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1. 개요
relativistic Doppler effect파원이나 관측자가 광속에 가까운 속도로 움직이는 상황에서 나타나는 도플러 효과. 주로 우주를 배경으로 빛의 도플러 효과를 다루므로 본 문서에서도 빛을 중심으로 서술한다. 빛은 매질이 없으며, 역학적 파동과는 달리 광원·관측자의 운동을 결정하는 뚜렷한 좌표계가 없다.[1]
2. 유도
관찰자는 [math(\mathcal{O'})]계에 있으며, 광원은 [math(\mathcal{O}')]계에 대하여 [math(+x')]방향으로 [math(v)]의 속력으로 움직있는 [math(\mathcal{O})]계에 있다. 광원과 관찰자의 거리가 충분히 멀다면 광원에서 방사된 빛은 평면파로 근사 가능하다. 유도를 이어가기 전 다음과 같은 4-벡터를 정의하자.[math(\displaystyle \begin{aligned} \mathbb{K} = \biggl(\frac{\omega}{c},\, \mathbf{k} \biggr) \end{aligned} )]
[math(\mathbf{k})]는 평면파의 파수 벡터이다. 이때,
[math(\displaystyle \begin{aligned} K_{i}x^{i}=\omega t -\mathbf{k} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{r} \end{aligned} )]
은 좌표계에 상관 없이 불변량이다. 즉
[math(\displaystyle \begin{aligned} \omega t -\mathbf{k} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{r}=\omega' t' -\mathbf{k'} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{r'} \end{aligned} )]
인 것이다.
[math(\mathcal{O'})]계에서 평면파의 물리량은 다음과 같은 로런츠 역변환을 통해 얻을 수 있다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{\omega '}{c}=\gamma \biggl( \frac{\omega}{c}+\boldsymbol{\beta} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{k'} \biggr) \end{aligned} )]
[math(\boldsymbol{\beta}=\mathbf{v}/c)]이고, [math(\gamma)]는 로런츠 인자이다. [math(\mathcal{O})]계에서 측정한 [math(\boldsymbol{\beta})]와 [math(\mathbf{k})]와의 각을 [math(\theta)]라 하면,
[math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{\omega '}{c}=\gamma \biggl( \frac{\omega}{c}+\beta k\cos{\theta} \biggr) \end{aligned} )]
[math(kc=\omega)], [math(2\pi f=\omega)]임을 이용하면 다음을 얻는다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} f'= \frac{1+\beta\cos{\theta}}{\sqrt{1-\beta^{2} }} f \quad \cdots \, \small{(\ast)} \end{aligned} )]
이제 이것을 [math(\mathcal{O}')]에서 측정된 각도 [math(\theta')]으로 쓰자. 참고로 일반적으로 [math(\theta \neq \theta')]을 만족하는데, 이를 광행차(aberration of light)라 한다. 이때,
[math(\displaystyle \begin{aligned} \tan{\theta}=\frac{k_{\bot}'}{k_{x}'}=\frac{k_{\bot}}{\gamma \biggl(k\cos{\theta}+\dfrac{\beta\omega}{c} \biggr)} \end{aligned} )]
[math(k_{\bot})]는 [math(\mathbf{k})]의 [math(k_{x})]와 수직한 방향의 성분이다. 따라서
[math(\displaystyle \begin{aligned} \tan{\theta'}=\frac{\sin{\theta} \sqrt{1-\beta^{2} }}{\cos{\theta}+\beta} \end{aligned} )]
이 식을 통해 조금 계산함으로써 다음을 얻는다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \cos{\theta}=\frac{\beta -\cos{\theta'}}{\beta \cos{\theta'}-1} \end{aligned} )]
이것을 [math(\small{(\ast)})]에 대입하면 다음을 얻는다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} f'= \frac{\sqrt{1-\beta^{2} }}{1-\beta\cos{\theta'}} f \end{aligned} )]
파장과 진동수의 관계 [math(\lambda f =c)]를 이용하면 다음을 얻는다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \lambda'= \frac{1-\beta\cos{\theta'}}{\sqrt{1-\beta^{2} }} \lambda \end{aligned})]
이 상대론적 도플러 효과는 관측자와 광원의 상대 운동만으로 결정되기 때문에 반대의 경우를 구해보아도 각 변수의 차이에 의한 부호 차이만 있을 뿐 동일하게 나온다.
