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은(는) 여기로 연결됩니다. 1. 개요
擺線[1] / cycloid사이클로이드 또는 파선은 원을 직선 위에서 굴렸을 때, 원 위의 한 정점이 그리는 자취를 말한다. '굴렁쇠선'이라고도 한다.
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| 사이클로이드의 정의를 잘 나타내는 그림 |
2. 방정식
위 그림과 같이 중심이 [math(\mathrm{C})]이고, 반지름 [math(r)]인 원이 [math(x)]축과 접하면서 굴러간다고 생각해보자. 원 위의 점 [math(\mathrm{P})]가 초기엔 원점에 있었다 가정하고, 원의 중심을 회전축으로 하여 [math(\theta)]만큼 회전하여 위 그림처럼 된 경우라고 생각해보자.
우선, 점 [math(\mathrm{H})]는 점 [math(\mathrm{P})]에서 [math(x)]축에 내린 수선의 발, 점 [math(\mathrm{I})]는 점 [math(\mathrm{C})]에서 [math(x)]축에 내린 수선의 발, 점 [math(\mathrm{K})]는 점 [math(\mathrm{P})]에서 선분 [math(\mathrm{CI})]에 내린 수선의 발이다.
점 [math(\mathrm{P})]의 [math(y)]좌표는 다음과 같다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} y=\overline{\mathrm{CI}}-\overline{\mathrm{CK}}&=r(1-\cos{\theta}) \end{aligned} )]
[math(x)]좌표는 조금 구하기 까다로운데, [math(\overline{\mathrm{OI}})]가 [math(\theta)]만큼 회전하면서 원호가 휩쓸고 간 길이임을 이해해야 한다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} x=\overline{\mathrm{OI}}-\overline{\mathrm{HI}}&=r(\theta-\sin{\theta}) \end{aligned} )]
따라서 사이클로이드의 [math(\theta)]의 매개변수 방정식은 다음과 같다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} x&=r(\theta-\sin{\theta}) \\ y&=r(1-\cos{\theta}) \qquad (0 \leq \theta \leq 2 \pi) \end{aligned} )]
참고로, 매개변수 방정식에서 [math(\theta)]를 소거하면 아래와 같은 복잡한 방정식을 얻는다.
[math(\displaystyle \left | 2 \pi \left [ \left ( \frac{1}{2} - \frac{x}{2 \pi r} \right ) - 1 \right ] + \frac{x}{r} \right | = \arccos{\left (1 - \frac{y}{r} \right )} - \sqrt{\frac{2y}{r} - \frac{y^2}{r^2}})]
이를 [math(xy)]평면상 닫힌 구간 [math([0,\,4\pi r])]에서 그래프로 나타내면 아래와 같다.
사이클로이드는 [math(x= 2 \pi r)]를 기준으로 주기적이다. 이것은
[math(\begin{aligned}\displaystyle x(\theta+2 n \pi)&=x(\theta)+2 n \pi r \\ y(\theta)&=y(\theta + 2n\pi)\end{aligned})]
가 성립하기 때문이다. [math(n)]은 정수이다.
2.1. 접선의 방정식
#!wiki style="text-align: center;"[math(\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{dy}{d \theta}}{\displaystyle \frac{dx}{d \theta}}=\frac{\sin{\theta}}{1-\cos{\theta}} =\cot{\frac{\theta}{2}} )] }}}
먼저 접선의 기울기는 위와 같이 매개변수 방정식의 미분법으로 구할 수 있다. 한편 접선은 점
[math((r(\theta-\sin{\theta}),\;r(1-\cos{\theta})))]
를 지나므로 접선의 방정식은 다음과 같다.
