1. 질점의 속도
이 문서의 내용을 이해하기 위해서는 벡터에 대한 기본적인 지식이 필요하다. 벡터 문서 참조..
어떤 시각 [math(t)]에 입자가 A점으로부터 출발하여
시각 [math(t+\Delta t)]에 B점에 도달하는 정보를 담은 그림이다.
입자의 속도를 구해보자. 입자의 위치벡터 [math(\mathbf r)]은 원점으로부터의 거리 [math(r)] 와 단위벡터 [math(\mathbf{u}_r )]를 갖는다.
[math(\mathbf{r}=r\mathbf{u}_r)]
극좌표를 사용하면 모든 단위벡터는 다음과 같이 표현 가능하다.
[math(\mathbf{u}_r(\theta) = \cos \theta \, \hat{\mathbf{ i }}+ \sin \theta \, \hat{\mathbf j})]
벡터 [math(\mathbf{r}(t))]와 [math(\mathbf{r}(t+\Delta t))]를 나타내면
[math(\mathbf{r}(t)=r \cos \theta \, \hat{\mathbf i} + r \sin \theta \, \hat{\mathbf{j}})]
[math(\displaystyle \mathbf{r} (t+\Delta t) =\\ (r+\Delta r) \cos(\theta + \Delta \theta) \hat{\mathbf{i}}+ (r+\Delta r) \sin(\theta + \Delta \theta) \hat{\mathbf{j}})]
이제 입자의 속도를 구해보자.
[math(\mathbf{v} = \dfrac{\mathbf{r}(t+ \Delta\ t) - \mathbf{r}(t)}{\Delta t})]에서
[math(\displaystyle \lim_{\Delta t \to 0} \Delta\theta = 0)]과
삼각함수의 성질
[math(\sin(\theta + \Delta \theta) =\sin\theta \cos\Delta\theta + \cos\theta \sin\Delta\theta)]
[math(\cos(\theta + \Delta \theta) =\cos\theta \cos\Delta\theta - \sin\theta \sin\Delta\theta)]
를 이용하여
[math(\displaystyle \lim_{\Delta t\to 0} \frac{\mathbf{r}(t+ \Delta\ t) - \mathbf{r}(t)}{\Delta t})]를 [math(\hat{\mathbf{i}})], [math(\hat{\mathbf{j}})] 성분으로 나누어 정리하면
[math(\bf \hat i)]성분 :
| [math(\displaystyle \lim_{\Delta t\to 0} \frac{r(\cos \theta \cos\Delta\theta - \sin\theta \sin\Delta\theta)+\Delta r(\cos\theta \cos\Delta\theta - \sin\theta \sin\Delta\theta) -r \cos \theta}{\Delta t})] |
| [math(\displaystyle \lim_{\Delta t\to 0} \frac{r(\sin\theta \cos\Delta\theta + \cos\theta \sin\Delta\theta)+\Delta r(\sin\theta \cos\Delta\theta + \cos\theta \sin\Delta\theta) -r \sin \theta}{\Delta t})] |
여기서 [math(\sin \Delta\theta \approx \Delta\theta , \cos \Delta\theta \approx 1)]을 이용하여 다시 간단히 하면
[math(\bf \hat i)] 성분:
| [math(\displaystyle \lim_{\Delta t\to 0} \frac{r(\cos\theta - \sin\theta \Delta\theta)+\Delta r(\cos\theta - \sin\theta \Delta\theta) -r \cos \theta}{\Delta t} = \lim_{\Delta t\to 0} \left( \frac{\Delta r \cos \theta}{\Delta t} - \frac{(r-\Delta r) \sin \theta\Delta\theta}{\Delta t}\right) )] |
| [math(\displaystyle \lim_{\Delta t\to 0} \frac{r(\sin\theta + \cos\theta \Delta\theta)+\Delta r(\sin\theta + \cos\theta \Delta\theta) -r \sin\theta}{\Delta t} = \lim_{\Delta t\to 0} \left( \dfrac{\Delta r \sin \theta}{\Delta t} + \frac{(r+\Delta r) \cos \theta \Delta\theta}{\Delta t}\right) )] |
[math(\bf \hat i)] 성분:
[math(\displaystyle \lim_{\Delta t\to 0} \left(\frac{\Delta r \cos \theta}{\Delta t} - \frac{r \sin \theta\Delta\theta}{\Delta t}\right) )]
[math(\bf \hat j)] 성분:
