1. 개요
각속도(角速度, angular velocity) 또는 회전력(回轉力)은 강체 운동을 대표하는 물리량 중 하나로, 기준이 되는 축 주위로 물체가 얼마나 빠르게 도는지를 나타낸다.기호는 주로 [math(\omega)][1]를 쓰며 특히 각속도 텐서[2]일 경우에는 대문자인 [math(\Omega)][3]가 쓰인다. 단위는 SI 단위 체계로 [math(\rm rad/s)]로 나타낸다.
단, 원운동과 관련하여 선속도로 환산된 물리량에 쓰일 때에는 라디안 단위가 약분되어야 하기 때문에 [math(\omega/{\rm rad})]을 쓴다.[4] 이하 [math(\underline{~~})](언더 바)가 그어진 물리량은 각도 단위가 약분된 물리량, 즉 [math(\underline\omega = \omega/{\rm rad})], [math(\underline\alpha = \alpha/{\rm rad})] 등이다.
- [이에 대한 고찰]
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[math(\omega/{\rm rad})]으로 표기해야하는 이유는 원에서 호의 길이를 구하는 엄밀한 관계식에서 간단하게 유도할 수 있다. 반지름이 [math(r)], 중심각이 [math(\theta)], 호의 길이가 [math(l)]이라고 했을 때 (원주)[math(\,:\,)](호의 길이)[math(\,=\,)](1회전)[math(\,:\,)](중심각)의 비례식 [math(2\pi r:l = 2\pi{\rm\,rad}:\theta)]를 풀면
그리고 선속도 [math(v)]는 [math(l)]의 시간에 대한 미분(순간 속도)이므로[math(\begin{aligned}l &= \frac{\cancel{2\pi}r\theta}{\cancel{2\pi}{\rm\,rad}} \\ &= r\theta/{\rm rad} \\ &\therefore \theta/{\rm rad} = \frac lr\end{aligned})]
이런 표기가 낯설게 보이는 이유는, 수학에서 단위는 그저 물리량에 붙어서 따라다닐 뿐 수치에 아무런 영향을 주지 않는 관계로 보통 단위를 다 뗀 수치에 대해서만 논하기 때문이다. 그러나 도량형학, 혹은 물리학 관점에서 보면 [math(\theta = l/r)]에서 [math(\theta)]는 엄연히 '각도'로서의 물리량이므로 [math(\rm rad)]을 내포하며[5] [math(l/r)]은 단위까지 약분되어 순수하게 수치만을 가지므로 양변의 단위 관계[6]가 맞지 않아 정확하지 않은 표기이다. (물리량)[math(=)](수치)[math(\times)](단위) 관계에 있음을 상기하자. 즉 퍼센트와 같이 무차원 물리량이라 하더라도 단위는 반드시 내포한다. 따라서 위와 같이 쓰거나 [math(\theta = l/r\,{\rm\,rad})]처럼 [math(\rm rad)]을 이항해준 표기가 도량형학 및 물리학적으로 올바른 표기이다.[7] 거꾸로 [math(l = r\theta)]라고 썼을 때, [math(\theta)]는 [math(\rm rad)]을 내포하고 있으므로, 이 수식이 올바른 수식이라면 이를테면 [math(r)]이 [math(\rm cm)] 단위로 표기된다고 치면 [math(l)]의 단위는 [math(\rm cm{\cdot}rad)]이 되겠지만, 실제로는 그렇게 쓰지 않는다는 사실만 봐도 엄밀한 표기가 아니라는 것을 알 수 있으며 이는 [math(v = r\omega)]에서도 마찬가지이다. 라디안 단위가 분명히 존재했던 [math(\omega)]에 [math(r)]을 곱해서 선속도로 나타내는데 단위에 [math(\rm rad)]을 쓰지 않는 이유도 [math(v = r\omega/{\rm rad})]으로 매끄럽게 설명할 수 있다. 구심가속도 역시 [math(a = r\,(\omega/{\rm rad})^2)]로 나타내는 것이 정확한 표기이며 [math(r)]이 가령 [math(\rm m)] 단위이고 [math(\omega/{\rm rad})]은[math(\begin{aligned}v &= \frac{{\rm d}l}{{\rm d}t} \\ &= \frac{{\rm d}(r\theta/{\rm rad})}{{\rm d}t} \\ &= r\frac{{\rm d}\theta/{\rm rad}}{{\rm d}t} \\ &= r\omega/{\rm rad}\end{aligned})]
가 되기 때문에 역시 단위에 [math(\rm rad)]이 포함되지 않는 [math(\rm m/s^2)]이 되는 것을 알 수 있다.[math(\cfrac{\rm\cancel{rad}/s}{\rm\cancel{rad}} = {\rm 1/s})]
여담이지만 삼각함수의 정의역 역시 단위가 없는 수치가 들어가야 하기 때문에 [math(\theta/{\rm rad})]으로 쓰는 것이 올바른 표기이다. 무한급수를 비롯하여 [math(\sin\theta\approx\theta)]와 같은 근사식에서 좌변은 단위가 없는 수치이지만 우변은 단위를 내포하는 식이 되기 때문이다. 혹은 전미분식 [math({\rm d}(\sin\theta) = \cos\theta{\rm\,d}\theta)]도 마찬가지인데 우변은 단위가 없는 삼각함수와 [math(\rm rad)] 단위가 내포된 [math({\rm d}\theta)]의 곱이지만 좌변의 [math({\rm d}(\sin\theta))]는 단위가 없어 좌우변의 단위 관계가 맞지 않게 된다.