[math(\displaystyle y= \cot{\frac{\theta}{2}}[x-r(\theta-\sin{\theta}) ]+r(1-\cos{\theta}) )]
2.2. 곡선의 길이
한 주기([math(0 \leq \theta \leq 2 \pi)])의 곡선의 길이는 다음의 적분으로 구할 수 있다.[math(\displaystyle \int_{0}^{2 \pi} \sqrt{\left( \frac{dx}{d \theta} \right)^{2}+\left( \frac{dy}{d \theta} \right)^{2}}\,d \theta)]
이때,
[math(\displaystyle \frac{dx}{d \theta}=r (1-\cos \theta) \qquad \qquad \frac{dy}{d \theta}=r\sin{\theta})]
이므로
[math(\begin{aligned}\displaystyle\sqrt{\left( \frac{dx}{d \theta} \right)^{2}+\left( \frac{dy}{d \theta} \right)^{2}} &=r \sqrt{(1-\cos{\theta})^{2}+\sin^{2}{\theta}} \\&=r \sqrt{2-2\cos{\theta}} \\&=2r \sqrt{\sin^{2}{\frac{\theta}{2} } } \\&=2r \sin{\frac{\theta}{2}} \end{aligned})]
근호를 벗길 수 있는 이유는 한 주기([math(0 \leq \theta \leq 2 \pi)])의 곡선의 길이를 구하고 있기 때문이다. 이상에서 구하는 곡선의 길이는 다음과 같다.
[math(\displaystyle 2r \int_{0}^{2\pi} \sin{\frac{\theta}{2}}\,d \theta=8r)]
2.3. 넓이
한 주기의 사이클로이드 곡선과 [math(x)]축이 둘러싸는 넓이를 구해보자. 미소 면적은 [math(y)]와 [math(x)]축상의 미소 길이 [math(dx)]의 곱인[math(\displaystyle dA=y\,dx)]
로 놓을 수 있다.
[math(\displaystyle dx=r(1-\cos{\theta})\,d \theta)]
이고 적분 구간은 [math(0 \leq \theta \leq 2 \pi)]이므로 넓이는 다음과 같다.
[math(\displaystyle A=r^{2}\int_{0}^{2\pi}(1-\cos{\theta})^{2} \,d \theta=3 \pi r^{2})]
3. 사이클로이드의 변형
3.1. 하이포사이클로이드
하이포사이클로이드(hypocycloid)는 사이클로이드의 변형의 한 종류로서, 사이클로이드가 직선상에서 굴린 원 위의 한 점의 자취를 나타낸다면, 하이포사이클로이드는 어떤 원에 내접하면서 원호상에서 굴러가는 더 작은 원 위의 한 점의 자취이다. 아래의 그림이 이 설명을 잘 나타내고 있다.| |
| 하이포사이클로이드의 정의를 잘 나타내는 그림 |
3.1.1. 방정식
위 그림과 같이 큰 원의 반지름을 [math(R)], 작은 원의 반지름을 [math(r)]라 하자. 편의상 점 [math(\mathrm{P})]는 큰 원과 양의 [math(x)]에 대하여, [math(x)]축과 교점인 곳에 있었다고 하자.(위의 정의 그림 참고.) 선분 [math(\mathrm{QK})]는 [math(x)]축과 평행하며, 작은 원의 중심을 [math(\mathrm{Q})]라 하면, [math(\overline{\mathrm{OQ}}=\overline{\mathrm{OL}}-\overline{\mathrm{QL}}=R-r)]이므로
[math(\displaystyle \begin{aligned} \overline{\mathrm{OI}}&=(R-r)\cos{\theta} \\ \overline{\mathrm{IQ}}&=(R-r)\sin{\theta} \end{aligned})]
이다. [math(\angle \mathrm{KQP} \equiv \varphi )]라 하면, [math(\mathrm{P})]의 [math(x)]좌표와 [math(y)]좌표는 각각 [math(\overline{\mathrm{OH}})], [math(\overline{\mathrm{HP}})]이므로
