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1. 개요
뢰벤하임-스콜렘 정리(Löwenheim-Skolem theorem)는 일상언어로 설명하자면 '같은 문장에 대한 논리적으로 동일한 다양한 해석이 있을 수 있다'는 정리이다. 이때 해석의 의미는 자연언어의 의미 해석이라기보다는 수리논리학에서 말하는 해석과 모형이론에 관한 문제라 할 수 있지만, 자연언어에서의 해석으로 이해해도 받아들이는데는 큰 문제가 없다. 해석과 모형의 의미가 궁금하다면 양화 논리 문서를 참조하면 좋다. 이 정리를 조금 더 엄밀하게 정의하면 다음과 같다.모형을 갖는 임의의 문장 집합은 가산 논의영역을 갖는 논리적 구조가 동일한 모형을 갖는다.
이것은 뢰벤하임-스콜렘 정리의 가장 기본적인 형태다. 이 기본적인 형태의 정의만으로도 이 정리의 개략적인 내용을 충분히 이해하는데는 큰 문제가 없다.일단 모형을 갖는 임의의 문장 집합이라는 것은 논리적으로 거짓이 아닌 문장 집합, 즉 일관성이 성립하는 문장 집합이라는 것이다. 만약 일관성이 성립하지 않는다면 그 문장 집합은 모형을 갖지 않는다. '소크라테스는 죽었으며 동시에 죽지 않았다'라는 문장을 참으로 만들 수 있는 모형은 없는 것과 같다.
만약 문장 집합이 모형을 가진다면, 그 문장 집합은 가산 논의 영역을 지닌 논리적 구조가 동일한 모형을 가질 수 있다. 그리고 논리적 구조가 동일한 모형이라는 것은 다음과 같은 두 모형을 말한다.
모형 [math(I')]이 모형[math(I)]와 논리적 구조가 같다.([math(I')]이 [math(I)]의 부해석이다.)
iff모형 [math(I)]와 모형 [math(I')]이 기초 동치이다.(이것은 [math(I)]가 문장 [math(\phi)]의 모형일 때, 오직 그 경우에만 [math(I')]이 문장 [math(\phi)]의 모형이라는 뜻이다.)
iff1. [math(I')]의 논의영역은 [math(I)]의 논의영역의 부분집합이다.
1. [math(I')]과 [math(I)]는 모든 개체상항에 같은 지시체를 할당한다.
1. [math(I')]과 [math(I)]는 모든 술어에 같은 지시체를 할당한다.(술어가 문장문자라면 같은 진리치를 할당한다. 사실 문장문자의 지시체는 일반적으로 진리치로 여겨지니 굳이 부연할 필요가 없기는 하다.)
1. [math(I')]과 [math(I)]는 모든 개체상항에 같은 지시체를 할당한다.
1. [math(I')]과 [math(I)]는 모든 술어에 같은 지시체를 할당한다.(술어가 문장문자라면 같은 진리치를 할당한다. 사실 문장문자의 지시체는 일반적으로 진리치로 여겨지니 굳이 부연할 필요가 없기는 하다.)
2. 왜 중요한가?
뢰벤하임-스콜렘 정리의 중요성은 바로 모든 모형이 가산 논의 영역을 갖는 기초 동치인 모형에 의해 대체될 수 있다는 것을 보여준다는 점에 있다.사람들은 흔히 인간이 무한히 많은 이름을 만들 수 있다고 생각한다. 그리고 그런 생각은 옳다. 인간은 유한한 문자의 유한한 길이를 지니는 조합으로 무한히 많은 이름을 만들 수 있다. 문제는 그렇게 만들어낼 수 있는 이름의 집합의 기수이다. 그렇게 생성되는 이름의 집합의 기수는 [math(\aleph_0)]를 넘을 수 없다는 것이 증명되어 있으며, 어떤 식으로 이름을 만들더라도 비가산 집합의 원소와 일대일 대응을 시킬 수 없다. 따라서 논의 영역의 농도가 가산 무한을 초과하는 경우, 그러한 해석에 대해 완전한 해석(개체상항에 논의 영역의 모든 원소가 할당되는 해석)이 존재할 수 없다는 것을 알 수 있다.
뢰벤하임-스콜렘 정리는 비가산 집합을 논의 영역으로 갖는 모형이 가산 모형으로 대체될 수 있다는 것을 보여줌으로써, 가산 논의영역만으로도 1차 술어논리 및 명제 논리를 해석하기에 충분하다는 것을 보여준다. 즉, 완전 해석이 불가능한 해석을 그와 동치인 완전 해석으로 변형할 수 있다는 것이다.
3. 함의
한편 뢰벤하임-스콜렘 정리는 수리 논리학적 정리로서 정리 그 자체의 중요성만큼이나 그것이 함의하는 바의 중요성이 큰 정리이기도 하다. 뢰벤하임-스콜렘 정리를 응용해 철학적인 문제들을 다룬 대표적인 수리철학자가 콰인이다. 윌러드 밴 오먼 콰인 문서에 서술되어 있는 '번역 불확정성' 문제가 바로 이 뢰벤하임-스콜렘 정리로부터 비롯되는 것이다. 우리는 어떤 문장에 대해 그 논리적 구조가 완전히 같은 서로 다른 해석을 생각할 수 있으며, 따라서 번역의 불확정성이 발생한다는 것이 번역 불확정성 문제의 논리학적 근거였다.그리고 이 번역 불확정성 문제는 과학철학에서 말하는 미결정성 문제로 이어진다. 어떤 현상에 대해 똑같은 설명력을 제공하는 논리적 구조가 동일한 이론 [math(T)]와 [math(T')]이 제시될 수 있다는 발상 역시, 뢰벤하임-스콜렘 정리로부터 시작되는 논의의 연장인 것이다.