1. 개요
Virial Theorem일반적 역학계에서 평균 운동 에너지와 평균 위치 에너지가 서로 비례한다는 정리이다. 천체역학에서 중요한 정리 중 하나로, 다양한 분야에 응용이 가능한 정리이다.
일반적으로 [math(2K = -U)]라는 식으로 나타내어지고, 은하의 경우 [math(v^2 = \dfrac{0.4GM}{r_h})]로 표현 가능한데, 여기서 [math(v)]는 은하의 각 항성들의 고유 운동 속도 제곱의 평균값, [math(M)]은 은하 전체 질량, [math(r_h)]는 천체 질량의 절반까지를 포함하고 있는 반지름이다.
이를 통해 은하의 전체 에너지 [math(E_{tot} = K + U = -K = \dfrac{1}{2}U)]임을 알 수 있다.
앞서 설명했던 것은 천체역학에서의 비리얼 정리이고, 양자역학과 전자기학에서도 비리얼 정리를 사용할 수 있다.
2. 비리얼 정리
시스템의 정의로 질량 [math(m_i)]를 가진 [math(N)]개의 입자가 위치 벡터 [math(r_i)]에 있으며, 각 입자에 힘 [math(F_i)]가 작용한다고 가정하고 비리얼 함수 [math(G)]를 다음과 같이 정의한다.[math(G = \Sigma_{i=1}^{N} r_i \cdot P_i )]
운동량의 정의를 사용하면 [math(P_i = m_i v_i)]이고 [math(v_i)]는 속도이다.이제 비리얼 함수 [math((G))]를 시간에 대해 미분하면
[math(\dfrac{dG}{dt} = \dfrac{d}{dt} \Sigma_{i}(r_i \cdot P_i) )]
[math( \dfrac{dG}{dt} = \Sigma_{i} \left( \left(\dfrac{ d r_i}{dt} \cdot P_i \right) + \left(r_i \cdot \dfrac{ d P_i}{dt} \right) \right) )][math( \dfrac{dG}{dt} = \Sigma_{i=1}^{N} \left( \left(v_i \cdot P_i \right) + \left(r_i \cdot F_i \right) \right) )]
여기서 [math( v_i , F_i )]의 정의를 조사할 수 있다.
따라서 여기서 [math( v_i , F_i )]의 정의를 조사할 수 있다.
[math( \dfrac{dG}{dt} = \Sigma_{i=1}^{N} ((v_i \cdot m_i v_i) + (r_i \cdot F_i )) )]
[math( \dfrac{dG}{dt} = \dfrac{1}{2}\Sigma_{i=1}^{N} m_i v_i^2 + \Sigma_{i=1}^{N}(r_i \cdot F_i ) )]2.1. 운동 방정식과 위치에너지의 유도
운동 방정식 [math( F = ma )]질량 [math( m)]을 상수로 두고, 가속도[math( (a))]를 속도의 시간[math( (t))]변화율로 표현
[math( ma = m\dfrac{dv}{dt} = \dfrac{dU}{dx} )]
[math( v = \dfrac{dx}{dt} )]라는 속도 [math( v)]와 위치 [math( x)]의 관계에서 가속도[math( (a))] 정의[math( \dfrac{dv}{dt} )]를 체인룰을 사용해서 이해해보면
[math( \dfrac{dv}{dt} = \dfrac{dv}{dx} \dfrac{dx}{dt} = \dfrac{dv}{dx}v )] 을 조사할 수 있다.
위의 식을 위치 에너지[math((U))]로 변환하기 위해 [math( v\dfrac{dv}{dx} )] 를 적분하면
[math( m \int vdv = \int \dfrac{dU}{dx} dx )]
따라서
[math( \dfrac{1}{2}mv^2 = U(x)+C )]
이러한 과정은
가속도[math( (a))]가 [math( \dfrac{dv}{dt} = v\dfrac{dv}{dx} )] 라는 시간과 공간속에서 운동에너지[math( \left(\dfrac{1}{2}mv^2 \right) )]와 위치에너지(포텐셜에너지[math( U)])가 얼마나 비례적으로 아름답고 정교하게 표현될수 있는지를 비리얼 정리라는 비례식으로 이를 잘 보여줄수 있을뿐만아니라 운동의 본질을 미적분 계산에서 시간[math( (t))]과 위치 [math( x)], 속도[math( v)]라는 세 가지 물리량이 연결되는 간결성을 보여줄수 있다.
