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1. 개요
이 문서는 상대론적 전자기학을 초급적으로 요약한 것이다. 사실 맥스웰 방정식은 그 자체로 상대론적이기 때문에(상대성 이론의 등장 자체가 전자기 과정을 제대로 설명하기 위한 것이었다.) 엄밀히 말해서 전자기학에 상대론적이라는 수식어는 불필요하나 실질적으로는 전통적 전자기학과 상대론 기반 전자기학을 따로 가르치므로 이러한 용어가 쓰인다. 이 문서는 전반적으로 전자기학을 민코프스키 시공간 기반으로 재구성한 것(covariant formulation)을 설명하는 것에 가깝다.이 문서에서는 계량 텐서 [math(\eta_{00}=1)], [math(\eta_{11}=\eta_{22}=\eta_{33}=-1)]을 사용한다.
2. 심화 내용
3. 로런츠 변환
| 로런츠 변환 | 로런츠 역변환 |
| [math(\begin{aligned} x'&=\gamma(x-vt) \\ y'&=y \\ z'&=z \\ t'&=\gamma\biggl(t-\frac{v}{c^2}x\biggr) \end{aligned})] | [math(\begin{aligned}x&=\gamma(x'+vt) \\ y&=y' \\ z&=z' \\ t&=\gamma\biggl(t'+\frac{v}{c^2}x'\biggr) \end{aligned})] |
4. 사차원 전류와 보존 법칙
우선 전하에 대한 연속 방정식(보존 법칙)부터 시작하고자 한다.| [math(\begin{aligned}\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{J}+\frac{\partial \rho}{\partial t}=0 \end{aligned})] |
| [math(\begin{aligned}\displaystyle \mathbb{J} \equiv (c\rho, \,\mathbf{J}) \end{aligned})] |
| [math(\begin{aligned}\displaystyle \delta_{\nu}^{\mu}\partial_{\mu}J^{\nu} = \partial_{\nu}J^{\nu}= 0 \end{aligned})] |
5. 퍼텐셜
퍼텐셜 또한 4-벡터로 나타내게 된다.| [math(\begin{aligned}\displaystyle \mathbb{A} \equiv \biggl( \frac{\Phi}{c},\,\mathbf{A} \biggr) \end{aligned})] |
| [math(\begin{aligned}\displaystyle \nabla^{2} \mathbf{A}-\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial^{2} \mathbf{A}}{\partial t^{2}}&=-\mu_{0} \mathbf{J} \\ \nabla^{2} \Phi-\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial^{2} \Phi}{\partial t^{2}}&=-\frac{\rho}{\varepsilon_{0}} \end{aligned})] |
| [math(\begin{aligned}\displaystyle \left(\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} - \nabla^2\right)A^{\mu}&=\eta^{\alpha\beta}\partial_{\alpha}\partial_{\beta}A^{\mu} = \partial^{\nu}\partial_{\nu}A^{\mu} \\ &=\mu_{0}J^{\mu} \end{aligned})] |
| [math(\begin{aligned}\displaystyle \square A^{\mu}=\mu_{0}J^{\mu} \end{aligned})] |
5.1. 로런츠 게이지
위 퍼텐셜 방정식에서는 로런츠 게이지| [math( \displaystyle \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{A}+\frac{1}{c^{2}} \frac{\partial \Phi}{\partial t}=0 )] |
| [math( \displaystyle \partial_{\nu} A^{\nu} =0 )] |
6. 전자기장 텐서
전기장과 자기장은 퍼텐셜과 다음과 같은 관계에 있다.| [math( \displaystyle \begin{aligned} \mathbf{B}&=\boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\times} \mathbf{A} \\ \mathbf{E}&=-\boldsymbol{\nabla}\Phi-\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t} \end{aligned})] |
| [math( \displaystyle F^{\mu \nu} \equiv \partial^{\mu}\!A^{\nu}-\partial^{\nu}\!A^{\mu} )] |
| [math( \displaystyle F^{\mu \nu}=\begin{bmatrix} 0 & -\dfrac{E_{x}}{c} & -\dfrac{E_{y}}{c} & -\dfrac{E_{z}}{c} \\ \\\dfrac{E_{x}}{c} & 0 & -B_{z} & B_{y}\\\\ \dfrac{E_{y}}{c} & B_{z} & 0 &-B_{x} \\\\ \dfrac{E_{z}}{c} & -B_{y} & B_{x} & 0 \end{bmatrix})] |
| [math( \displaystyle G^{\mu \nu}=\frac{1}{2}\varepsilon^{\mu \nu \alpha \beta} F_{\alpha\beta} )] |
| [math( \displaystyle F_{\alpha \beta}=\eta_{\alpha \mu } \eta_{\beta\nu }F^{\mu \nu} )] |
| [math( \displaystyle G^{\mu \nu}=\begin{bmatrix} 0 & -B_{x} & -B_{y} & -B_{z} \\ \\B_{x} & 0 & \dfrac{E_{z}}{c} & -\dfrac{E_{y}}{c}\\\\ B_{y} & -\dfrac{E_{z}}{c} & 0 &\dfrac{E_{x}}{c} \\\\ B_{z} & \dfrac{E_{y}}{c} & -\dfrac{E_{x}}{c} & 0 \end{bmatrix} )] |
전자기장 텐서의 더 많은 성질을 확인하려면 이곳(영어)를 읽어보라.
