강체 운동을 대표하는 물리량 중 하나로, 기준이 되는 축 주위로 얼마나 빠르게 도는지를 나타낸다.[1]
기호는 주로 [math(\omega)][2]를 쓰며 특히 각속도 텐서[3]일 경우에는 대문자인 [math(\Omega)][4]가 쓰인다. 단위는 SI 단위 체계로 [math(\rm rad/s)]로 나타낸다.
단, 원운동과 관련하여 선속도로 환산된 물리량에 쓰일 때에는 라디안 단위가 약분되어야 하기 때문에 [math(\omega/{\rm rad})]을 쓴다.[5] 이하 [math(\underline{~~})](언더 바)가 그어진 물리량은 각도 단위가 약분된 물리량, 즉 [math(\underline\omega = \omega/{\rm rad})], [math(\underline\alpha = \alpha/{\rm rad})] 등이다.
[이에 대한 고찰]
----- [math(\omega/{\rm rad})]으로 표기해야하는 이유는 원에서 호의 길이를 구하는 엄밀한 관계식에서 간단하게 유도할 수 있다. 반지름이 [math(r)], 중심각이 [math(\theta)], 호의 길이가 [math(l)]이라고 했을 때 (원주)[math(\,:\,)](호의 길이)[math(\,=\,)](1회전)[math(\,:\,)](중심각)의 비례식 [math(2\pi r:l = 2\pi{\rm\,rad}:\theta)]를 풀면
이런 표기가 낯설게 보이는 이유는, 수학에서 단위는 그저 물리량에 붙어서 따라다닐 뿐 수치에 아무런 영향을 주지 않는 관계로 보통 단위를 다 뗀 수치에 대해서만 논하기 때문이다. 그러나 도량형학, 혹은 물리학 관점에서 보면 [math(\theta = l/r)]에서 [math(\theta)]는 엄연히 '각도'로서의 물리량이므로 [math(\rm rad)]을 내포하며[6] [math(l/r)]은 단위까지 약분되어 순수하게 수치만을 가지므로 양변의 단위 관계[7]가 맞지 않아 정확하지 않은 표기이다. (물리량)[math(=)](수치)[math(\times)](단위) 관계에 있음을 상기하자. 즉 퍼센트와 같이 무차원 물리량이라 하더라도 단위는 반드시 내포한다. 따라서 위와 같이 쓰거나 [math(\theta = \cfrac lr{\rm\,rad})]처럼 [math(\rm rad)]을 이항해준 표기가 도량형학 및 물리학적으로 올바른 표기이다.[8] 거꾸로 [math(l = r\theta)]라고 썼을 때, [math(\theta)]는 [math(\rm rad)]을 내포하고 있으므로, 이 수식이 올바른 수식이라면 이를테면 [math(r)]이 [math(\rm cm)] 단위로 표기된다고 치면 [math(l)]의 단위는 [math(\rm cm{\cdot}rad)]이 되겠지만, 실제로는 그렇게 쓰지 않는다는 사실만 봐도 엄밀한 표기가 아니라는 것을 알 수 있으며 이는 [math(v = r\omega)]에서도 마찬가지이다. 라디안 단위가 분명히 존재했던 [math(\omega)]에 [math(r)]을 곱해서 선속도로 나타내는데 단위에 [math(\rm rad)]을 쓰지 않는 이유도 [math(v = r\omega/{\rm rad})]으로 매끄럽게 설명할 수 있다. 구심가속도 역시 [math(a = r(\omega/{\rm rad})^2)]로 나타내는 것이 정확한 표기이며 [math(r)]이 가령 [math(\rm m)] 단위이고 [math(\omega/{\rm rad})]은
가 되기 때문에 역시 단위에 [math(\rm rad)]이 포함되지 않는 [math(\rm m/s^2)]이 되는 것을 알 수 있다.
