등속 원운동

고전역학 Classical Mechanics
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1. 개요2. 분석3. 비등속 원운동4. 활용5. 관련 문서

1. 개요

uniform circular motion

등속 원운동이란 어떤 물체가 한 점을 중심으로 일정한 속력을 갖고 회전하는 원운동이다. 대표적인 등속 원운동의 예에는 관람차, 통돌이 탈수기 속 빨래감, 자이언트 스윙 등이 있다.

하지만 이름에 '등속'이 들어있지만 등속도 운동이 아닌 속력이 일정함만 뜻하기 때문에 가속도 운동이다. 속력은 변함이 없지만 방향은 항상 바뀌고, 속도는 방향을 포함하는 벡터이기 때문이다. 자세한 설명은 속도 문서를 참고한다.

2. 분석

어떠한 축 [math(\bf\hat n)]을 주위로 [math(\rho)]의 궤도 반지름을 가지고, 등속 원운동하는 물체를 고려해보자. 각속도에서 논의했듯, 이러한 운동에서 각속도 벡터는 다음과 같이 주어진다.

[math(\bm{\omega}=\dot\theta{\bf\hat n})]

이때, [math(\theta)]는 축을 주위로 돈 각의 크기이며, [math(underline{bmomega} = bmomega/{rm rad})], 즉 단위가 [math(\rm rad/s)]인 각속도에서 [math(rm rad)] 단위를 약분한([math(\rm s^{-1})]를 단위로 갖는) 물리량을 의미한다. 또한 선속도, 즉 궤도를 움직이는 속도는

[math({\bf v} = \bm{\underline\omega\times\bf r})]

이므로 위 그림을 참고할 때 [math(v=\rho\underline\omega)]이고, 방향은 궤도의 접선 방향이 된다.

원운동은 주기 운동이기 때문에 주기를 갖는다. 한 주기([math(2\pi\rm\,rad)])에 원 궤도를 한 바퀴 도는 것이므로

[math(T=\dfrac{2\pi\rm\,rad}\omega = \dfrac{2\pi}{\underline\omega})]

이 된다. 진동수 [math(f)]는 [math(f=1/T)]이다.

이제 원운동할 때의 가속도에 대해 논의해보자. 등속 원운동은 궤도를 도는 속력 [math(v)]가 일정하므로 각속도 [math(\omega)]는 시간에 의존하지 않아야 한다. 이때 가속도는 속도를 미분함으로써

[math(\begin{aligned} {\bf a} &= \frac{{\rm d}\bf v}{{\rm d}t} \\ &= \frac{\rm d}{{\rm d}t}(\bm{\underline\omega\times\bf r}) \\ &= \bm{\underline\omega}\bm\times\frac{{\rm d}\bf r}{{\rm d}t} \\ &= \bm{\underline\omega\times\bf v} \\ &= \underline{\bm\omega}\bm\times(\bm{\underline\omega\times\bf r})\end{aligned})]

이고, 벡터 삼중곱을 다음과 같이 풀어쓰면

[math(\begin{aligned} {\bf a} &= (\bm{{\bf r}\cdot\underline\omega})\underline{\bm\omega} - \|\underline{\bm\omega}\|^2{\bf r} \\ &= \underline\omega^2[({\bf r\bm\cdot\hat n}){\bf\hat n} - {\bf r}] \\ &= -\underline\omega^2\bm\rho \end{aligned})]

마지막 결과는 아래의 그림을 참고하라.

이때, 나온 가속도를 구심 가속도(centripetal acceleration)이라 하며, 이는 원 궤도를 유지하기 위해 작용하는 구심력(centripetal force)에 대한 가속도이다. 방향은 원 궤도 반지름 방향에서 중심을 향하는 방향이다. 이 구심력은 이동 방향에 대해 수직이므로 하는 일이 없다. 따라서 물체의 이동 방향을 따라 다른 힘이 작용하지 않는다면, 등속 원운동에서 역학적 에너지는 보존된다. 이상에서 질량 [math(m)]에 작용하는 구심력은

[math({\bf F} = -m\underline\omega^2\bm\rho)]

이고, 그 크기는 [math(F = m\rho\underline\omega^2)]이고, [math(v=\rho\underline\omega)], [math(T={2\pi}/{\underline\omega})]를 이용하면 아래와 같이 쓸 수 있다.