7. 맥스웰 방정식
위의 텐서에서| [math( \displaystyle \begin{aligned} \partial_{\mu} F^{\mu \nu} &= \partial^{\mu}\partial_{\mu}A^{\nu}-\partial^{\nu}(\partial_{\mu} A^{\mu}) \\&=\partial_{\mu}\partial^{\mu}\! A^{\mu} \\ &=\square A^{\mu} \\ &=\mu_{0}J^{\mu} \end{aligned} )] |
| [math( \displaystyle \begin{aligned} \partial_{\mu} G^{\mu \nu} =0 \end{aligned} )] |
| [math( \displaystyle \begin{aligned} \partial_{\mu} F^{\mu \nu} &=\mu_{0}J^{\mu} \\\partial_{\mu} G^{\mu \nu} &=0 \end{aligned} )] |
또 하나의 흥미로운 항등식이 있는데, 이는 두 번째 식과 동치이다.
[math(\displaystyle \partial_\mu F_{\nu \lambda} + \partial_\nu F_{\lambda \mu} + \partial_\lambda F_{\mu \nu} = 0 )]
단, 여기서 [math(\mu \neq \nu \neq \lambda \neq \mu)]이다.
7.1. 진공해
진공([math(J^{\mu} = 0)])에서 맥스웰 방정식| [math(\displaystyle \partial^{\mu}\partial_{\mu}A^{\nu} = 0)] |
은 파동 해를 갖는다. 즉 [math(A^{\mu} = C^{\mu}e^{iS})]라 둘 수 있다. 이 때 [math(S)]는 파동의 위상(phase)이고, [math(C^{\mu})]는 각 점에서 [math(A^{\mu})]에 나란한 상수 벡터이다. 이를 맥스웰 방정식 및 로런츠 게이지에 대입하면
| [math(\displaystyle \begin{aligned} i[\partial^{\mu}\partial_{\mu}S + i\partial^{\mu}S\partial_{\mu}S]A^{\nu} &= 0 \\ iC^{\mu}e^{iS}\partial_{\mu}S &= 0 \end{aligned})] |
으로부터
| [math(\begin{aligned} \partial^{\mu}\partial_{\mu}S = \partial_{\mu}S\partial^{\mu}S &= 0 \\ C_{\mu}\partial^{\mu}S &= 0 \end{aligned})] |
를 각각 얻는다. 여기에서 [math(k_{\mu} = \partial_{\mu}S)]를 파동 벡터(wave vector)라 정의한다. [math(k^{\mu})]는 [math(S)]가 상수인 곡면(surface)들에 수직이다. [math(\partial_{\mu}S\partial^{\mu}S = 0)]으로부터,
| [math(\displaystyle k_{\mu}k^{\mu} = 0)] |
이므로 [math(k^{\mu})]는 null 벡터이며, 진공에서 이 곡면들은 null 벡터에 수직임을 알 수 있다. 이러한 곡면을 null hypersurface라 부른다. 이 파동은 빛의 속력으로 나아간다.
[math(\partial_{\mu}S\partial^{\mu}S = 0)]을 다시 미분하면
| [math(\displaystyle \begin{aligned} 0 &= \partial_{\nu}(\partial_{\mu}S\partial^{\mu}S) \\ &= 2(\partial^{\mu}S)(\partial_{\nu}\partial_{\mu}S) \\ &= 2(\partial^{\mu}S)(\partial_{\mu}\partial_{\nu}S) \\ &= 2k^{\mu}\partial_{\mu}k_{\nu} \end{aligned})] |
임을 알 수 있다. 이로부터, [math(k^{\mu})]의 적분 곡선은 null geodesics임을 알 수 있다. 따라서, 광학적으로 광선(light ray)은 null geodesics로 간주할 수 있다. 또한, 파동의 진동수는 특정 관찰자의 속도를 [math(u^{\mu})]라 하면 다음과 같이 구할 수 있다.
