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최근 수정 시각 : 2020-03-16 08:39:52

논리 연산

1. 개요2. 논리 연산의 종류
2.1. 부정 (NOT; ¬)2.2. 논리곱 (AND; ∧)2.3. 논리합 (OR; ∨)2.4. 부정 논리곱 (NAND; ↑)2.5. 부정 논리합 (NOR; ↓)2.6. 배타적 논리합 (XOR; ⊕)2.7. 동치 (EQV; =)
3. 성질
3.1. 교환법칙 / 결합법칙 / 분배법칙3.2. 동일법칙(idempotent)3.3. 항등원(identity)3.4. 흡수법칙(absorption)3.5. 이중부정 법칙(involution)3.6. 드모르간 법칙(De Morgan law)3.7. 합의(Consensus) 법칙3.8. 그 밖의 연산 법칙
4. 연산 우선 순위5. 관련 문서

1. 개요

불 대수(Boolean algebra)는 19세기 중반 영국의 수학자 조지 불(George Boole, 1815년 11월 2일 ~ 1864년 12월 8일)이 고안하고 형식화한 대수 체계를 의미한다.

논리 연산(logical operation, logical connective)으로도 불린다. 수리 논리학이나 컴퓨터공학과에서, 두 개의 상태인 참(1, T, True)과 거짓(0, F, False)으로 불 연산(Boolean expression)이라 한다. 불 대수의 출현 이후로 논리학기호논리학의 성향이 강해지기 시작한다.

프로그래밍에서는 조건에 의한 분기나 반복을 만드는 데 이용되고, 디지털 논리 회로를 배울 때 유용하게 사용된다. 디지털 회로의 신호는 0과 1로만 구성되어 있기 때문이다. 전자계통에선 논리 연산을 하는 소자를 게이트(Gate)라고 하며 트랜지스터 여러 개를 조합해서 만들 수 있다.

이산수학에서는 속(Lattice) 중 Complementary Lattice이며 Distributive Lattice인 Lattice를 불 속(Boolean Lattice)이라 하며 이를 대수(Algebra)식으로 나타낸 것을 불 대수(Boolean Algebra)라고 한다. 불 속의 원소 개수는 해당 원자(atom) 개수 n에 대해 2n개이다. 즉, 불 속의 원소 개수는 2의 제곱수대로 올라간다고 보면 된다.

2. 논리 연산의 종류

들어가기 앞서 아래 결과가 이해가 안된다면 진리표(Truth Table)를 만들어서 확인해 볼수도 있다.. 만 변수(0또는 1)가 4개만 돼도 단순히 AND 만 확인해 보려고 해도 16개나 확인해 봐야 한다. 아래가 진리표다. 쉽게 말해 집합의 연산법칙에서 합집합을 +로, 교집합을 ·, 공집합을 0, 전체집합을 1, 여집합을 '으로 바꾸었다고 생각하면 편하다.[1]
A ∧ B (AND)
A B 반환값[2]
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1

2.1. 부정 (NOT; ¬)

말 그대로 부정(否定)이다. 즉, 참과 거짓을 뒤집는다. C언어의 영향을 받은 프로그래밍 언어에서는 일반적으로 !를 부정 연산자로 사용하며, 그 외에 ~A도 많은 프로그래밍 언어에서 사용되며, 필기나 서적 등에서는 A' [3]또는 A 위에 ㅡ를 그려넣은 A¯\bar{A} 기호가 주로 쓰인다. 불 보수(Boolean Complement)로도 불린다. 이 연산을 하는 회로는 따로 보수기(inverter)라는 이름으로 불린다.
NOT 연산 결과
입력값 반환값
0 1
1 0

2.2. 논리곱 (AND; ∧)