[math(\displaystyle \lim_{\Delta t\to 0} \left(\frac{\Delta r \sin \theta}{\Delta t} + \frac{r \cos \theta\Delta\theta}{\Delta t}\right) )]
[math(\displaystyle \lim_{\Delta t\to 0} \frac{\Delta \mathrm r}{\Delta t} = \frac{\mathrm{d} \mathbf{r}}{\mathrm{d} t} )]를 반지름 방향 속도 [math(\dot{\mathbf{r}} = \mathbf{v})]라 정의하고
[math(\displaystyle \lim_{\Delta t\to 0} \frac{\Delta\theta}{\Delta t} = \frac{\mathrm{d} \theta }{\mathrm{d} t})]를 각속도 [math(\dot \theta = \omega)]라 정의하면
[math(\begin{aligned} \mathbf{v} & = \displaystyle \lim_{\Delta t \to 0} \frac{ \mathbf{r} (t+ \Delta t) - \mathbf{r} (t)}{\Delta t} \\ & = ( \dot{r} \cos \theta - r \omega \sin \theta ) \hat{\mathbf i} + ( \dot{r} \sin \theta + r \omega \cos \theta ) \mathbf{\hat {j}}\end{aligned})]
를 얻으며, 만약 각속도 벡터 [math(\vec{\omega} = \omega \mathbf{k})] 를 정의하면
최종적으로 [math(\mathbf{v} = \dot{r} \mathbf{u}_r + \vec\omega \times \mathbf{r})]가 성립한다. 이를 식1이라 하자.
2. 방향벡터의 도함수
식1 [math(\mathbf{v} = \dot{r} \mathbf{u}_r + \vec\omega \times \mathbf{r})]를 잘 보자. 이는 [math( r )] [math( = )] [math( r )] [math( u_r )]의 양변을 시간에 대해 미분한 것과 같다.미분 해 보면,[math( \dot{r} )] [math( = )] [math( v )] [math( = )] [math( \dot{r} )] [math( u_r + )] [math( r )] [math( \dot{u}_r)]
이는 목차 1에서 구한 [math( v )] [math( = )] [math( \dot{r} )] [math( u_r + \omega \times )] [math( r )]와 같아야 하므로 다음이 성립한다.
[math( r )] [math( \dot{u}_r = \omega \times )] [math( r )]
양변을 [math( r )] 로 나누어 더 간단히 정리하면 [math( \dot{u}_r = \omega \times u_r )]가 되고 이를 식2라 하자.
3. 질점의 가속도
정의에 따라 식 1을 [math( v )] [math( = )] [math( \dot{r} )] [math( u_r + \omega \times )] [math( r )] 를 시간에 대해 미분하기만 하면[math( \dot{v} )] [math( = )] [math( a )] [math( = )] [math( \ddot{r} )] [math( u_r + )] [math( \dot{r} )] [math( \dot{u_r} + )] [math( \dot{\omega} \times )] [math( r )] [math( + )] [math( \omega \times )] [math( \dot{r} )] 여기서 식 1과 2에 의해
[math( \dot{r} )] [math( = )] [math( \dot{r} )] [math( u_r + \omega \times )] [math( r )] 와
[math( \dot{u_r} = \omega \times u_r )] 가 성립하므로
[math( a )] [math( = )] [math( \ddot{r} )] [math( u_r + )] [math( \dot{r} )] [math( \omega \times u_r + )] [math( \dot{\omega} \times )] [math( r )] [math( + )] [math( \omega \times )] [math( {( } )] [math( \dot{r} )] [math( u_r + \omega \times )] [math( r )] [math( {)} )] 괄호 항을 전개하여 정리하면 최종적으로
[math( a )] [math( = )] [math( \ddot{r} )] [math( u_r + 2)] [math( \dot{r} )] [math( \omega \times u_r + )] [math( \dot{\omega} \times )] [math( r )] [math( + )] [math( \omega \times {( } )] [math( \omega \times )] [math( r )] [math( {)} )] [1]
식 3의 [math( 2 )] [math( \dot{r} )] [math( \omega \times u_r )] 을 코리올리 가속도라고 하며, 자세한 건 전향력 문서 참조.
[1] 식 3