여담이지만 삼각함수의 정의역 역시 단위가 없는 수치가 들어가야 하기 때문에 [math(\theta/{\rm rad})]으로 쓰는 것이 올바른 표기이다. 무한급수를 비롯하여 [math(\sin\theta\approx\theta)]와 같은 근사식에서 좌변은 단위가 없는 수치이지만 우변은 단위를 내포하는 식이 되기 때문이다. 혹은 전미분식 [math({\rm d}(\sin\theta) = \cos\theta{\rm\,d}\theta)]도 마찬가지인데 우변은 단위가 없는 삼각함수와 [math(\rm rad)] 단위가 내포된 [math({\rm d}\theta)]의 곱이지만 좌변의 [math({\rm d}(\sin\theta))]는 단위가 없어 좌우변의 단위 관계가 맞지 않게 된다.
각가속도(angular acceleration, 角加速度)는 강체의 회전 운동을 대표하는 물리량 중 하나로, 기준이 되는 축 주위로 각속도가 얼마나 빠르게 변하는지를 나타낸다.
기호로는 주로 [math(\alpha)]를 쓰며, 단위는 SI 단위 체계로 [math(\rm rad/s^2)]로 나타낸다. 역시 선속도와 관련한 물리량에 쓰일 때에는 [math(\rm rad)] 단위가 약분된 [math(\alpha/{\rm rad})]을 쓰기 때문에[10] 이 경우 단위가 [math(\rm s^{-2})], 즉 초 제곱의 역수로 표기된다.
으로 나타낼 수 있다. 위 식을 잘 곱씹어보면, 제1항은 [math(\bf Q)]의 방향을 유지하면서 성분의 시간 변화를 나타내는 항이고, 제2항은 [math(\bf Q)]의 크기가 일정하고 기저가 변하는, 즉 벡터의 회전을 나타내는 항이다. 각 문서의 각 변위 벡터에서 유도한 것처럼 기저 [math(\bf e)]를 축으로 하여 회전이 일어나는 평면에 대해 반시계 방향으로 미소 각 [math({\rm d}\theta)](단, [math(underlinetheta = theta/{rm rad})])만큼 [math(\bf Q)]를 회전한 것은 [math({\rm d}\underline\theta{\bf e}\bm\times{\bf Q})]이므로 미소 시간 [math({\rm d}t)] 동안의 변화는 [math(\cfrac{{\rm d}\underline\theta}{{\rm d}t}{\bf e\bm\times Q} = \underline\omega{\bf e\bm\times Q})]로 나타낼 수 있다. 여기서 [math(\underline\omega{\bf e})]는 크기가 [math(\underline\omega)]인 벡터이므로 이를 [math(\underline{\bm\omega})]로 나타내면 위 식의 제2항이 곧 [math(\bm{\underline\omega\times\bf Q})]임을 알 수 있다. 이를 좀 더 엄밀하게 유도해보자. 우선
로 [math(\bf Q)]에 곱해지는 행렬이 반대칭 행렬의 꼴임을 알 수 있다. 참고로 이 반대칭 행렬을 각속도 텐서(angular velocity tensor)라고 하며 [math(\sf\pmb\Omega)]로 나타낸다. 따라서 [math(\bm\lambda)]를 다음과 같은 꼴로 생각하면
여기서 만약 우변의 첫 번째 항이 [math(\bf0)]이라고 가정하면, 즉 이 상황은 회전 좌표계에서 병진 운동이 일어나지 않는 상황과 동치인데, 이는 곧 [math(\bm\lambda = \underline{\bm\omega})], 즉 벡터가 각속도 [math(\omega)]로 회전한다는 결론과 같다.
