라이스너-노르드스트룀 계량

상대성 이론 Theory of Relativity
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1. 개요2. 라이스너-노르드스트룀 해

2.1. 외부해 유도

3. 측지선4. 좌표 특이점

1. 개요

라이스너-노르드스트룀 계량(Reissner-Nordström metric)은 구형 대칭이고 빠르게 회전하지 않으나 충분히 대전된 천체 주변의 시공간을 기술하는, 아인슈타인 방정식의 엄밀해 중 하나이다. RN 시공간이라고도 한다. 라이스너(Hans Jacob Reissner, 1874~1967)가 1916년, 노르드스트룀(Gunnar Nordström, 1880~1923)이 1918년 발견하였다.

2. 라이스너-노르드스트룀 해

[math(\displaystyle ds^2 = -\left(1 - \frac{r_s}{r} + \frac{r^2_Q}{r^2} \right)c^2dt^2 + \left(1 - \frac{r_s}{r} + \frac{r^2_Q}{r^2} \right)^{-1} dr^2 + r^2d\Omega^2)] [1]

2.1. 외부해 유도

여기에서는 기하 단위계 [math(G=c=1)] 및 CGS 단위계 [math(\displaystyle \epsilon_0 = \frac{1}{4\pi}, \,\, \mu_0 = 4\pi)]을 사용한다.

적당한 좌표계를 설정하면 정지(static) 조건과 구형 대칭성(spherically symmetry)이 성립한다고 가정할 수 있다. 그러므로 슈바르츠실트 좌표계

[math(ds^2 = -e^{2\Phi(r)}\mathrm{d}t^2 + e^{2\Lambda(r)}\mathrm{d}r^2 + r^2\mathrm{d}\Omega^2)]

를 도입할 수 있다. RN 시공간의 외부해는 천체를 구성하는 유체는 없으나 전자기장이 존재하는 환경이다. 여기에서 전자기장이 있는 공간은 일반 상대성 이론의 입장에서 진공(아무 것도 없는 공간)이 아님을 상기한다. 즉, 스트레스-에너지 텐서는 0이 아니다. 근원(source) 텐서를 [math(T^{\mu\nu})]라 하면

[math(T^{\mu\nu} = T^{\mu\nu}_{(\text{Fluid})} + T^{\mu\nu}_{(\text{EM})})]

과 같이 (천체를 이루는) 유체에 의한 것과 전자기장에 의한 것으로 나눌 수 있는데, 전자는 슈바르츠실트 외부해에서와 같이 없는 조건이다. RN 시공간에서는 후자를 새로 도입하며 전자기 텐서 [math(F^{\mu\nu})]에 대하여 다음과 같이 주어진다.

[math(\displaystyle T^{\mu\nu}_{(\text{EM})} = \frac{1}{4\pi}\left[g^{\tau\nu}F^{\mu\sigma}F_{\sigma\tau} - \frac{1}{4}g^{\mu\nu}F^{\alpha\beta}F_{\alpha\beta}\right])]

이 텐서는 대각합이 [math(0)]이다.

RN 시공간은 구형 대칭성을 가정하였으므로, 전기장은 [math(r)] 성분만 있으며, [math(r)]에만 의존한다고 할 수 있다. 그리고 전류가 없으므로 자기장은 0이다. 이 때

[math(\displaystyle \begin{aligned} (F_{\mu\nu}) = \begin{pmatrix} \displaystyle 0&-E_r(r)&0&0 \\ E_r(r)&0&0&0 \\ 0&0&0&0 \\ 0&0&0&0 \end{pmatrix} \end{aligned})]

이다. 이로부터 스트레스 에너지 텐서 [math(T_{\mu\nu})]를 계산하면 다음과 같다.

[math(\begin{aligned} \displaystyle T_{\mu\nu} = \frac{1}{4\pi}\left[g_{\nu 1}F_{\mu 0}F^{10} + g_{\nu 0}F_{\mu 1}F^{01} - \frac{1}{2}g_{\mu\nu}F_{01}F^{01}\right] \\ \\ (T_{\mu\nu}) = \frac{E_r^{\,\,2}}{8\pi e^{2(\Phi + \Lambda)}}\begin{pmatrix} \displaystyle -e^{2\Phi}&0&0&0 \\ 0&e^{2\Lambda}&0&0 \\ 0&0&r^2&0 \\ 0&0&0&r^2\sin^2\theta \end{pmatrix} \end{aligned})]

(슈바르츠실트 좌표계에 계산되어 있는) 아인슈타인 텐서 성분과 매칭시키면 다음 결과를 얻을 수 있다.