[math(\displaystyle \begin{aligned} x&=\overline{\mathrm{OI}}+\overline{\mathrm{JP}} \\ y&=\overline{\mathrm{IQ}}-\overline{\mathrm{QJ}} \end{aligned})]
이다. [math(\mathrm{H})], [math(\mathrm{I})]는 각각 [math(\mathrm{P})], [math(\mathrm{Q})]에서 [math(x)]축에 내린 수선의 발이고, [math(\mathrm{J})]는 점 [math(\mathrm{P})]에서 선분 [math(\mathrm{IQ})]에 내린 수선의 발이다. 따라서 [math(P)]의 좌표는 다음과 같다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} x&=(R-r)\cos{\theta}+r\cos{\varphi} \\ y&=(R-r)\sin{\theta}-r\sin{\varphi} \end{aligned})]
그런데 위 상태에서 작은 원이 큰 원을 휩쓸고 간 호의 길이는
[math(\displaystyle r(\theta+\varphi))]
이고, 이것은 곧 [math(R \theta)]와 같아야 하므로
[math(\displaystyle R \theta=r(\theta+\varphi) \,\to\, \varphi=\frac{R-r}{r}\theta)]
이다. 즉, 하이포사이클로이드의 [math(\theta)]에 대한 매개변수 방정식은
[math(\displaystyle \begin{aligned} x&=(R-r)\cos{\theta}+r\cos{\left( \frac{R-r}{r}\theta \right)} \\ y&=(R-r)\sin{\theta}-r\sin{\left( \frac{R-r}{r}\theta \right)} \end{aligned})]
[math(R/r \equiv k)]라 하면,
[math(\displaystyle \begin{aligned} x&=r(k-1)\cos{\theta}+r\cos{[(k-1)\theta]} \\ y&=r(k-1)\sin{\theta}-r\sin{[(k-1)\theta]} \end{aligned})]
하이포사이클로이드의 모양은 [math(k)]의 값[2]에 따라 결정된다. 다음은 몇몇 경우에 대한 하이포사이클로이드를 나타낸 것이다. [math(k=4)]인 경우, 즉 첨점(尖點)이 4개인 경우는 특히 아스트로이드(astroid)라는 명칭이 붙어 있으며, 다음과 같이 표현된다.
[math(\begin{cases}x=R\cos^3 t\\y=R\sin^3 t\end{cases})]
[3]
3.2. 에피사이클로이드
에피사이클로이드(epicycloid)는 사이클로이드의 변형의 한 종류로서, 사이클로이드가 직선상에서 굴린 원의 한 점의 자취를 나타낸다면, 에피사이클로이드는 어떤 원이 다른 원에 외접하면서 그 원의 원호상에서 굴러가는 원 위의 한 점의 자취이다. 아래의 그림이 이 설명을 잘 나타내고 있다.| |
| 에피사이클로이드의 정의를 잘 나타내는 그림 |
3.2.1. 방정식
위 그림과 같이 반지름 [math(R)]의 원과, 그 원에 외접하는 반지름 [math(r)]의 원을 고려하자. 편의상 점 [math(\mathrm{P})]는 반지름 [math(R)]의 원과 양의 [math(x)]에 대하여, [math(x)]축과 교점인 곳에 있었다고 하자.(위의 정의 그림 참고.) 선분 [math(\mathrm{QK})]는 [math(x)]축과 평행하며, 작은 원의 중심을 [math(\mathrm{Q})]라 하면, [math(\overline{\mathrm{OQ}}=\overline{\mathrm{OL}}+\overline{\mathrm{LQ}}=R+r)]이므로
[math(\displaystyle \begin{aligned} \overline{\mathrm{OI}}&=(R+r)\cos{\theta} \\ \overline{\mathrm{IQ}}&=(R+r)\sin{\theta} \end{aligned})]