관성 주축을 회전 축을 하게 되거나 어떤 축을 중심으로 회전하는 강체는 관성 모멘트 [math(I)]를 도입하여
[math({\bf L} = I\bm\omega)]
로 쓸 수 있다. 앞서 관성 모멘트의 단위가 [math(\rm kg{\cdot}m^2/rad^2)]이었으므로 각운동량의 단위를 엄밀하게 쓰면 [math({\rm kg{\cdot}m^2/(s{\cdot}rad)} = {\rm J{\cdot}s/rad})]임을 유추할 수 있다.[11]
[1] 달리 '회전력'이라고도 한다.[2] 다만 [math(\omega)]는 전기·전자공학 등에서 각주파수를 표기할 때도 사용되므로 문맥으로 구별해야 한다. 또한 수학의 삼차방정식의 원시근과도 구별해야한다.[3] 보통 2차 텐서인 행렬의 형태로 표기한다.[4]입체각을 나타내는 기호로도 쓰인다. 전기저항의 단위(옴)를 표기할 때도 쓰이며, 오메가 상수라는 특수한 거듭제곱식의 실근으로도 쓰인다.[5] 사실 이 사항은 똑같은 기호와 단위를 쓰는 각진동수에서도 마찬가지이다. 양자화된 에너지식 [math(E = \hbar\omega)]도 역시 [math(E = \hbar\omega/{\rm rad})]으로 표기하는 게 좀 더 정확한 표기이다.[6] [math(\pi)]가 호도법을 대표하는 상수라 [math(\rm rad)] 정도 안 써줬다고 별 문제가 없는 것 아니냐고 생각할 수 있지만, 애석하게도 [math(\pi)]는 입체각 [math(\Omega)]에서도 등장하고, 입체각 역시 무차원량이지만 스테라디안([math(\rm sr)])이라는 단위를 갖는다. 어떤 한 점에서 모든 공간으로 등방하게 방사될 때 그 입체각은 [math(4\pi{\rm\,sr})]이기 때문에 한 점을 기준으로 공간의 [math(1/4)]만큼 벌어진 입체각은 [math(\pi{\rm\,sr})]이 된다. 평면각과 입체각의 구별을 위해 [math(\rm rad)]은 물론 [math(\rm sr)]도 생략하면 안 된다. 단, 입체각도 본 문서에서 서술한 바와 마찬가지로 '입체각의 수치'만 필요한 경우 [math(\rm sr)]을 약분한 물리량이 종종 쓰이곤 한다.[7]차원 관계가 아니다. [math(\theta)]는 단위가 있고 [math(\dfrac lr)]은 단위가 없다.[8] 이렇게 표기하면 가령 호의 길이 [math(l)]이 [math(l=\pi r)]일 때 중심각 [math(\theta)]는 [math(\theta = \dfrac{\pi r}r{\rm\,rad} = \pi{\rm\,rad})]로 [math(\rm rad)]이 명시된 계산이 가능하다.[9] Revolution Per Minute, [math(1\,{\rm rpm}=\dfrac{\pi}{30}\,{\rm rad/s})][10] 선속도가 호의 시간 미분이었듯, 선가속도는 선속도의 시간 미분이기 때문이다. 즉 [math(a = \cfrac{{\rm d}v}{{\rm d}t} = \cfrac{{\rm d}{\left(r\dfrac\omega{\rm rad}\right)}}{{\rm d}t} = r\cfrac\alpha{\rm rad})]이다. 각가속도는 선가속도를 반지름으로 나눈 것이므로 [math(\alpha/{\rm rad})]이 남는다.[11] 이는 해당 물리량의 이름이 '각'운동량인 것과도 관계가 깊고, 양자역학에서 각운동량이 [math(\hbar)]의 배수로 나타나는 것 역시 자연스럽게 설명이 된다. 개요의 각주에서 언급된 관계식과의 일관성을 고려하면 정확히는 [math(\hbar/{\rm rad})]의 배수로 나타나는 것인데, 표기의 편의성을 위해 [math(\hbar = \cfrac h{2\pi{\rm\,rad}})], [math(\check h = \cfrac h{2\pi} = \hbar{\rm\,rad})]으로 재정의된 상수를 이용하자고 주장하는 학자도 있다.