+2v_0(v-v_0) )]
우변을 정리하면, 다음을 얻는다.
[math(\displaystyle 2a \Delta x =v^{2}-v_{0}^{2} )]
이 공식의 양변에 [math(m/2)]을 곱하자. 여기서 [math(m)]은 계의 질량이다.
[math(\displaystyle ma \Delta x =\frac{1}{2}m(v^{2}-v_{0}^{2}) )]
[math(ma=F)]로 계에 가해진 알짜 힘이며, 여기에 변위가 곱해졌으므로 이것은 알짜 힘이 계에 한 일이다. 이 일을 [math(W)]라 쓰도록하자. 또한, 우변은 계의 운동 에너지 변화량으로 이것을 [math(\Delta T)]라 쓸 수 있다. 즉,
[math(\displaystyle W=\Delta T )]
즉, 계에 가해진 알짜힘이 한 일은 물체의 운동 에너지 변화량과 같다. 이것을 일-운동에너지 정리라 한다.
이상에서 아래와 같은 1차원 등가속도 운동에서 중요한 3공식을 얻었다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} v&=at+v_{0} \\ \Delta x&=\frac{1}{2}at^{2}+v_{0}t \\ 2a \Delta x &=v^{2}-v_{0}^{2} \end{aligned} )]
여기서 [math(v_{0})]는 [math(t=0)]에서의 속도를 의미하며, [math(\Delta x \equiv x-x_{0})]로 변위이다. 마찬가지로, [math(x_{0})]는 [math(t=0)]에서의 위치를 의미한다.
2.1.1. 심화 분석
어떤 시간 간격 [math(t_{1} \sim t_{2})]에서 가속도가 [math(a)]인 운동을 했다고 가정하자. 해당 구간에서[math(\displaystyle a=\frac{v(t_{2})-v(t_{1})}{t_{2}-t_{1}} )]
이고, 위치 식으로부터 다음을 얻는다.
[math(\displaystyle \frac{x(t_{2})-x(t_{1})}{t_{2}-t_{1}}=\frac{1}{2}a(t_{2}-t_{1})+v(t_{1}) )]
위에서 구한 가속도를 대입하면,
[math(\displaystyle \frac{x(t_{2})-x(t_{1})}{t_{2}-t_{1}}=\frac{v(t_{1})+v(t_{2})}{2} )]
좌변은 곧 평균 속도이므로 [math(\left \langle v \right \rangle)]로 놓으면 다음과 같다.
[math(\displaystyle \left \langle v \right \rangle=\frac{v(t_{1})+v(t_{2})}{2} )]
즉, 등가속도 운동한 어떤 구간의 평균 속도는 그 구간의 처음 속도와 나중 속도의 산술 평균이다. 또한, 이 속도가 되는 시간을 [math(\tilde{t})]라 놓자. 그러면,
[math(\displaystyle \frac{v(t_{1})+v(t_{2})}{2}=\frac{v(t_{2})-v(t_{1})}{t_{2}-t_{1}} (\tilde{t}-t_{1})+v(t_{1}) \quad \to \quad \tilde{t}=\frac{t_{1}+t_{2}}{2})]
따라서 해당 구간의 산술 평균 시간에서의 계의 속도는 그 구간의 평균 속도와 같다. 또한, 해당 구간의 계의 변위는 결국 물체의 평균 속도와 그 구간의 시간 간격의 곱과 같다. 즉, 다음이 성립한다.
[math(\displaystyle x(t_{2})-x(t_{1})=\left \langle v \right \rangle (t_{2}-t_{1}) )]
이것을 [math(v-t)] 그래프로 나타내면 다음과 같다.
2.2. 2차원 이상
2차원 이상에서 등가속도 운동을 논할 때는 벡터가 필연적이다. 직교 좌표계에 한해서 이 논의를 이어간다면, 가속도 벡터는 각 기저 벡터의 성분으로 쪼갤 수 있다. 그리고, 각 축의 성분은 1차원의 상황이라 볼 수 있고, 1차원 분석들에서 나온 변위 식과 속도 식을 만족시킨다. 따라서 이 논의를 심층적으로 다시 할 필요 없이, 다음의 결과를 얻는다.[math(\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{r}&=\frac{1}{2}\mathbf{a}t^{2}+\mathbf{v}_{0}t+\mathbf{r}_{0} \\ \mathbf{v}&=\mathbf{a}t+\mathbf{v}_{0} \end{aligned} )]
[math(\mathbf{r})]는 임의의 시간에서의 계의 위치 벡터이며, 속도 [math(\mathbf{v}=\mathbf{\dot{r}})]이다. [math(\mathbf{r}_{0},\,\mathbf{v}_{0})]는 각각 [math(t=0)]에서의 계의 위치 벡터와 속도 벡터이다.