이다. [math(\angle \mathrm{KQP} \equiv \varphi )]라 하면, [math(\mathrm{P})]의 [math(x)]좌표와 [math(y)]좌표는 각각 [math(\overline{\mathrm{OH}})], [math(\overline{\mathrm{HP}})]이므로
[math(\displaystyle \begin{aligned} x&=\overline{\mathrm{OI}}+\overline{\mathrm{JP}} \\ y&=\overline{\mathrm{IQ}}-\overline{\mathrm{QJ}} \end{aligned})]
이다. [math(\mathrm{H})], [math(\mathrm{I})]는 각각 [math(\mathrm{P})], [math(\mathrm{Q})]에서 [math(x)]축에 내린 수선의 발이고, [math(\mathrm{J})]는 점 [math(\mathrm{P})]에서 선분 [math(\mathrm{IQ})]에 내린 수선의 발이다. 따라서 [math(P)]의 좌표는
[math(\displaystyle \begin{aligned} x&=(R+r)\cos{\theta}+r\cos{\varphi} \\ y&=(R+r)\sin{\theta}-r\sin{\varphi} \end{aligned})]
이다. 그런데 위 상태에서 반지름이 [math(r)]인 원은 반지름이 [math(R)]인 원의 원호를 휩쓸고 가는 길이는
[math(\displaystyle r[\pi-(\theta+\varphi) ])]
이고, 이것은 곧 [math(R \theta)]와 같아야 하므로
[math(\displaystyle R \theta=r[\pi-(\theta+\varphi) ] \,\to\, \varphi=\pi-\frac{R+r}{r}\theta)]
이다. 즉, 에피사이클로이드의 [math(\theta)]에 대한 매개변수 방정식은
[math(\displaystyle \begin{aligned} x&=(R+r)\cos{\theta}-r\cos{\left( \frac{R+r}{r}\theta \right)} \\ y&=(R+r)\sin{\theta}-r\sin{\left( \frac{R+r}{r}\theta \right)} \end{aligned})]
[math(R/r \equiv k)]라 하면,
[math(\displaystyle \begin{aligned} x&=r(k+1)\cos{\theta}-r\cos{[(k+1)\theta]} \\ y&=r(k+1)\sin{\theta}-r\sin{[(k+1)\theta]} \end{aligned})]
그래서 큰 원의 반지름이 작은 원의 반지름의 [math(k)]배일 때, 작은 원은 [math(k)]바퀴가 아니라 [math(k+1)]바퀴 도는 것이다.
에피사이클로이드의 모양은 [math(k)]의 값[4]에 따라 결정된다. 다음은 몇몇 경우에 대한 에피사이클로이드를 나타낸 것이다.
[math(k=1)]일 때는 카디오이드(cardioid)라고 하는 아래와 같은 모양이 나오며, 심장형 곡선이라고도 한다.
4. 물리학적 문제
5. 관련 문서
[1] 파선. 한자어식 표현으로 擺는 여기서 진자를 뜻한다.[2] [math(k)]가 유리수라면, 닫힌 곡선이 되며, [math(k)]가 무리수라면 열린 곡선으로, 결국 [math(R-2r \leq \rho \leq R)]영역을 가득 메우게 된다. [math(\rho)]는 원점으로 부터 임의의 점까지의 거리이다.[3] 진나이 토모노리의 퀴즈쇼 타임쇼킹 2편 중 본 문제 제1번에서 [math(x)]축 방향으로 [math(a)]만큼, [math(y)]축 방향으로 [math(b)]만큼 늘린 아스트로이드의 곡선의 길이(단, [math(a \neq b)])를 구하라는 문제가 나왔다. 정답은 [math(\frac{a^2 + ab + b^2}{a + b})].[4] [math(k)]가 유리수이면 닫힌 곡선, [math(k)]가 무리수라면 열린 곡선이 되어 결국 [math(R \leq \rho \leq R+2r)]인 영역을 가득 메우게 된다. [math(\rho)]는 원점으로부터 임의의 점까지의 거리이다.