1. 개요
escape velocity · 脫出 速度물체가 천체의 중력을 이겨내고 무한히 멀어질 수 있는 최소한의 속력을 말한다.[1]
2. 유도
우선 천체와 물체 사이의 중력 외에 다른 외력이 작용하지 않는다고 가정하자.천체는 대략적으로 구형의 밀도가 균일한 구형 물체라 가정해볼 수 있으므로 천체의 질량이 [math(M)]이고, 반지름이 [math(R)]라 한다면, 천체의 중심에서 [math(r)]만큼 떨어진 질량 [math(m)], 속력이 [math(v)]인 물체의 역학적 에너지 [math(E_{r})]는 천체의 중력에 의한 중력 퍼텐셜 에너지와 운동 에너지의 합으로 주어진다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} E_{r}=-\frac{GMm}{r}+\frac{1}{2}mv^{2} \end{aligned})]
[math(G)]는 중력 상수이다. 이 물체가 천체의 중력의 영향권에서 벗어나는 것은 천체로 부터 곧 무한히 멀어져 [math(r\to \infty)]일 때 일 것이다. 이 경우 중력 퍼텐셜 에너지는 0[2]이 되므로 이 때 역학적 에너지는
[math(\displaystyle \begin{aligned} E_{\infty}=0+T_{\infty} \end{aligned})]
[math(T_{\infty})]는 이 점에서 물체의 운동 에너지가 되며, 속력을 가지지 않을 경우 [math(T_{\infty}=0)]이다. 중력은 보존력이고, 이러한 힘의 장에서 외력을 받지 않는 물체의 역학적 에너지는 보존되므로
[math(\displaystyle \begin{aligned} -\frac{GMm}{r}+\frac{1}{2}mv^{2}=T_{\infty} \end{aligned})]
이상을 정리함으로써
[math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{1}{2}mv^{2}=\frac{GMm}{r}+T_{\infty} \end{aligned})]
우리의 목적은 이러한 조건을 만족시키는 속력 [math(v)]의 최솟값을 찾는 것이고, 퍼텐셜 에너지 항은 조정할 수 없는 것이 없으므로 결국 [math(T_{\infty}=0)]이 될 때,
[math(\displaystyle \begin{aligned} v=\sqrt{\frac{2GM}{r}} \end{aligned})]
따라서 이 속력을 탈출 속도[3]라 정의하고 그 기호를 [math(v_{\sf{esc}})]로 쓴다.
만약 행성의 표면에서 이를 생각한다면, 표면 중력 가속도의 크기는
[math(\displaystyle \begin{aligned} a=\frac{GM}{R^{2}} \end{aligned})]
행성 표면에 대한 탈출 속도를 생각한다면
[math(\displaystyle \begin{aligned} v_{\sf{esc}}=\sqrt{2aR} \end{aligned})]
으로 쓸 수 있다.
이 결과를 가지고 태양계 일부 구성원에 대한 표면에서의 탈출 속도를 구해보면, 지구 [math(11.19\,{\rm km/s})], 달 [math(2.37\,{\rm km/s})], 목성 [math(59.5\,{\rm km/s})]이고, 태양 [math(617.5\,{\rm km/s})]이며, 지구 궤도에서 태양계 중력권을 탈출할 수 있는 탈출 속도는 [math(42.1\,{\rm km/s})]이다.