또한, [math(x_{i})]성분에 대해 다음을 만족시킨다.
[math(\displaystyle 2a_{i} \Delta x_{i}=v_{i}^{2}-v_{i0}^{2} )]
[math(a_{i})]는 [math(x_{i})]축의 가속도 성분이므로 축의 기저벡터 [math(\mathbf{\hat{x}}_{i})]와 가속도 벡터의 내적을 통해 다음을 보일 수 있다.
[math(\displaystyle a_{i}=\mathbf{a} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{\hat{x}}_{i} )]
따라서
[math(\displaystyle 2(\mathbf{a} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{\hat{x}}_{i}) \Delta x_{i}=v_{i}^{2}-v_{i0}^{2} )]
이고, 이것을 모든 축의 성분에 대해 합하면, 벡터로 표기할 수 있다.
[math(\displaystyle \sum_{i}2\mathbf{a} \boldsymbol{\cdot} \Delta x_{i} \mathbf{\hat{x}}_{i} =\sum_{i} v_{i}^{2}-\sum_{i} v_{i0}^{2} )]
이때, 각 항은 다음의 결과를 얻는다.
- [math( \displaystyle \sum_{i} \Delta x_{i} \mathbf{\hat{x}}_{i} = \Delta \mathbf{r} \equiv \mathbf{r-r}_{0} )] : 위치 벡터의 변화량
- [math( \displaystyle \sum_{i} v_{i}^{2} = \mathbf{v \boldsymbol{\cdot} v}=v^{2} )] : 속력 제곱
- [math( \displaystyle \sum_{i} v_{0i}^{2} = \mathbf{v}_{0} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{v}_{0} =v_{0}^{2} )] : [math(t=0)]에서의 속력 제곱
[math(\displaystyle 2\mathbf{a} \boldsymbol{\cdot} \Delta \mathbf{r} =v^{2}-v_{0}^{2} )]
이상에서 2차원 이상에서의 등가속도 공식은 다음과 같다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \Delta \mathbf{r}&=\frac{1}{2}\mathbf{a}t^{2}+\mathbf{v}_{0}t \\ \mathbf{v}&=\mathbf{a}t+\mathbf{v}_{0} \\ 2\mathbf{a} \boldsymbol{\cdot} \Delta \mathbf{r} &=v^{2}-v_{0}^{2} \end{aligned} )]
3. 관련 예제
3.1. 예제 1
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| 2015학년도 6월 수능 모의평가 물리 I 20번 (오답률: 59.4%) |
- [풀이 보기]
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ㄱ, ㄴ.
등가속도 운동에서 평균 속도와 시간의 곱은 변위이다. 이를 이용하면 [math(\rm P)], [math(\rm Q)] 사이는 3초, [math(\rm Q)], [math(\rm R)] 사이에서는 2초가 걸렸음을 알 수 있다.
구하는 가속도를 [math(a)], [math(\rm P)]점에서 속도를 [math(v)]라 놓으면
[math(\begin{aligned} (30\,{\rm m})&=\frac{1}{2}a(3\,{\rm s})^2+v_{0}(3\,{\rm s}) \\(60\,{\rm m})&=\frac{1}{2}a(5\,{\rm s})^2+v_{0}(5\,{\rm s}) \end{aligned})]
이다. 이 연립 방정식을 풀면, [math(a=2\,{\rm m/s^2})], [math(v=7\,{\rm m/s})]임을 얻는다.
따라서 ㄱ은 틀린 선지이다.
한편, [math(\rm P)]점까지 이동한 거리 [math(x)]는
[math(\begin{aligned} 2(2\,{\rm m/s^2})x=(7\,{\rm m/s})^2-0 \quad \to \quad x=\frac{49}{4}\,{\rm m} \end{aligned})]
ㄴ 또한 틀린 선지이다.
ㄷ.
도착점에 도달했을 때 속도를 [math(v)]라 놓으면
[math(\begin{aligned} 2(2\,{\rm m/s^2})(100\,{\rm m})=v^2-0 \end{aligned})]
이므로 [math(v=20\,{\rm m/s})]이다. 따라서 옳은 선지이다.
이상에서 옳은 것은 ㄷ이다.
3.2. 예제 2
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| 2023학년도 9월 수능 모의평가 물리학 II 20번 (오답률: 70.8%) |
- [풀이 보기]
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이 문제의 핵심은 두 등속도 영역에 생성된 두 직각삼각형 [math(\rm AOA')]와 [math(\rm QBB')]이 합동임을 간파하는 것이다. 따라서 삼각형 [math(\rm OSA')]와 삼각형 [math(\rm BDQ)], 삼각형 [math(\rm OSA)]와 삼각형 [math(\rm B'DQ)] 또한 서로 합동이다.
