1. 수학, 물리학
自由度 / degrees of freedom
수학, 물리학, 공학, 통계학 등의 분야에서 정의되는 개념이다.
물리학, 화학에서 자유도는 어떤 물체의 운동을 설명하기 위해 필요한 변수의 개수로 정의된다.
우주 공간에 아무렇게나 떠다니는 돌덩어리는 6의 자유도를 갖는다. 우선 위(+z)-아래(-z), 앞(+x)-뒤(-x), 왼쪽(+y)-오른쪽(-y)의 세 방향(x,y,z축)으로 움직일 수 있기 때문에 3의 이동 자유도를 갖는다. 또한 팽이처럼 옆으로 돌 수도 있고, 바퀴처럼 앞으로 돌 수도 있고, 풍차 날개처럼 측면으로 돌 수도 있으므로 3의 회전 자유도를 추가로 갖는다. 다시 말해 3차원 공간에서 제약 없이 떠 있는 물체의 운동을 설명하려면 적어도 6개의 변수가 필요하다.
같은 원리로 평평한 냉장고 문에 붙여놓은 자석은 3의 자유도를 갖는다. 자석을 냉장고 문에서 떼지 않는다고 하면 자석은 두 방향으로 움직일 수 있고 한 방향으로 회전할 수 있다. 즉, 차원이 2차원으로 줄어들면 자유도는 3으로 떨어진다.
물론 제약 조건에 따라서 자유도는 더 줄어들 수도 있다. 예컨대 주판알은 한 방향으로 이동하고 한 방향으로 회전할 수 있으므로 자유도가 2이다.
분자의 운동을 설명할 때도 사용한다.
앞서 설명한 자유도 중에서 직선 운동 3축은 X, Y, Z축 순서로 서지(Surge), 스웨이(Sway), 히브(Heave)라고 하고, 회전 운동 3축은 X, Y, Z축 순서로 롤(Roll), 피치(Pitch), 요우(Yaw)라고 한다.# 특히 회전 운동 3축은 항공기의 기본 3축이라고 부른다. 이 6축은 보통 6DoF라고 부르며, 항해, 항공, 전자 등의 분야에서 기본 개념이 된다.[1] 한편 카메라나 가구 등에서 X축 회전은 롤링(rolling), Y축 회전은 틸팅(tilting), Z축 회전은 패닝(panning)이라고 한다. 모니터 등에서는 피벗(Pivot), 틸트(Tilt), 스위블(Swivel) 등의 용어로 표현한다.
이상 기체의 자유도 [math(f)]는 단원자 분자는 3, 이원자 분자는 5, 삼원자 이상 다원자 분자는 6의 자유도를 갖는다. 또한 비열비 [math(\gamma)]와의 관계는 [math(\gamma=c_{P}/c_{V} = (f+2)/f 이다.)]
2. 공학
2.1. 기계공학
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기계공학에서도 기본적인 정의는 같지만, 분석의 대상으로 삼는 제품이 여러 부속의 결합으로 이루어지는 만큼 각 부속들이 서로 결합되는 방식에 따라 자유도가 제약되기도, 또 부품 개수에 따라 무한정 늘어나기도 한다.
단순한 형태의 책상용 스탠드를 하나 생각해 보자. 스탠드의 몸체 부분은 책상에 단단히 고정되어 있고, 몸체와 연결된 스탠드 목이 위아래로 까딱까딱 움직일 수 있으며, 스탠드 목 끝에 붙어있는 머리가 위아래나 왼쪽,오른쪽으로 자유롭게 꺾일 수 있다면, 이 스탠드의 자유도는 3이 된다. 즉 어떤 순간에 이 스탠드가 어떤 모양으로 서 있는지를 설명하려면 변수가 3개 필요하다.
스탠드의 자유도가 계산되는 방식을 좀 더 풀어서 보면 이렇다. 일단 스탠드 몸체는 단단히 고정돼서 움직일 수 없으므로 자유도가 0이다. 스탠드 목은 몸체에 대해 1의 자유도를 가지며, 스탠드 머리는 목에 대해 2의 자유도를 갖는다. 스탠드 전체의 자유도는 0 + 1 + 2 = 3.
만약 스탠드 목 중간에 관절이 하나 더 있다면 자유도는 4가 될 것이다. 관절들이 전부 한 방향이 아니라 360도로 돌아갈 수 있도록 결합돼 있다면 자유도는 6이 될 것이다. 여기에 만약 스탠드 몸체 자체도 고정된 게 아니라 직선 모양의 틀에 매달려서 한 방향으로 쭉 밀거나 끌어당길 수 있게 되어 있다면? 자유도는 7이 된다.
헷갈리지 말아야 할 것은, 3차원 공간 속에서 독립된 물체 하나를 해석할 때는 자유도가 6을 넘을 수 없지만, 여러 물체가 결합돼서 움직일 때는 부속 물체의 개수와 결합 방식에 따라 자유도가 무제한으로 커질 수 있다는 것이다.