일상에서는 분당 회전수로 [math(\rm rpm)][8]을 많이 쓴다.
2. 정의
각 문서의 각 변위 문단에서 도출된| [math(\begin{aligned} {\rm d}{\bf l} &= {\rm d}\bm{\underline\theta\times\bf r} \\ &= {\rm d}\bm{\theta\times\bf r}/{\rm rad} \end{aligned})] |
| [math(\begin{aligned} \dfrac{{\rm d}\bf l}{{\rm d}t} &= \dfrac{{\rm d}\bm\theta}{{\rm d}t}\bm\times{\bf r}/{\rm rad} \\ \bf\dot l &= \bm{\dot\theta}\bm\times{\bf r}/{\rm rad} \end{aligned})] |
| [math(\bm{\dot\theta} \equiv \bm\omega)] |
| [math(\begin{aligned} \bf\dot l &= \bm{\omega\times\bf r}/{\rm rad} \\ &= \bm{\underline\omega\times\bf r}\end{aligned})] |
3. 유사 벡터 여부
일반적인 벡터(특히 물리학에서는 변위 벡터)와 같이 반사에 대하여 부호가 반대되지 않는 벡터와 달리, 부호가 반대되는 벡터를 유사 벡터(pseudovector)라 한다.각속도 또한 유사 벡터인데, 이것은 아래와 같이 쉽게 보일 수 있다.
일반적인 벡터의 경우 (a)와 같이 반전시켜도 부호가 달라지지 않으나 각속도 벡터의 경우 (b)와 같이 부호가 반대가 된다. 따라서 각속도는 유사 벡터이다.
4. 각가속도
각가속도(角加速度, angular acceleration)는 강체의 회전 운동을 대표하는 물리량 중 하나로, 기준이 되는 축 주위로 각속도가 얼마나 빠르게 변하는지를 나타낸다.기호로는 주로 [math(\alpha)]를 쓰며, 단위는 SI 단위 체계로 [math(\rm rad/s^2)]로 나타낸다. 역시 선속도와 관련한 물리량에 쓰일 때에는 [math(\rm rad)] 단위가 약분된 [math(\alpha/{\rm rad})]을 쓰기 때문에[9] 이 경우 단위가 [math(\rm s^{-2})], 즉 초 제곱의 역수로 표기된다.
각가속도는 각속도의 시간 미분으로 주어진다.
| [math(\bm\alpha \equiv \dfrac{{\rm d}\bm\omega}{{\rm d}t}=\dfrac{{\rm d^2}\bm\theta}{{\rm d}t^2} )] |
각가속도는 곧 각속도의 변화량이므로 한 축을 기준으로 회전하는 물체의 경우 각가속도와 각속도는 평행하다. 그러나 팽이와 같이 세차 운동이 일어나는 경우엔 그렇다고 말할 수 없다.