3. 특성
- 지구의 탈출 속도를 보면 [math(11.19\,{\rm km/s})]로 매우 빠른 속력임을 알 수 있는데 실제로 인공 위성 발사 등을 보면 상승하는 속도가 그렇게 빠르다는 생각이 들지 않는다. 이는 당연한 것으로, 에너지 보존 법칙에 따른 이론상으로만 구성된 논리전개 과정이고 기하학적 원리를 적용해 도출된 특정 위치에서 속력이어야 한다는 정의에 불과한 결과치이며, 또한 현실적으도 구현되는 가속도 적용치와는 그 결과가 상이하기 때문이다. 달리 말하자면 대학 전공 시험 치룰때 빼곤 무의미하기 때문이다. 로켓 발사 현장 관측은 발사대로부터, 또한 지표면의 관측자로부터 지속적으로 멀어지기에 체감 속도는 계측기계의 측정값과 질적으로 상이할 수 밖에 없는 법. 더군다나 대다수의 인공위성 발사 중계 비디오는 지구 중력장의 구속으로부터의 탈출 그 자체를 목적으로 한게 아니고, 화면 한켠에서 출력되는 텔레메트리 정보값도 가만보면 초기에 퍼텐셜 에너지를 쌓는데만 드는 추진력부터 바로 속력값으로 표시된다. 이론상 우리가 알고있지만 신경을 쓰지않던 지구 자전의 속도값조차 보태어서 기술되지도 않는다는 점은 또 별개의 사안이지만, 어쨋든 발사 이벤트는 [math(11.19\,{\rm km/s})]에 미쳐 도달하기도 전에 대다수가 종결된다. 예외의 미션 중계 또한 존재는 하지만, 여기 탈출속력 페이지가 아닌 위키백과 Delta-v budget 페이지#를 참고하도록 하자. 실제 선진국들의 우주탐사 미션에서 구현되었고 누적된 경험([math(99.9\,\%)] 케미컬 로켓엔진 기반)에서 도출된, 우주 발사체가 지구 중력장의 구속에서 벗어나는데 요구되는 최소한의 속도 변화치 량은 [math(12.5\,{\rm km/s})]를 상회한다. 지구가 공전 중인 방향을 이용할 지 말지 여부가 또 역학적으론 탐구 대상이 된다.
- 연직 방향의 속력을 0 이상으로 계속 유지 할 수 있다면, 지구 대기권을 벗어나는데는 아무 문제가 없다.[4] 허나, 경제적으로나 합리성을 가지고 따지고 본다면 그런식으로 퍼텐셜 에너지만 쌓는 일은 벌어지지도 않고 현실성이 없다.
- 행성의 탈출 속도는 그 행성의 대기 구성 요소와 밀접한 관계를 가진다. 수성, 달과 같이 탈출 속도가 작은 천체의 경우 그 대기가 비교적 무거운 기체인 제논, 이산화탄소 등으로 이루어져 있는 반면, 탈출 속도가 큰 목성형 행성의 경우 그 대기는 수소, 헬륨과 같이 가벼운 기체로 이루어져 있다. 이는 가벼운 기체일수록 같은 온도, 즉 운동 에너지가 같더라도 질량이 작아 속도가 빨라지기 때문에 우주로 빠져나가기 쉽기 때문이다.
- 탈출 속도가 빛의 속도 이상이 될 경우, 그 유명한 블랙홀이 된다. 다만 위의 탈출 속도에 광속 [math(c)]를 넣으면 [math(r=2Gm/c^2)]이라는 결과가 나오는데, 이는 실제로 상대성이론을 적용하여 구한 슈바르츠실트 계량과 우연의 일치로 동일한 결과물이 된다.
4. 우주 속도
탈출 속도와 유사한 개념으로 우주 속도가 있는데, 제1-3 우주 속도로 3가지로 나뉜다. 이들은 모두 일정한 값을 가지고 있는데, 측정에 필요한 요소들(천체의 질량과 크기, 중력 등등)이 명확하여 수식에 대입해 계산 가능하기 때문이다.4.1. 제1 우주 속도
물체가 지구 지표면에서 추락하지 않고, 지구의 중심을 원 궤도의 중심으로 원운동 할 수 있는 최소한의 속력.물체가 중력 방향에 대하여 이 속력을 가지고 있다면 지구 중심을 공전한다.
지구, 화성, 목성의 제1 우주 속도는 각각 [math(7.905\,{\rm km/s})], [math(3.55\,{\rm km/s})], [math(42.12\,{\rm km/s})]이다.
이것의 유도는 구심력의 크기가 중력의 크기와 같음을 이용한다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{GMm}{(R+r)^{2}}=\frac{mv^{2}}{R+r} \end{aligned})]
이것을 정리함으로써 다음을 얻는다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} v=\sqrt{\frac{GM}{R+r}} \end{aligned})]
여기서 볼 수 있듯 물체의 질량은 해당 속력에 관여하지 않는다.