두 명제가 모두 참이어야 참값을 돌려준다. C언어의 영향을 받은 프로그래밍 언어에서는 일반적으로 &를 논리곱 연산자로 사용하며, 불 대수에서는 AND는 곱셈과 동치이다. 불 곱(Boolean Multiplication) 혹은 논리곱이라 부른다. 아래의 연산결과를 보면 왜 곱셈과 동치인지 쉽게 알 수 있을 것이다. AB[4] 또는 A·B[5]로 표시한다.
AND 연산 결과
입력값 반환값
0 , 0 0
0 , 1 0
1 , 0 0
1 , 1 1

2.3. 논리합 (OR; ∨)

두 명제 중 어느 한 명제만 참이어도 참값을 돌려준다. C언어의 영향을 받은 프로그래밍 언어에서는 일반적으로 |를 논리합 연산자로 사용한다. 불 대수에서는 OR는 덧셈과 동치여서, 논리합(Boolean Addition)으로 부른다. 아래에서 보듯 1 + 1 = 1 임을 주의해야 한다. A+B[6]로 표시한다.
OR 연산 결과
입력값 반환값
0 , 0 0
0 , 1 1
1 , 0 1
1 , 1 1

2.4. 부정 논리곱 (NAND; ↑)

Not AND. 논리곱의 결과값을 부정한 것이다. 즉, 두 명제가 모두 참이면 거짓값을 돌려주고 그 외에는 참값을 돌려준다. 참고로 NAND만을 통해 다른 논리 연산식을 모조리 구현할 수 있기 때문에 현재 사용되는 플래시 메모리들은 대부분이 NAND 회로로 구성되어 있다.
NAND 연산 결과
입력값 반환값
0 , 0 1
0 , 1 1
1 , 0 1
1 , 1 0

2.5. 부정 논리합 (NOR; ↓)

Not OR. 논리합의 결과값을 부정한 것이다. 즉, 두 명제가 모두 거짓이면 참값을 돌려주고 그 외에는 거짓값을 돌려준다. NAND와 마찬가지로 NOR만으로 다른 논리 연산식을 모조리 구현할수 있기에 초기 플래시 메모리들은 대부분이 NOR 회로로 구성하였다. 근데 NAND 회로가 값이 싸다보니 이쪽은 자연스럽게 안 쓰게 됐다.
NOR 연산 결과
입력값 반환값
0 , 0 1
0 , 1 0
1 , 0 0
1 , 1 0

2.6. 배타적 논리합 (XOR; ⊕)

두 명제 중 정확히 하나만 참이어야, 혹은 두 명제의 참거짓 여부가 다를 때 참값을 돌려준다. C언어의 영향을 받은 프로그래밍 언어에서는 ^를 배타적 논리합 기호로 사용한다. 다만 일반적인 경우에는 ^가 제곱으로 사용되기 때문에 처음 프로그래밍 언어를 배우는 사람들은 제곱을 하려고 ^ 기호를 사용했다가 안드로메다로 가는 경우가 있다.(…)[7][8] 이 방식으로 특정 '키'를 이용해 암호화를 하면 그 '키'로 복호화가 가능해서, 암호화 기법으로도 널리 사용된다. 비교 대상의 비트가 0이든 1이든 상관 없이 같기만 하면 0을 돌려준다는 특성을 이용하여 어셈블리어 등의 언어에서 어떤 레지스터나 변수를 0으로 초기화할 때 사용되기도 한다.[9] 이런 특성때문에 XOR을 이용해 임시변수 없이 변수를 스왑하는 기법[10]은 메모리사용량에서야 좀 이득을 보겠지만 실제론 거의 사용되지 않는다. 스왑하는 값이 같은 주소를 참조한다면 엉망이 되기 때문.
NXOR과는 달리 결합법칙이 성립하므로 n항연산으로 일반화 가능하다. 이 경우 n개의 입력중 참의 개수가 홀수이면 출력이 참이되는 연산으로 정의된다.
XOR 연산 결과
입력값 반환값
0 , 0 0
0 , 1 1
1 , 0 1
1 , 1 0