아래는 파장이 [math(540\,{\rm nm})]인 빛(■)을 방사하는 광원이 각각 [math(0.25c)], [math(0.5c)], [math(0.8c)]로 관측자에 대하여 움직일 때, 각 위치에서 관측자가 관찰하는 빛의 색을 나타낸 것이다.
- [상대론적 전자기학을 사용해보기]
- -----
상대론적 도플러 효과를 상대론적 전자기학 문서의 결과를 빌려 증명해보자. 정지한 관성계 [math(\mathcal{O})]에 대하여 [math(+x)]방향, [math(v)]의 속력으로 움직이는 관성계 [math(\bar{\mathcal{O}})]에 [math(+\bar{x})]방향으로 진행하는 전자기파
[math(\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{\bar{E}}&=\mathbf{\hat{\bar{y} }}\bar{E}\cos{(\bar{k} \bar{x}-\bar{\omega} \bar{t})} \\ \mathbf{\bar{B}}&=\mathbf{\hat{\bar{z} }}\bar{B}\cos{(\bar{k} \bar{x}-\bar{\omega} \bar{t})} \end{aligned})]
를 고려하자. 다행히도 두 관성계의 상대 속도와 수직인 장만 존재하므로 그 변환은 아래와 같이 된다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{E}&=\mathbf{\hat{y}}\gamma (\bar{E}+v\bar{B}) \cos{(\bar{k} \bar{x}-\bar{\omega} \bar{t})} \\ \mathbf{B}&=\mathbf{\hat{z}}\gamma \biggl( \frac{v\bar{E}}{c^2}+\bar{B} \biggr) \cos{(\bar{k} \bar{x}-\bar{\omega} \bar{t})} \end{aligned})]
그런데, 패러데이 법칙을 [math(\bar{\mathcal{O}})]계에서 적용함으로써
[math(\displaystyle \begin{aligned} \bar{k}\bar{E}=\bar{\omega} \bar{B} \quad \to \quad \bar{E}=c\bar{B} \end{aligned})]
이를 이용하면
[math(\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{E}&=\mathbf{\hat{y}} \sqrt{\frac{1+\beta}{1-\beta}}\bar{E} \cos{(\bar{k} \bar{x}-\bar{\omega} \bar{t})} \\ \mathbf{B}&=\mathbf{\hat{z}}\sqrt{\frac{1+\beta}{1-\beta}}\bar{B} \cos{(\bar{k} \bar{x}-\bar{\omega} \bar{t})} \end{aligned})]
이제 시간과 위치를 [math(\mathcal{O})]계로 바꾼다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \bar{k} \bar{x}-\bar{\omega} \bar{t}&= \bar{k}[\gamma (x-\beta ct) ]-\bar{\omega}[\gamma (t-c^{-1}\beta x) ] \\ &=\gamma [ (1+\beta)\bar{k}x- (1+\beta)\bar{\omega}t ] \\&=\biggl[\sqrt{\frac{1+\beta}{1-\beta}} \bar{k} \biggr]x- \biggl[\sqrt{\frac{1+\beta}{1-\beta}} \bar{\omega} \biggr]t \end{aligned})]
이상의 결과에서 다음을 얻는다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} f =\sqrt{\frac{1+\beta}{1-\beta}} \bar{f} \end{aligned})]
이 상황은 광원이 관찰자를 기준으로 왼쪽으로 무한히 떨어져있으면서 다가오는 상황과 같으므로 위에서 구했던 것과 같은 결과를 얻는다.
재미있는 현상은 또 하나 있는데, 빛의 세기는 전기장 제곱에 비례하므로
[math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{I}{\bar{I}}=\frac{E^{2}}{\bar{E}^2}=\frac{1+\beta}{1-\beta} \end{aligned})]
[math(\beta \to 1)]일 경우 [math(I \to \infty)]가 된다.