2.2. 화학공학
화학공학에서의 자유도는 F로 나타내며 [math(F= C-P+2)]로 구한다. 이때 C는 성분의 수(Component), P는 상(Phase)의 수를 나타내고 2는 두 변수인 온도와 압력을 가리킨다. [math(C=f-e-i)]에서 f는 화학 성분의 개수, e는 평형반응식의 개수, i는 초기조건 또는 특별조건이다. 상(Phase)은 구별 가능하면 별개로(Heterogeneous), 균일(Homogeneous)하면 하나로 간주한다. 따라서, 고체나 액체는 통틀어 하나의 상을 갖는 게 아니라 고체 a, 고체b 등이 모두 각각의 상을 갖는다. 기체는 하나의 상으로 간주한다. 자유도 F의 값은 해당 과정에서 상의 개수를 일정하게 유지시키며 값을 바꿀 수 있는 변수의 수가 된다.물질수지식을 세울 때 사용하는 자유도는 Nd로 나타내며 [math(N_d=N_v-N_e)]로 구한다. Nv는 변수의 수, Ne는 독립적인 식의 수이다. Nv에는 온도, 압력, 유량, 비엔탈피, recycle ratio 등이 포함된다. 독립적인 식에는 각 성분에 대한 물질수지식, 각 시스템의 boundary에 대한 에너지수지식, 상평형식, 화학평형식 등이 포함된다. Nd=0이면 미지수의 수와 독립적인 식의 수가 같아 모든 미지수의 값을 결정할 수 있다. Nd가 1 이상이면 Nd의 개수만큼 변수를 임의로 설정하여 식을 세워야 나머지 변수의 값을 구할 수 있다.
3. 통계학
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통계학에서도 자유도(기호 [math(\alpha)]알파)란 개념을 많이 쓰며, 통계학에서는 변인의 수 빼기 제약이 된다. 자유도를 이용하여 통계계산을 하는 것 자체는 어렵지 않으나 그 개념 자체는 굉장히 모호하고 이해하기 힘들다. 간단한 예로 개념만 제시하자면, 숫자 5개의 평균이 3으로 정해져 있다고 할 때, 숫자 4개는 자유롭게 정할 수 있으나 마지막 하나의 숫자는 나머지 네 개의 숫자에 의해 결정된다. 1, 2, 3, 4를 골랐다면 마지막 숫자는 자동으로 5가 되고, 2,4,6,8을 골랐다면 마지막 숫자는 자동으로 -5가 된다. 즉, 자유롭게 결정할 수 있는 숫자가 4개이며 이로서 자유도가 4가 된다. 한 교수는 수업 중 학부생들의 이해를 돕기 위해 토핑이 여러가지로 되어있는 피자를 5명이서 나눠먹는 상황으로 설명하였다. 칠판에 5개의 조각으로 되어있는 피자를 그리고 각각의 조각에 고구마, 불고기, 포테이토, 페퍼로니, 치즈가 있다고 가정한 뒤, 앞자리에 앉아있는 5명의 학생에게 순서대로 먹고싶은 것을 고르라고 했다. 당연히 다채로운 토핑이 있는 4개의 피자들이 먼저 선택되었고, 마지막에 앉아있는 학생은 얄짤없이 치즈 피자 당첨(...). 즉 4명의 학생은 자유롭게 피자를 선택할 수 있고, 이에 따라 남은 한 명은 본인의 의지와 관계없이 맛없는 피자를 먹게 됐으므로 자유도가 4라는 설명이다.
물론 이 설명은 굉장히 축약되고 간략화된 설명이며 왜 자유도를 이용한 계산방법이 나오는지는 더욱 심화된 공부가 필요하다.
이런 부분들에 대해 무작정 외우게 시키는 통계 커리큘럼이 사회과학 분야에서 종종 발견되는데, 더 나은 교수법을 찾을 필요가 있다. 그렇다고 대학원 레벨에서 모든 사회과학도에게 선형대수학을 의무적으로 수강시킬 이유도 없다. 경제학 전공이 아닌 이상에야 대학원 공부가 산더미인데 자유도 하나 제대로 이해하겠다며 선형대수학 책을 연간 수십 시간씩 붙잡을 필요가 전혀 없다. 그것은 개인의 지적인 여가생활이며 학문적으로 보자면 선형대수학을 공부할 시간에 그 학문을 하나라도 더 탐구하는 게 더 이익일 때는 오히려 학문공동체에겐 손해다. 사회과학도들은 수학도들이 모르는 것을 잘 하기 위해서 시간을 더 투자해야 하며, 그러라고 우리 사회가 사회과학계에 연구비를 쏟아붓고 있다. 사회과학에서 자유도는 학문의 대상이 아니라 학문의 수단에 불과하다.
어떤 설명에 따르면 자유도는 정확히 말하면 "추정해야 할 미지수의 개수를 내가 가진 정보의 수에서 뺀 값" 이라고 한다.[2] 그렇다면 추론통계학에서 표준편차나 분산을 구할 때 자유도가 n-1인 이유는, 내가 가진 정보의 수는 n이고 내가 추정해야 할 미지수는 모집단 평균 1개가 되므로 n-1이 된다는 얘기. 따라서 표본분산 계산시 n-1로 나누는 것은 반드시 기억하자.
ANOVA(분산분석)처럼 다수의 집단들을 고려할 때에는 집단이 많을수록 추정해야 할 미지수도 많아지기에 집단 개수가 j개일 때 자유도가 n-j가 된다. 단순회귀분석에서의 회귀계수 검정을 위한 t-검정의 경우 (spss를 이용한 t-검정), 추정해야 할 미지수는 절편, 기울기의 2개라고 할 수 있다. 결국 우리가 확보한 관측치 n개 중에 선형방정식의 해를 구해보면 관측치의 갯수에서 우리가 찾고자 하는 대상(주로 모수)의 갯수를 뺀 갯수의 벡터들의 선형결합으로 나타낼 수 있어서 자유도가 n-j라고 쓰는 거다. 회귀분석은 꼴의 솔루션들 중 가장 그럴 싸한 해를 뽑는 과정이고.
카이-제곱 분포, 분산 분석, 회귀 분석 문서 참조.
관련 영상: #, 수식없이 설명하는 자유도