5. 회전 좌표계에서
고정 좌표계와, 물체와 함께 회전하는 회전 좌표계를 고려하자. 이 회전 좌표계에서 봤을 때, 어떤 벡터 [math(\bf Q)]가 존재한다고 생각하자. 회전 좌표계의 기저를 [math({\bf e}_j)]라 할 때 이 벡터의 시간 미분을 고려해보자. 고정 좌표계에서| [math(\begin{aligned} \biggl( \frac{{\rm d}\bf Q}{{\rm d}t} \biggr)_{\!\sf fixed} &= \frac{\rm d}{{\rm d}t}\sum_i Q_i {\bf e}_i \\ &= \sum_i (\dot Q_i{\bf e}_i + Q_i{\bf\dot e}_i) \\ &= \!\biggl( \frac{{\rm d}\bf Q}{{\rm d}t} \biggr)_{\!\sf rotating} + \sum_i Q_i{\bf\dot e}_i \end{aligned})] |
| [math({\rm d}\underline\theta\, {\bf e}\bm\times{\bf Q})] |
| [math(\cfrac{{\rm d}\underline\theta}{{\rm d}t} {\bf\,e\bm\times Q} = \underline\omega{\bf e\bm\times Q})] |
| [math(\begin{aligned} {\bf\dot e}_i &= \sum_j \lambda_{ji}{\bf e}_j \\ &= \lambda_{1i}{\bf e}_1 + \lambda_{2i}{\bf e}_2 + \lambda_{3i}{\bf e}_3 \\ &= \!\begin{bmatrix}\lambda_{1i} \\ \lambda_{2i} \\ \lambda_{3i}\end{bmatrix}\end{aligned})] |
한편, [math({\bf e}_i\bm\cdot {\bf e}_j = \delta_{ij})](단, [math(\delta_{ij})]는 크로네커 델타이다.)에서 양변을 시간에 대해 미분하면
| [math({\bf\dot e}_i \bm\cdot{\bf e}_j + {\bf e}_i \bm\cdot{\bf\dot e}_j = 0)] |
| [math(\begin{aligned} \sum_k \lambda_{ki}{\bf e}_k\bm\cdot{\bf e}_j + \sum_k\lambda_{kj} {\bf e}_i \bm\cdot {\bf e}_k &= \sum_k \lambda_{ki}\delta_{kj} + \sum_k \lambda_{kj} \delta_{ik} \\ &= \lambda_{ji}+\lambda_{ij} \end{aligned})] |
| [math(\begin{aligned} \underline\omega{\bf e\bm\times Q} &= \underline\omega \begin{vmatrix} \bf\hat x & \bf\hat y & \bf\hat z \\ e_1 & e_2 & e_3 \\ Q_1 & Q_2 & Q_3 \end{vmatrix} \\ &= \underline\omega \!\begin{bmatrix} e_2Q_3 - e_3Q_2 \\ e_3Q_1 - e_1Q_3 \\ e_1Q_2 - e_2Q_1 \end{bmatrix} \\ &= \!\begin{bmatrix} 0 & -\underline\omega e_3 & \underline\omega e_2 \\ \underline\omega e_3 & 0 & -\underline\omega e_1 \\ -\underline\omega e_2 & \underline\omega e_1 & 0 \end{bmatrix}\! \!\begin{bmatrix} Q_1 \\ Q_2 \\ Q_3 \end{bmatrix} \end{aligned})] |
| [math(\bm\lambda = \!\begin{bmatrix} 0 & -\lambda_3 & \lambda_2 \\ \lambda_3 & 0 & -\lambda_1 \\ -\lambda_2 & \lambda_1 & 0 \end{bmatrix})] |
| [math(\displaystyle \lambda_{ji} = \sum_k \varepsilon_{ijk}\lambda_k)] |
| [math(\displaystyle{\bf\dot e}_i =\sum_{jk} \varepsilon_{ijk}\lambda_k {\bf e}_j)] |
| [math(\begin{aligned} \sum_i Q_i {\bf\dot e}_i &= \sum_{ijk} \varepsilon_{ijk}Q_i \lambda_k {\bf e}_j \\ &= \sum_j \biggl[ \sum_{ik} \varepsilon_{jki}\lambda_kQ_i \biggr] {\bf e}_j \\ &= \sum_j [\bm{\lambda\times \bf Q}]_j{\bf e}_j \\ &= \bm{\lambda\times\bf Q} \end{aligned})] |
| [math(\begin{aligned} \biggl( \frac{{\rm d}{\bf Q}}{{\rm d}t} \biggr)_{\!\sf fixed} = \!\biggl( \frac{{\rm d}{\bf Q}}{{\rm d}t} \biggr)_{\!\sf rotating} + \bm{\lambda\times\bf Q} \end{aligned})] |
이제 남은 것은 [math(\bm\lambda)]를 결정하는 것이다. 이를 위해 [math(\bf Q)]가 임의의 벡터라는 점에 착안하여 그것을 위치 벡터 [math(\bf r)]로 설정하자.
| [math(\begin{aligned} \biggl( \frac{{\rm d}\bf r}{{\rm d}t} \biggr)_{\!\sf fixed} = \!\biggl( \frac{{\rm d}\bf r}{{\rm d}t} \biggr)_{\!\sf rotating} + \bm{\lambda\times\bf r} \end{aligned})] |
| [math(\begin{aligned} \therefore \biggl( \frac{{\rm d}\bf Q}{{\rm d}t} \biggr)_{\!\sf fixed} = \!\biggl( \frac{{\rm d}\bf Q}{{\rm d}t} \biggr)_{\!\sf rotating} + \bm{\underline\omega\times\bf Q} \end{aligned})] |
이 논의는 비관성 좌표계를 논할 때 다시 나온다.