| [math(\omega = k_{\mu}u^{\mu})] |
한편, [math(k^{\mu})]를 상수 벡터장이라 두어 [math(k^{\mu} = (\omega,\, k_x,\, k_y,\, k_z))]라 설정할 수 있다. (국소적으로는 언제나 이와 같이 해석할 수 있다.) 이 때, [math(k_{\mu} = \partial_{\mu}S = (\omega,\, -k_x,\, -k_y,\, -k_z))]로부터
| [math(\begin{aligned} S &= k_{\mu}x^{\mu} \\&= \omega t -(k_xx + k_yy +k_zz) \\ &= \omega t - \bold{k\boldsymbol{\cdot} x} \end{aligned})] |
를 얻는다. 여기에서 [math(\bold k = (k_1,\, k_2,\, k_3))], [math(\bold x = (x,\, y,\, z))]라 두었다. 따라서, 파동 해는
| [math(\displaystyle A^{\mu} = C^{\mu}e^{i(\omega t - \bold{k\boldsymbol{\cdot} x})})] |
라 정리할 수 있다. 이것을 평면파(plane wave) 해라고 하며, 푸리에 해석에 따르면 공간 상의 영역을 나아가면서 [math(k_{\mu})]의 변화가 충분히 작아졌다면 해는 일반적으로 평면파의 중첩으로 표현할 수 있다.
8. 로런츠 힘
상대론적으로 나타낸 로런츠 힘은 다음과 같이 주어진다.[math(\displaystyle K^{\mu}=q \xi_{\nu} F^{\mu \nu} )]
여기서 [math(\xi_{\nu})]는 전하 [math(q)]의 고유 속도이다.
이것을 이용하면 상대론적 로런츠 힘(의 공간 성분)을 구할 수 있다.
[math(\displaystyle \mathbf{K}=\gamma q (\mathbf{E}+\mathbf{u} \boldsymbol{\times } \mathbf{B}) )]
이상에서 민코프스키 힘과 힘의 관계를 사용하면
[math(\displaystyle \mathbf{F}=q (\mathbf{E}+\mathbf{u} \boldsymbol{\times } \mathbf{B}) )]
로 고전적인 로런츠 힘으로 환원된다.
9. 장의 변환
좌표계에 따라 장이 어떻게 관측되는지 알아보자.관성계 [math(\mathcal{O})]에 대해서 [math(+x)]의 방향으로 [math(v)]의 속력으로 상대적으로 운동하는 관성계 [math(\bar{\mathcal{O}})]를 고려하자. [math(\mathcal{O})]에서 측정한 물리량에는 아무런 표기를 하지 않을 것이고, [math(\bar{\mathcal{O}})]에서 측정한 물리량은 bar([math(\bar{\,\,\,})])를 붙일 것이다.
[math(\mathcal{O})]에서 전기장 [math(\mathbf{E})], 자기장 [math(\mathbf{B})]를 관측했다고 하자. 그렇다면 [math(\bar{\mathcal{O}})]에서는 어떻게 관측되는가?
이때, 전자기장 텐서를 사용한다. 해당 텐서는 다음과 같은 변환을 만족한다.
[math( \bar{F}^{\mu \nu}=\Lambda^{\mu}_{ \,\,\alpha}\Lambda^{\nu}_{ \,\,\beta}F^{\alpha \beta} )]
여기서 [math(\Lambda^{\mu}_{ \,\,\alpha})]는 다음과 같이 로런츠 변환을 기술하는 텐서이다.
[math( \Lambda^{\mu}_{ \,\,\alpha}=\begin{bmatrix}
\gamma & -\gamma \beta & 0 &0 \\
-\gamma \beta & \gamma & 0 &0 \\
0 &0 & 1 &0 \\
0& 0& 0 & 1
\end{bmatrix} )]이것을 이용하면 다음을 얻을 수 있다.
[math(\begin{aligned} \bar{E}_{x} &= E_{x} \\ \bar{E}_{y} &=\gamma (E_{y}-vB_{z}) \\ \bar{E}_{z}&=\gamma(E_{z}+v B_{y}) \\ \\ \bar{B}_{x}&=B_{x} \\ \bar{B}_{y}&=\gamma \biggl(B_{y}+\frac{v}{c^2}E_{z} \biggr) \\ \bar{B}_{z}&=\gamma \biggl(B_{z}-\frac{v}{c^2}E_{y} \biggr) \end{aligned} )]
벡터 형식으로 나타내면 장의 변환은 다음과 같음을 얻는다.
[math(\begin{aligned} \mathbf{\bar{E}}_{\parallel}&=\mathbf{E}_{\parallel} \\ \mathbf{\bar{E}}_{\perp}& =\gamma (\mathbf{E}_{\perp}+\mathbf{v} \times \mathbf{B}_{\perp}) \\ \\ \mathbf{\bar{B}}_{\parallel}&=\mathbf{B}_{\parallel} \\ \mathbf{\bar{B}}_{\perp}& =\gamma \biggl(\mathbf{B}_{\perp}-\frac{\mathbf{v}}{c^{2}} \times \mathbf{E}_{\perp} \biggr) \end{aligned} )]
여기서 평행과 수직은 속도 벡터 [math(\mathbf{v})]를 기준으로 정한다.