, 삼각형
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1. 개요
雙曲三角形 · hyperbolic triangle쌍곡면[1] 위에 그려진 삼각형을 말한다. 상대론적 역학에서 속도를 합성할 때 쌍곡삼각형의 코사인 법칙이 적용된다.
2. 성질
- 내각의 합은 [math(pi)]보다 작다.
- 위 성질 때문에 구면삼각형과는 달리 오목삼각형이 존재하지 않는다.
- 쌍곡삼각형의 세 내각을 [math(\alpha)], [math(\beta)], [math(\gamma)]라고 할 때, 그 넓이는 [math(\pi-\left(\alpha+\beta+\gamma\right))]다. (반지름이 1인 푸앵카레 원반 기준)
- 이상삼각형의 경우 각 변의 길이가 무한이며, 모든 내각의 크기가 [math(0)]이므로 그 넓이는 [math(\pi)]다. 즉 변의 길이는 무한한데 넓이는 유한하다.
- 각 변의 길이를 모두 더한 값의 절반보다 넓이가 항상 작다.
3. 종류
평면의 경우와 같이 쌍곡예각삼각형, 쌍곡직각삼각형, 쌍곡둔각삼각형, 쌍곡정삼각형 등이 존재한다. 그 밖에 쌍곡삼각형의 경우에만 존재하는 삼각형에는 이상삼각형 등이 있다.구면/쌍곡면에서는 삼각형의 크기가 달라지면 내각의 합도 달라지므로, 평면삼각형과 달리 합동은 있어도 닮음은 존재하지 않는다.
3.1. 이상삼각형
ideal triangle각 변이 이상점[2]에서 만나는 정삼각형.
다음과 같은 성질을 갖고 있다.
- 세 내각의 크기는 모두 0이다.
- 세 변의 길이는 모두 무한이다.
- 넓이는(반지름 1인 푸 앵카레 원반 기준) 항상 [math(\pi)]이다.
- 모든 이상삼각형은 쌍곡정삼각형이며, 서로 합동이다.
4. 공식
구면삼각형의 공식에서 일부 항이 쌍곡선 함수로 갈음된다.4.1. 쌍곡삼각형의 사인 법칙
[math( \dfrac{\sinh a}{\sin A}=\dfrac{\sinh b}{\sin B}=\dfrac{\sinh c}{\sin C} )]4.2. 쌍곡삼각형의 코사인 법칙
- 변에 대한 코사인 법칙
[math( \cosh c=\cosh a\cosh b+\sinh a\sinh b\cos C )]
- 각도에 대한 코사인 법칙
[math(\cos C=-\cos A\cos B+\sin A\sin B\cosh c )]
- 각도의 코사인 법칙과 변의 코사인 법칙을 합한 것
[math(\cosh c=\dfrac{\cosh a\cosh b-\sinh a\sinh b\cos A\cos B}{1-\sinh a\sinh b\sin A\sin B})]