4.2. 제2 우주 속도
물체가 천체를 중심으로 원운동할 수 있는 최소한의 속력[5]을 [math(v')]라 할 때 물체 속력 [math(v)]가 다음 조건[math(\displaystyle \begin{aligned} v'<v<\sqrt{2}v' \end{aligned})]
을 만족시킬 때, 물체는 천체를 하나의 초점으로 하는 타원 궤도를 움직이게 된다. 즉, 천체의 중력에 종속되어 있긴 하나 일반적인 원 궤도를 벗어나 더 멀어질 수 있다.
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그리고 [math(\sqrt{2} v')]의 속도를 넘으면 그때 비로소 천체의 중력권에서 탈출할 수 있게 되는데, 이 속도가 바로 탈출 속도이다. 물체가 탈출 속도를 가진 경우 천체에서 벗어난 후 다른 천체 중력의 영향을 받을 때까지 등속 직선 운동을 한다.[6] 제2 우주 속도는 위의 제1 우주 속도에 [math(\sqrt{2})]를 곱한 값에 태양 등에 의한 약간의 오차를 수정한 값으로, 대략 [math(11.19\,{\rm km/s})]이다.
4.3. 제3 우주 속도
물체가 지구 공전 궤도에서 태양계를 탈출할 수 있는 최소한의 속력. 약 [math(\rm 16.7\,{\rm km/s})]로 알려져있다.5. 기타
5.1. 가상의 우주 속도
일반적으로 알려진 제1-3 우주 속도 이외에도 SF의 영역에선 제4-6 우주 속도도 간혹 속도계로 쓰인다.1-3 우주 속도가 원궤도 도달속도 → 지구 인력권 탈출 속도 → 태양계 인력권 탈출 속도로 이어지는 것처럼 4-6 우주 속도는 더 나아가 우리 은하계 인력권 탈출 → 국부 은하군 인력권 탈출 → (모든 천체에 붙잡히지 않고) 변경 우주 진출 속도로 이어지는 식.
이게 가상인 이유는 제1-3 우주 속도와 달리 해당 속도를 구하는데 필요한 질량 등에 관련된 정확한 데이터를 얻을 수 없기 때문에 여전히 미지의 영역인 것이 이유로, 소설이나 영화, 애니메이션 등에서나 다루어지는 속도이다.
더불어 SF 영역에선 단순하게 워프 속도, 초광속같이 속도계로 쓰기에 쉽고 편리한 설정이 있어 탈출 필요속도 단위인 우주속도는 쓰임새도 적고 마이너한 편이라 국내에는 잘 알려져 있지 않다. 그리고 어차피 매스 드라이버 같은 게 아니라면 보통 우주선은 추진력을 꾸준히 내기 때문에 탈출 속도의 의미가 없다.
5.1.1. 제4 우주 속도
우리 은하의 탈출 속도는 태양계에서 [math(492{\text -} 594\,{\rm km/s})]임이 알려져 있다.#은하 중심과의 거리에 따른 탈출 속도 그래프는 다음과 같다.
6. 같이 보기
[1] 이름은 탈출 속도이지만, 사실 탈출 속도는 속도보다는 속력이라 보는 게 타당하다.[2] 0이 되는 이유는 중력 퍼텐셜 에너지를 구할 때 무한 원점에서 퍼텐셜 에너지를 기준으로 삼은 둔 우리의 목적과 연관이 있다. 퍼텐셜 에너지 문서를 참조한다.[3] 엄밀하게는 속도가 아니라 속력이 맞다.[4] 간단히 말하면, 지구의 지표면에서 탈출 속도 이상의 빠르기로 물체를 쏘아올린 뒤 아무런 추진력을 주지 않고 가만히 두면 이 물체는 지구의 중력이 계속 작용함에도 불구하고 지구를 벗어날 수 있다. 반대로, 아무리 느린 속도로 천천히 이 물체를 쏘아올려도 지속적으로 지구를 탈출하는 방향으로 중력보다 큰 힘의 추진력을 준다면 이 물체는 언젠가는 지구를 탈출한다.[5] 제1 우주 속도는 지구 궤도에서의 원운동에 필요한 최소 속도를 의미하므로 [math(v')]는 천체마다 다르다.[6] 다만 태양계에서는 지구의 중력권에서 벗어나는 즉시 태양의 중력권에 들어가기 때문에...