간단한 삼각비 관계를 이용하여
[math(\begin{aligned} \overline{\rm AS}=\overline{\rm DB'}=\sqrt{3}L \end{aligned})]
따라서 우리가 구하는
[math(\begin{aligned}d &=\overline{\rm DH} \\ &=\overline{\rm DB'}-\overline{\rm HB'}\end{aligned})]
임을 얻는다.
한편 [math(\rm B)]의 [math(L \leq x \leq 2L)]에서의 운동을 분석하여 보자. [math(x)]방향으로 [math(T)]의 시간 만큼 이동하여 [math(L)]만큼 이동했다. 우선 [math(x)]축에 대한 가속도 [math(a_{x})]를 구하자. 등가속도 운동함에 따라
[math(\begin{aligned} 2 a_{x}L &=(v\cos{60\degree})^2-(v\cos{(-30\degree)})^2 \\ \\ \therefore a_{x}&=-\frac{v^2}{4L} \end{aligned})]
한편, [math(T)] 동안 평균 가속도는 [math(a_{x})]였으므로
[math(\begin{aligned} -\frac{v^2}{4L}&=\frac{v\cos{60\degree}-v\cos{(-30\degree)}}{T} \\ \\ \therefore T&= \frac{2L}{v}(\sqrt{3}-1) \end{aligned})]
또, [math(\overline{\rm B'G} )]는 [math(T)]동안 [math(y)]방향의 변위이다. [math(y)]방향의 평균 속도와 [math(T)]의 곱이 곧 변위이므로
[math(\begin{aligned} \overline{\rm B'G}&=\frac{v\sin{60\degree}+v\sin{(-30\degree)}}{2} \cdot \frac{2L}{v}(\sqrt{3}-1) \\&=\frac{1}{2}(\sqrt{3}-1)^2L \end{aligned})]
한편,
[math(\begin{aligned} \overline{\rm HG}=L\tan{30\degree}=\frac{\sqrt{3}}{3}L \end{aligned})]
이상에서
[math(\begin{aligned} \overline{\rm HB'}=\frac{\sqrt{3}}{3}L-\frac{1}{2}(\sqrt{3}-1)^2L \end{aligned})]
이므로
[math(\begin{aligned} d &=\sqrt{3}L-\left[ \frac{\sqrt{3}}{3}L-\frac{1}{2}(\sqrt{3}-1)^2L \right] \\&=\left( 2-\frac{1}{\sqrt{3}} \right)L \end{aligned})]
4. 여담
- 등가속도 운동처럼 보이지만 등가속도 운동이 아닌 대표적인 운동이 원운동이다. 가속도의 크기는 일정하지만 가속도의 방향, 즉 힘의 방향이 매 시간마다 달라지므로[4] 등가속도 운동이 아니다. 즉, 벡터의 회전 중심에 대한 각도 성분이 지속적으로 변하는 중이라 등가속도가 아닌 것.
- 수능에서는 난이도가 해마다 천차만별이다. 어렵게 나올 때는 굉장히 어렵게 나오며, 연립 방정식을 세워서 문제를 해결하거나 에너지를 이용하여 힌트를 얻는 문제도 출제되고 있다. 특히나 수능에서 중요한 것은 1차원 심화 분석 문단에서 언급한 평균 속도와 관련된 것이다. 또한, 수능은 식을 세워 해결하기보다는 그래프를 그려서 해결하면 쉽게 풀리기도 한다.
- 가속도는 크기 뿐만 아니라 방향도 가진 벡터 물리량이기 때문에 등가속도 운동은 가속도의 크기와 방향이 다 일정한 운동을 의미한다. 따라서 방향이 바뀌면 크기가 일정하더라도 등가속도 운동이 아니다. 또한 이를 통해 등가속도 운동과 등가속도 직선 운동은 다 같은 의미를 가짐을 알 수 있다.[5]
- 가속도의 크기가 0이 되면 속도가 일정한 등속직선운동이 된다.
5. 관련 문서
[1] 시간을 [math(t)], 처음 속도를 [math(v)], 나중 속도를 [math(v_{0})]이라 한다면 가속도 [math(a)]는 다음과 같이 구한다고 나와있다. [math(\displaystyle a=\frac{v-v_{0}}{t} )][2] 참고로 가속도가 0인 운동은 속도가 일정한 등속직선운동이다.[3] 물리학에서 어떤 물리량의 시간 미분을 나타내는 뉴턴 표기법이다. 미적분 교과에서 배우는 라이프니츠 표기법으로는 [math(\dot{x}\equiv {\rm d}x/{\rm d}t)]이고, [math(\ddot{x} \equiv {\rm d}^{2}x/{\rm d}t^{2})]이다.[4] 항상 원의 중심을 향해야 하기 때문에[5] 단, 1차원 한정이다. 2차원으로 가면 등가속도 운동이라고 하는 게 정확하다.