[math(\displaystyle \begin{aligned} e^{-2\Phi}G_{00} + 2^{-2\Lambda}G_{11} = 0 \quad \rightarrow \quad \frac{d\Phi}{dr} + \frac{d\Lambda}{dr} = 0 \end{aligned})]

물론, 점근적 평탄 조건으로부터 [math(\Phi = -\Lambda)]를 얻는다. 한편, 맥스웰 방정식

[math(\displaystyle \nabla_{\beta}F^{\alpha\beta} = 0)]

[math(\displaystyle \nabla_{\gamma}F_{\alpha\beta} + \nabla_{\alpha}F_{\beta\gamma} + \nabla_{\beta}F_{\gamma\alpha} = 0)]

중 첫번째 것을 활용하면(두번째는 아무런 정보도 얻지 못한다.) 어떤 상수 [math(Q)]에 대하여

[math(\displaystyle E_r = \frac{Q}{r^2})]

을 얻는다. 가우스 법칙에 의해, [math(Q)]는 중심 천체의 대전량으로 볼 수 있다. (단, 실제 측정 거리는 [math(dr)]이 아닌 [math(e^{\Lambda}dr)]임을 주의한다.) 마지막으로, 아인슈타인 방정식의 [math(22)] 성분을 살펴보면

[math(\displaystyle \begin{aligned}r^2e^{2\Phi}\left[\frac{d^2\Phi}{dr^2} + 2\left(\frac{d\Phi}{dr}\right)^2 + \frac{2}{r}\frac{d\Phi}{dr}\right] = \frac{d}{dr}\left(r^2e^{2\Phi}\frac{d\Phi}{dr}\right) = r^2(E_r)^2 = \frac{Q^2}{r^2} \end{aligned})]

으로부터

[math(\displaystyle g_{00} = e^{2\Phi} = A + \frac{B}{r} + \frac{Q^2}{r^2})]

로 정리되는데, [math(Q = 0)]일 경우 슈바르츠실트 계량을 얻어야 하므로 [math(A=1)] 및 [math(B = -r_s)]라 둘 수 있다. 이로부터 RN 해가 완성된다.

3. 측지선

슈바르츠실트 측지선과 마찬가지로, 라이스너-노르드스트룀 시공간에서도 [math(p_t)]와 [math(p_{\phi})]가 보존된다. 따라서 측지선이 평면 [math(\theta = \pi/2)]에 고정되도록 좌표를 잡고,

[math(p_t/m = -\tilde{E}, \quad p_{\phi}/m = \tilde{L})]

이라 정의하면 다음 조건이 성립한다.

[math(\displaystyle \left(1 - \frac{r_s}{r} + \frac{r^2_Q}{r^2} \right)\frac{dt}{d\tau}= \tilde{E})]
[math(\displaystyle r^2\frac{d\phi}{d\tau} = \tilde{L}, \quad \frac{d\theta}{d\tau} = 0)]

이제, 운동 방정식은 다음과 같다.

[math(\displaystyle -\left(1 - \frac{r_s}{r} + \frac{r^2_Q}{r^2} \right)^{-1}\tilde{E}^2 + \left(1 - \frac{r_s}{r} + \frac{r^2_Q}{r^2} \right)^{-1}\left(\frac{dr}{d\tau}\right)^2 + \frac{\tilde L^2}{r^2} = -1)]

[math(\displaystyle \left(\frac{dr}{d\tau}\right)^2 = \tilde E^2 - \left(1 - \frac{r_s}{r} + \frac{r^2_Q}{r^2}\right)\left(1+ \frac{\tilde L^2}{r^2}\right))]

4. 좌표 특이점

[math(\displaystyle 1 - \frac{r_s}{r} + \frac{r^2_Q}{r^2} = 0)]

이라 두면 [math(r_s > 2R_Q)]일 경우 좌표 특이점(곡면)이 다음과 같이 2개 있다. (사건의 지평선, 그 내부의 코시 지평선)

[math(\displaystyle r_{\pm} = \frac{1}{2}\biggl(r_s \pm \sqrt{r_s^2 - 4r^2_Q}\biggr))]

[math(r_s = 2R_Q)]이면 극값 블랙홀(extremal black hole)이 되고, [math(r_s < 2R_Q)]인 블랙홀은 현실에 존재하지 않는다. 존재를 가정할 경우, 특이점이 사건의 지평선에 가려지지 않고 노출된다고 하여 naked singularity라고 부른다. (자연 단위계 [math(G = c =1)]을 사용하면 단순히 전하가 질량보다 클 수 없다고 표현할 수 있다.)

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[1] [math(\displaystyle r_s = \frac{2GM}{c^2},\quad r^2_Q = \frac{GQ^2}{4\pi\epsilon_0c^4})]

라이스너-노르드스트룀 계량

1. 개요

2. 라이스너-노르드스트룀 해

2.1. 외부해 유도

3. 측지선

4. 좌표 특이점

분류