[math(F = \dfrac{mv^2}\rho = \dfrac{4\pi^2m\rho}{T^2})]

3. 비등속 원운동

어떠한 상황에서는 [math(\dot\omega \ne 0{\rm\,rad/s^2})]일 수도 있다. 이러한 상황은 우리가 줄에 매달린 물체를 점점 빨리 회전시키거나 물체가 중력 연직 방향으로 원운동하는 경우에 발생한다. 이러한 상황에서

[math(\begin{aligned} \bf a &= \frac{{\rm d}\bf v}{{\rm d}t} \\ &= \frac{\rm d}{{\rm d}t}(\bm{\underline\omega\times\bf r}) \\ &= \frac{{\rm d}\underline{\bm\omega}}{{\rm d}t}\bm\times{\bf r} + \bm\omega\bm\times\bf v \\ &= \dot{\underline{\bm\omega}}\bm\times{\bf r}-\underline\omega^2\bm\rho \end{aligned})]

으로 쓸 수 있다. 그런데, 원운동에서 [math(\bm\omega)]는 [math(\bf\hat n)]의 평행한 방향으로만 변할 수 있으므로

[math({\bf a} = \dot{\underline\omega}{\bf\hat n}\bm\times{\bf r} - \underline\omega^2\bm\rho)]

따라서 다음과 같이 쓸 수 있다.

[math({\bf a} = \dot{\underline\omega}\rho{\bf\hat v} - \underline\omega^2\bm\rho)]

여기서 [math(\dot{\underline\omega})]는 단위가 [math(\rm rad/s^2)]인 각가속도의 크기를 [math(\rm rad)]으로 나눈 물리량(즉, 단위가 [math(\rm s^{-2})])이고, 거기에 궤도 반지름을 곱하는 것이므로 결국 [math(\dot{\underline\omega}\rho)]는 선가속도가 된다.

[math(\begin{aligned} {\bf a} &= a_{\sf tan}{\bf\hat v} + a_{\sf cen}\bm{\hat\rho} \\ &= {\bf a}_{\sf tan} + {\bf a}_{\sf cen} \end{aligned})]

즉, 비등속 원운동에서는 접선 방향의 가속도 성분과 구심력 성분이 같이 존재한다. [math(a_{\sf cen}=-\rho\underline\omega^2)]으로 구심 가속도의 성분이다. 접선 성분 가속도는 원운동의 속력을 증감시키는 역할을 하게 된다. 아래의 그림을 참고하라.

4. 활용

물론 완벽한 원운동은 세상에 존재하지 않지만, 그렇다고 활용이 없다는 건 어불성설. 물리학은 자연현상을 설명하는 학문이지, 수학처럼 일일이 계산해나갈 필요가 없다. 행성과 위성의 궤도도 필요한 정확도에 따라 얼마든지 원운동으로 근사하여 기술할 수 있으며 실제로 태양계의 행성들은 원에 매우 가까운 타원 궤도이다.[1] 등속 원운동 이론은 비관성 좌표계 회전 이론의 기본이 된다. 또 입자가속기도 전하가 균일한 자기장 내에서 등속 원운동을 한다는 사실을 응용해 만들어진다.

5. 관련 문서

등속직선운동

[1] 그리고 굳이 따지자면 완벽한 타원 궤도도 존재하지 않는다. 행성들끼리의 중력도 궤도에 영향을 미치기 때문이다. 거기다가 수성의 궤도는 일반 상대론을 고려하지 않으면 완벽하게 설명되지 않는다. 결국 어느 정도로 근사할지의 문제기 때문에 등속 원운동이 전혀 쓸모없다는 것은 말도 안 되는 일.