2.7. 동치 (EQV; =)

두 명제가 다 참이거나 다 거짓이면, 혹은 두 명제의 참거짓 값이 같으면 참값을 돌려준다. 배타적 부정 논리합 (XNOR) 또는 배타적 논리곱이라고도 한다. 수학적으로는 크로네커 델타(δij={0ifij1ifi=j\delta_{ij} = \left\{\begin{matrix} 0 \; \; \; \text{if} \; \; \; i \neq j \\ 1 \; \; \; \text{if} \; \; \; i = j \end{matrix}\right.)로 정의돼 있다. C언어 및 여기서 파생한 프로그래밍 언어에선 =는 대입을 의미하므로 =를 두개 사용해 ==로 동치를 계산한다.
EQV 연산 결과
입력값 반환값
0 , 0 1
0 , 1 0
1 , 0 0
1 , 1 1

3. 성질[11]

3.1. 교환법칙 / 결합법칙 / 분배법칙[12]

A+B=B+A
A·B=B·A
(A+B)+C=A+(B+C)
(A·B)·C=A·(B·C)
A·(B+C)=A·B+A·C
A+(B·C)=(A+B)·(A+C)

산수랑 똑같다. 다만 여기서 주의할 점은 분배 법칙에서 A+(B·C)=(A+B)·(A+C)가 된다는 것이다. 드 모르간의 법칙 하단의 설명을 보면 쉽게 이해할 수 있다.

3.2. 동일법칙(idempotent)[13]

A·A = A
A + A = A

계산하려는 두 숫자가 똑같으면 결과도 그 똑같은 값이 나온다는 뜻이다.

3.3. 항등원(identity)

A·1 = A = 1·A
A+0 = A = 0+A

3.4. 흡수법칙(absorption)

A+A·B=A
A·(A+B)=A

전기 회로에서 곱연산을 직렬로, 합연산을 병렬로 생각해보면 이해가 쉽다. 아래 식에서 B는 A와 병렬이라서 B가 끊어졌어도 A가 이어져 있으면 그대로 전기가 흐르기 때문에 사실상 B는 없는 것이나 다름없고, A를 직렬로 두 개 단 것과 똑같기 때문에 식이 저렇게 A로 흡수되는 것이다.

수학적 증명은
A·(A+B)
A·A + A·B (∵분배법칙)
A + A·B (∵동일법칙 A·A = A)
A·1 + A·B (∵항등원 A·1 = A)
A·(1 + B) (∵분배법칙)
A·1 (∵ B + 1 = 1)
A (∵항등원 A·1 = A)
위 식의 증명은 위의 증명에서 3번째 줄부터 같다.

3.5. 이중부정 법칙(involution)

(A')' = A

3.6. 드모르간 법칙(De Morgan law)

(A·B)'=A'+B'
(A+B)'=A'·B'

식을 깔끔하게 정리할 때 가장 많이 사용되는데다가 NAND 연산, NOR 연산과 밀접한 연관이 있는 만큼 불 대수에서 상당히 중요하게 다뤄지는 성질이다. 오죽하면 대부분 교재에서 이 법칙 하나만 불 대수 파트에서 분리해서 따로 가르칠 정도.

사실 머리를 좀 굴려보면 AND와 OR은 같은 구조의 함수지만(항등원끼리연산하면 항등원, 나머지경우는 항등원이 아닌 것) AND는 항등원이 1(=0')이고 OR은 항등원이 0(=1')일 뿐이라는 걸 알 수 있는데, 다시 말해 NOT은 ({0 , 1}, AND)에서 ({0, 1}, OR)로 가는 Isomorphism이다. 이중 부정규칙을 이용하면 동시에 NOT은 ({0 , 1}, OR)에서 ({0, 1}, AND)로 가는 Isomorphism이므로 결론적으로 NOT은 ({0 , 1}, AND, OR)에서 ({0, 1}, OR, AND)로 가는(연산이 서로 바뀌었다) Isomorphism이다.

