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1. 개요
집합 [math(X)]의 모든 부분집합을 원소로 하는 집합을 [math(X)]의 멱집합(冪集合, power set)이라 하고 [math(\mathcal{P}(X))] 또는 [math(2^X)] 로 나타낸다.[math(\mathcal{P}(X)=2^X=\left\{\,A\mid A\subset X\,\right\})]
1.1. 예시
예를 들어 [math( B = \{1,2\} )] 라고 하자. [math( B )]의 부분집합은 [math( \emptyset , \{ 1 \} , \{ 2 \} , \{1,2 \} )]이다.그러므로 [math(\mathcal{P}(B) = \left\{ \emptyset , \{ 1 \} , \{ 2 \} , \{1,2 \} \right\} )] 가 된다.
[math( C = \{a,b,c\} )] 일때, C의 멱집합은 아래와 같다.
[math(\mathcal{P}(C) = \left\{ \emptyset , \{ a \} , \{ b \}, \{ c\} , \{a,b \}, \{a,c \}, \{b,c \}, \{a,b,c \} \right\} )]
2. 멱집합의 크기
2.1. 유한집합에서의 멱집합
임의의 유한집합에 대해서 그 크기가 [math(\left|A\right|=n)] 이라고 할때, 부분집합의 개수는 [math(2^n)] 개가 된다. 임의의 정수 [math( n ( n \ge 0) )]에 대해서 [math(2^n > n)]이 항상 성립하므로, 임의의 유한집합에 대해서 멱집합의 크기는 원래의 집합의 크기보다 항상 더 커진다.즉, 유한집합에서는 [math( \left|\mathcal{P}(A)\right| >\left|A\right| )] 가 항상 성립한다.
2.2. 무한집합의 멱집합
무한집합도 부분집합을 생각할 수 있으므로, 당연히 무한집합에 대해서도 멱집합을 생각할 수 있다. 결론만 말하자면 멱집합의 크기는 원래의 집합의 크기보다 항상 더 크다는 성질이 무한집합에서도 성립한다. 다시 말해 무한집합에서도 [math( \left|\mathcal{P}(A)\right|>\left|A\right| )] 가 성립한다.예를 들어 무한집합인 자연수의 집합 [math(\mathbb{N})]이 있을때, 자연수의 멱집합 [math(\mathcal{P}\left(\mathbb{N}\right))]를 구하면, 이 멱집합의 크기는 자연수의 집합의 크기보다 더 크다. 즉 [math( \left|\mathcal{P}(\mathbb{N})\right| > \left|\mathbb{N}\right| )] 이다.
이것이 의미하는 것은 무한집합들 사이에서도 서로 크기가 다른 무한집합이 존재한다는 것이다.
자연수의 집합은 정수의 집합, 짝수의 집합, 유리수의 집합과는 그 크기가 같지만, 자연수의 집합과 실수의 집합은 그 크기가 서로 다르다. 이는 게오르크 칸토어가 대각선 논법이란 교묘한 방법으로 발견하였다. 또한, 대각선 논법을 이용하여 멱집합은 원래 집합보다 항상 크다는 것 역시 밝혀 내었다.
서로 다른 무한집합의 크기를 구분하기 위해서 초한기수라는 수 체계가 도입되었다. 그런데, 초한기수 사이의 관계에서 특이한 가설이 하나 제시되었는데, 그것이 연속체 가설이다.
3. 활용
- 어떤 집합의 멱집합의 부분집합 중에서 여집합 연산과 가산 개의 합집합 연산에 대하여 닫혀 있는 것을 시그마 대수([math(\sigma)]-algebra)라고 한다.