한편 [math( \dfrac{d}{dt}\left( \dfrac{dx}{dt} \right) = \dfrac{d^2 x}{dt^2} = \dfrac{dv}{dt} )]를 조사할 수 있다.
2.2. 운동에너지와 위치에너지
한편 이러한 [math( \dfrac{d}{dt}\left( \dfrac{dx}{dt} \right) = \dfrac{d^2 x}{dt^2} = \dfrac{dv}{dt} = \dfrac{dv}{dx} \dfrac{dx}{dt} = \dfrac{dv}{dx}v )]라는 운동량과 속도에 대한 깊은 이해는 운동에너지와 위치에너지(포텐셜에너지)의 역학적 관점에서 뉴턴역학이나 상대성 이론 그리고 헤밀토니안의 슈뢰딩거 방정식의 근본 원리를 이해하는 주요한 맥락중 하나일뿐만아니라 시간에서 경로(위치)가 최적화(액션)된다는 라그랑지안으로 이해해볼 수 있는 오일러 방정식의 근본 원리를 제공한다는점에서 시사하는바가 크다고 할 수 있다.3. 특징
3.1. 안정 상태가 아닐때
이 말인 즉슨 비리얼 정리는 천체가 안정된 상태라고 가정을 하고 만든 정리인데, 만약 운동에너지가 더 크다면 천체가 팽창할 것이고, 위치에너지가 더 크다면 천체는 수축할 것이다.3.2. 다양한 응용 분야
비리얼 정리는 천체역학에서 매우 중요한 정리인 만큼 천체역학에서나, 그 외 다른 분야에도 다양하게 응용할 수 있다.뒤에서 설명할 백색왜성의 찬드라세카르 한계나 은하 회전곡선을 통한 은하의 질량 분포 유추 가능한 것 외에도 태양계와 같은 행성계에서나 플라스모이드[1]의 수명을 알 수 있다.
3.2.1. 백색왜성
비리얼 정리를 활용하여 백색왜성의 찬드라세카르 한계를 유도할 수 있다. 찬드라세카르 한계는 백색왜성이 스스로 중력 붕괴하지 않는 최대 질량을 말하는데 비리얼 정리를 활용하여 운동에너지와 위치에너지의 차이를 이용해 최대 질량을 구할 수 있게 되는 것이다. 회전하지 않는 백색왜성의 경우 찬드라세카르 한계는 태양의 약 1.44배라고 한다.자세한 내용은 해당 문서로.
3.2.2. 은하
비리얼 정리를 활용하면 은하 회전곡선을 만들 수 있다. 이를 통해 은하의 질량 분포를 유추 가능한데, 항성의 속도를 도플러 효과로 구하고 항성이 중심부로부터 거리 r만큼 떨어져 있을때의 속도는 거리 r까지의 구면 속에 포함된 총 질량과 비리얼 관계를 갖고 있기 때문에 은하 회전 곡선을 통해 은하의 질량 분포를 확인할 수 있고, 은하단의 질량 분포도 항성을 은하라고 생각하고 비리얼 정리를 통해 구할 수 있다. 질량 분포를 알게 된다면 전자기파로 관측할 수 없는 미지의 질량을 가진 암흑 물질의 존재가 확인 가능하다. 실제로 프리츠 츠비키가 은하에 비리얼 정리를 활용해 최초로 암흑 물질의 존재를 제안하였다.4. 국제 천문 및 천체물리 e-경시대회 출제
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은하 중심부의 초대질량 블랙홀 주위에 있는 강착원반에서는 자외선 형태의 열복사가 방출되는 것으로 알려져 있다. 이 열복사는 활동은하핵(AGN)과 관련이 깊다. 밝은 AGN의 광학 스펙트럼에서는 추가적으로 넓은 [math(H_\beta)] 방출선이 나타난다. 이 [math(H_\beta)] 방출선은 넓은 선 방출영역(BLR)의 고밀도 가스가 강착원반의 자외선 광자에 의해 이온화되어 발생한다.