6. 다른 물리량과의 관계
6.1. 회전 운동 에너지
강체의 운동 에너지는 질량 중심의 병진 운동 에너지와 질량 중심 주위로의 회전 운동 에너지의 합으로 쓸 수 있다. 이때, 회전 운동 에너지는| [math(\displaystyle T_{\sf rotating} = \sum_j \frac12m_j(\bm{\underline\omega\times\bf r}_j)^2)] |
이것은 관성 텐서 [math(\sf\pmb I)]를 도입하여 다음과 같이 쓸 수 있다.
| [math(\begin{aligned} T_{\sf rotating} &= \frac12\bm\omega^T{\sf\pmb I}\bm\omega \\ &= \sum_{ij}\frac12 I_{ij} \omega_i\omega_j \end{aligned})] |
논의를 축을 중심으로 회전하는 강체에 대해 국한 시키면,
| [math(\begin{aligned} T_{\sf rotating} = \frac12 I\omega^2 \end{aligned})] |
6.2. 각운동량
마찬 가지로 관성 텐서 [math(\sf\pmb I)]를 도입하여 다음과 같이 쓸 수 있다.| [math(\begin{aligned} {\bf L} &= {\sf\pmb I} \bm\omega \\ &= \sum_j I_{ij}\omega_j \end{aligned})] |
관성 주축을 회전 축을 하게 되거나 어떤 축을 중심으로 회전하는 강체는 관성 모멘트 [math(I)]를 도입하여
| [math({\bf L} = I\bm\omega)] |
[1] 다만 [math(\omega)]는 전기·전자공학 등에서 각주파수를 표기할 때도 사용되므로 문맥으로 구별해야 한다. 또한 수학의 삼차방정식의 원시근과도 구별해야한다.[2] 보통 2차 텐서인 행렬의 형태로 표기한다.[3] 입체각을 나타내는 기호로도 쓰인다. 전기저항의 단위(옴)를 표기할 때도 쓰이며, 오메가 상수라는 특수한 거듭제곱식의 실근으로도 쓰인다.[4] 사실 이 사항은 똑같은 기호와 단위를 쓰는 각진동수에서도 마찬가지이다. 양자화된 에너지식 [math(E = \hbar\omega)]도 역시 [math(E = \hbar\omega/{\rm rad})]으로 표기하는 게 좀 더 정확한 표기이다.[5] [math(\pi)]가 호도법을 대표하는 상수라 [math(\rm rad)] 정도 안 써줬다고 별 문제가 없는 것 아니냐고 생각할 수 있지만, 애석하게도 [math(\pi)]는 입체각 [math(\Omega)]에서도 등장하고, 입체각 역시 무차원량이지만 스테라디안([math(\rm sr)])이라는 단위를 갖는다. 어떤 한 점에서 모든 공간으로 등방하게 방사될 때 그 입체각은 [math(4\pi{\rm\,sr})]이기 때문에 한 점을 기준으로 공간의 [math(1/4)]만큼 벌어진 입체각은 [math(\pi{\rm\,sr})]이 된다. 평면각과 입체각의 구별을 위해 [math(\rm rad)]은 물론 [math(\rm sr)]도 생략하면 안 된다. 단, 입체각도 본 문서에서 서술한 바와 마찬가지로 '입체각의 수치'만 필요한 경우 [math(\rm sr)]을 약분한 물리량이 종종 쓰이곤 한다.[6] 차원 관계가 아니다. [math(\theta)]는 단위가 있고 [math( l/r)]은 단위가 없다.[7] 이렇게 표기하면 가령 호의 길이 [math(l)]이 [math(l=\pi r)]일 때 중심각 [math(\theta)]는 [math(\theta = \dfrac{\pi r}r{\rm\,rad} = \pi{\rm\,rad})]로 [math(\rm rad)]이 명시된 계산이 가능하다.[8] revolution per minute; [math(1\,{\rm rpm}=\dfrac{\pi}{30}\,{\rm rad/s})][9] 선속도가 호의 시간 미분이었듯, 선가속도는 선속도의 시간 미분이기 때문이다. 즉 [math(a = \cfrac{{\rm d}v}{{\rm d}t} = \cfrac{{\rm d}{\left(r\dfrac\omega{\rm rad}\right)}}{{\rm d}t} = r\cfrac\alpha{\rm rad})]이다. 각가속도는 선가속도를 반지름으로 나눈 것이므로 [math(\alpha/{\rm rad})]이 남는다.[10] 이는 해당 물리량의 이름이 '각'운동량인 것과도 관계가 깊고, 양자역학에서 각운동량이 [math(\hbar)]의 배수로 나타나는 것 역시 자연스럽게 설명이 된다. 개요의 각주에서 언급된 관계식과의 일관성을 고려하면 정확히는 [math(\hbar/{\rm rad})]의 배수로 나타나는 것인데, 표기의 편의성을 위해 [math(\hbar = \cfrac h{2\pi{\rm\,rad}})], [math(\check h = \cfrac h{2\pi} = \hbar{\rm\,rad})]으로 재정의된 상수를 이용하자고 주장하는 학자도 있다.