이걸 이용해 드모르간 법칙을 쉽게 증명할 수 있을 뿐만 아니라 성질 항목에 나와있는 한쌍의 공식이 서로를 유도할 수 있다는 걸 쉽게 보일 수 있다.

3.7. 합의(Consensus) 법칙

AB + BC + CA' = AB + CA'
(A + B)(B + C)(C + A') = (A + B)(C + A')

자세히 보면 가운데 마디가 사라진 것을 볼 수 있다.

위 식의 증명은
BC
1·BC (∵항등원 A·1 = A)
(A+A')·BC (∵A+A' = 1)
ABC + A'BC (∵분배법칙)
ABC + CA'B (∵교환법칙)
을 이용해서
AB + BC + CA'
AB + ABC + CA'B + CA'
(AB + AB·C) + (CA'·B + CA') (∵결합법칙)
(AB + AB·C) + (CA' + CA'·B) (∵교환법칙)
AB + CA' (∵흡수법칙 A+A·B=A)
아래식도 비슷하다.

3.8. 그 밖의 연산 법칙

A + A' = 1
A·A' = 0
A+1=1
A·0 = 0
A+A'·B=A+B
A·(A'+B)=A·B

마지막 식의 증명
A·(A'+B)
A·A' + A·B (∵분배법칙)
0 + A·B (∵ A·A' = 0)
A·B (∵항등원 0+A = A)
그 위의 식도 비슷하다.

4. 연산 우선 순위

대수학에서 곱셈 연산이 덧셈 연산 보다 우선이듯이, 논리 연산에서도 논리곱(AND)이 논리합(OR) 보다 연산 순위가 높다.

분배법칙의 아래 두 식 중에 첫 번째 식의 우변에는 괄호가 없다. 이는 AND가 OR보다 연산 우선 순위가 높기 때문이다. 괄호가 생략된 것이라 보아도 되는데 A·B와 A·C에 대한 괄호의 존재 여부는 우변의 결과에 영향을 미치지 않는다.
A·(B+C)=A·B+A·C
A+(B·C)=(A+B)·(A+C)

A·(B+C)=(A·B)+(A·C)=A·B+A·C

그리고 부정(NOT) 연산은 AND와 OR보다 연산 우선 순위가 높다.

결국 NOT > AND > OR의 연산 순서가 되겠다. 그 외의 논리 연산의 우선 순위에 대해서는 추가 바람

5. 관련 문서




[1] 정보 교과서에서는 이런식이 아니고 수학마냥 표기해놓아서 이해하기 어렵게 되어있다.[2] 혹은 결괏값.[3] 프라임이라 읽는다. 미분 기호로도 쓰인다.[4] 주의하자면 곱셈이 절대로 아니다! A and B.[5] A 논리곱 B. 이래도 헷갈린다(...)[6] A or B[7] C언어에서 제곱은 math.h라는 헤더 파일을 include(포함)하고(#include <math.h>), pow(밑, 지수) 함수를 사용하면 가능하다.[8] PHP 5.6 이상이나 Python 등의 언어에서는 또 **로 지수를 표현하는 것이 가능하다.[9] 예를 들어, AX라는 레지스터를 0으로 초기화 할 땐 MOV AX,0을 써도 되지만 XOR AX,AX를 해도 된다는 의미이다. AX에 뭔 값이 들어있는지는 알 수 없지만, 같은 것끼지 연산시키면 무조건 0을 반환하는 XOR의 특성 상 해당 연산의 결과는 AX의 원래 값과는 상관 없이 항상 0이 된다.[10] A=A⊕B; B=A⊕B; A=A⊕B[11] 공리(axiom) 내지 전제(postulation)이라고도 부른다.[12] 영어로 각각 commutatitve, associative, distributive이다.[13] 멱등(冪等)법칙이라고도 한다.