또,
[math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{\omega}{k}=\frac{\bar{\omega}}{\bar{k}}=c \end{aligned})]
로 광속 불변의 법칙이 증명된다.
2.1. 수직 도플러 효과
| 광원이 관측자에게 가까워지는 경우 이 경우 [math(\theta=0)]이므로 [math(\displaystyle \begin{aligned} f'&=\frac{\sqrt{1-\beta^2} }{1-\beta}f \\ &=\sqrt{\frac{1+\beta}{1-\beta}} f\\&=\sqrt{\frac{c+v}{c-v}}f \end{aligned} )] |
| 광원이 관측자에게 멀어지는 경우 이 경우 [math(\theta=\pi)]이므로 [math(\displaystyle \begin{aligned} f'&=\frac{\sqrt{1-\beta^2} }{1+\beta}f \\ &=\sqrt{\frac{1-\beta}{1+\beta}}f \\&=\sqrt{\frac{c-v}{c+v}}f \end{aligned} )] |
2.2. 평행 도플러 효과
| 광원이 관측자를 스쳐 지나는 경우 이 경우 [math(\theta= \pi/2)]이므로 [math(\displaystyle \begin{aligned} f&=\sqrt{1-\beta^2} f_{0} \\ &=\frac{f_{0}}{\gamma}\end{aligned} )] |
3. 고전적 극한
[math(\beta \ll 1)]인 경우에 고전적인 물리 현상으로 돌아가는지 확인해보자.3.1. 도플러 효과
[math(\displaystyle \begin{aligned} f'&= \frac{\sqrt{1-\beta^{2} }}{1-\beta\cos{\theta'}} f \\ &\approx \frac{1}{1-\beta\cos{\theta'}} f &=\frac{c}{c-v\cos{\theta}} \\ &\approx 1+\beta \cos{\theta'} &=\frac{c+v\cos{\theta}}{c} \end{aligned} )]
으로, 결국 고전적인 도플러 효과 식으로 돌아가게 된다.
3.2. 광행차 현상
[math(\displaystyle \begin{aligned} \cos{\theta} & =\frac{\beta -\cos{\theta'}}{\beta \cos{\theta'}-1} \\ & \approx -(\beta-\cos{\theta'})(1+\beta\cos{\theta'}) \\ &\approx \cos{\theta'}-\beta\sin^{2}{\theta} \end{aligned} )]
이상에서
[math(\displaystyle \begin{aligned} \cos{\theta'} - \cos{\theta}= \beta\sin^{2}{\theta'} \end{aligned} )]
이때, 광행차 [math(\Delta = \theta-\theta' \ll 1 )][2]을 도입하자.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \cos{\theta'}-(\cos{\theta'}\cos{\Delta }-\sin{\theta'}\sin{\Delta})= \beta\sin^{2}{\theta'} \end{aligned} )]
[math(\cos{\Delta} \approx 1 )], [math(\sin{\Delta} \approx \tan{\Delta})]임을 이용하면
[math(\displaystyle \begin{aligned} \tan{\Delta}&=\beta\sin{\theta'} \\&=\frac{v}{c}\sin{\theta'} \end{aligned} )]
으로 고전적인 결과로 환원된다.
4. 적색편이와 청색편이
일반적으로 둘 사이가 가까워지면 청색편이, 멀어지면 적색편이가 나타난다. 이 현상을 이용하여 특정 천체가 태양계로 접근하는 속도(혹은 후퇴한 속도)를 계산할 수 있다.청색편이의 대표적인 예로 바너드 별가 있다. 적색편이는 멀리 떨어진 은하에서 많이 볼 수 있다. 청색편이를 보이는 은하는 안드로메다 은하가 거의 유일한데 허블 법칙을 안드로메다 은하에 적용시키면 거리가 마이너스가 나온다.
우리 은하의 막대 구조를 발견하는 데에 역시 청색편이와 적색편이가 이용 되었으며, 우리 은하 내부 구조 중 하나인 페르미 거품의 팽창 속도를 계산하는 데도 이용되었다.