[math(H_\beta)] 방출선 선속의 변화는 자외선 방출량의 변화를 시간 차를 두고 따라간다고 가정할 수 있다. 이 시간 차는 블랙홀과 BLR 사이의 거리 [math(R_{BLR})]과 비례할 것이다. 강착원반의 크기가 [math(R_{BLR})]에 비해 매우 작다고 가정할 때, 다음 물음에 답하시오.
1. 이 그래프는 시간(단위: JD-2400000)에 따른 블랙홀의 B 필터 밝기와 [math(H_\beta)] 방출선의 밝기 변화를 나타낸 것이다. 블랙홀의 B 필터 밝기 변화와 [math(H_\beta)] 방출선 변화 사이의 시간 차(단위: 일)를 구하시오. (1점)
1. [math(H_\beta)](단위: 파섹)를 구하시오. (3점)
1. 지구로부터 AGN까지의 거리가 100 메가파섹일 때, 블랙홀과 BLR 사이의 각거리 [math(\theta_{BLR})](단위: 각초)를 구하시오. (2점)
BLR을 이루는 가스의 속도분산 [math(v_\sigma)]을 안다면 비리얼 정리를 사용해 계 전체의 질량을 추산할 수 있다. 강착원반과 BLR의 질량이 블랙홀의 질량에 비해 매우 작다고 가정하고, 파장의 분산이 [math(\sigma=FWHM/2.35)]로 주어진다고 가정하자. (여기에서 FWHM은 [math(H_\beta)] 방출선의 반치전폭을 의미한다.)
1.#4 이 그래프는 [math(H_\beta)] 방출선의 세기를 파장에 따라 나누어 나타낸 것이다. 이 그래프를 참고하여 속도분산 [math(v_\sigma)](단위: km/s)을 구하시오. (5점)
1. 중심 블랙홀의 비리얼 질량[2] [math(M_{vir,BH})](단위: 태양 질량 [math(M_S)])을 구하시오. (4점)
[math(H_\beta)] 방출선 선속의 변화는 자외선 방출량의 변화를 시간 차를 두고 따라간다고 가정할 수 있다. 이 시간 차는 블랙홀과 BLR 사이의 거리 [math(R_{BLR})]과 비례할 것이다. 강착원반의 크기가 [math(R_{BLR})]에 비해 매우 작다고 가정할 때, 다음 물음에 답하시오.
1. 이 그래프는 시간(단위: JD-2400000)에 따른 블랙홀의 B 필터 밝기와 [math(H_\beta)] 방출선의 밝기 변화를 나타낸 것이다. 블랙홀의 B 필터 밝기 변화와 [math(H_\beta)] 방출선 변화 사이의 시간 차(단위: 일)를 구하시오. (1점)
1. [math(H_\beta)](단위: 파섹)를 구하시오. (3점)
1. 지구로부터 AGN까지의 거리가 100 메가파섹일 때, 블랙홀과 BLR 사이의 각거리 [math(\theta_{BLR})](단위: 각초)를 구하시오. (2점)
BLR을 이루는 가스의 속도분산 [math(v_\sigma)]을 안다면 비리얼 정리를 사용해 계 전체의 질량을 추산할 수 있다. 강착원반과 BLR의 질량이 블랙홀의 질량에 비해 매우 작다고 가정하고, 파장의 분산이 [math(\sigma=FWHM/2.35)]로 주어진다고 가정하자. (여기에서 FWHM은 [math(H_\beta)] 방출선의 반치전폭을 의미한다.)
1.#4 이 그래프는 [math(H_\beta)] 방출선의 세기를 파장에 따라 나누어 나타낸 것이다. 이 그래프를 참고하여 속도분산 [math(v_\sigma)](단위: km/s)을 구하시오. (5점)
1. 중심 블랙홀의 비리얼 질량[2] [math(M_{vir,BH})](단위: 태양 질량 [math(M_S)])을 구하시오. (4점)
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