양상논리

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1. 개요2. 필요성3. 양상의 종류4. 명제 양상논리

4.1. 문법과 기본적 뜻 풀이4.2. 증명 체계

4.2.1. 추론 규칙4.2.2. 공리체계들

4.2.2.1. 체계 K4.2.2.2. 체계 D4.2.2.3. 체계 T4.2.2.4. 체계 B4.2.2.5. 체계 S44.2.2.6. 체계 S5

4.3. 가능세계 의미론

5. 양화 양상논리와 대언/대물 양상 구분6. 양상논리에서 증명할 수 있는 것들7. 양상논리의 응용

7.1. 진리논리7.2. 시제논리

7.2.1. 선형시간(linear time)7.2.2. 비원형 시간(non-circular time)

7.3. 인식논리7.4. 당위논리

8. 참고문헌

1. 개요

양상논리(樣相論理, modal logic)는 표준적인 논리학을 확장하여, 가능성이나 필연성, 당위와 허용 같은 양상(Modality)을 표현하고자 하는 논리체계이다. 즉 양상 논리의 목표는 다음과 같은 명제들 간의 논리적 도출 관계를 체계화하는 것이다:

"사람은 반드시 생물이다."
"고틀로프 프레게는 수학자가 아니라 화가였을 수도 있다."
"굶는 사람이 있다면, 밥을 주는 것이 마땅하다."
"사람이 죽는 것은 필연적이다. 따라서 사람은 죽는다."
"태양계의 행성이 8개인 것은 필연적인 것이 아니다. 따라서 태양계의 행성이 8개가 아닌 것은 가능하다."

2. 필요성

양상논리는 일반적으로, 특히 현대에는 1차 논리에 추가적인 공리 혹은 규칙을 추가하여 확장한 것으로 이해된다. 이때 추가되는 공리 혹은 규칙은 한국어에서 "필연적이다", "가능하다" 등에 대응하는 양상논리 연결사(modal logical connective) 혹은 양상 연산자(modal operator)에 관한 것이다. 이때 새로운 규칙을 도입하는 까닭은 "필연적이다", "가능하다" 같은 표현이 있는 명제들의 논리적 추론을 1차 논리에서는 제시할 수 없기 때문이다.

1차 논리의 논리 연결사들(연언([math(\wedge)]), 선언([math(\vee)]), 조건([math(\to)]), 부정([math(\neg)]))은 진리함수적(truth-functional)이다. 즉 어떤 명제 p가 참인지 거짓인지 결정된다면, p에 논리적 연결사나 다른 명제들을 연결해서 얻은 새로운 명제가 참인지 거짓인지도 형식적으로 결정된다.

예시: "소크라테스는 사람이다"가 참이다. 따라서 "소크라테스는 사람이 아니다"는 거짓이다.

하지만 "필연적이다", "가능하다" 같은 표현에 해당하는 양상논리 연결사는 진리함수적이지 않다. 어떤 명제가 참인지 거짓인지 알 수 있다 한들, 그 명제에 양상논리 연결사를 연결해서 얻은 명제의 진리치가 결정되는 것은 아니기 때문이다.

예시: "삼각형의 세 내각의 합은 180도다"와 "태양계의 행성은 8개다"는 모두 참이다. 그런데 "삼각형의 세 내각의 합이 180도인 것은 필연적이다"는 참인 반면,[1] "태양계의 행성이 8개인 것은 필연적이다"는 거짓이다.

따라서 "필연적이다", "가능하다", 그외에도 "-인 것이 마땅하다", "-인 것이 허용된다" 등을 비롯한 양상논리 연결사가 포함된 명제들의 논리적 추론은 1차 논리의 추론규칙들에만 의지해서는 타당한 추론이 될 수 없으며, 별도의 규칙이 필요하다.

3. 양상의 종류

양상에는 여러 종류가 있으며, 양상 개념들도 그 양상의 종류에 따라 분류된다. 예를 들어 "필연적이다"와 "허용된다"는 둘다 양상 표현이지만, 같은 양상 종류에 속하지는 않는다. 따라서 양상의 종류에 따라 그때 쓰이는 양상논리 체계도 구분된다. 양상 개념의 대표적인 예시들은 다음과 같다:

진리(alethic) 양상 논리: "필연적이다", "가능하다"처럼 가능성과 관련된 양상을 다루는 논리.
인식(epistemic) 양상 논리: "-를 안다"처럼 지식과 관련된 양상을 다루는 논리.
당위(deontic) 양상 논리: "마땅히 -해야한다", "-하는 것이 허용된다"처럼 당위, 도덕 등에 관련된 양상을 다루는 논리.
시제(tense) 양상 논리: "항상", "예전엔", "지금" 등 시간, 시제에 관련된 양상을 다루는 논리.

이처럼 양상의 종류는 제각기 다르지만, 형식적 측면에서 이들 양상 논리 각각은 서로 크게 다르지 않다.

4. 명제 양상논리

4.1. 문법과 기본적 뜻 풀이

명제 양상논리(Propositional Modal Logic) 문법은 표준 명제 논리의 문법에 두 양상 연산자 [math(\Box, \Diamond)]에 관한 문법을 추가한 것이다. 이때 해당 연산자들의 의미를 해석하는 방식은 그때 쓰이는 양상 개념에 따라 다르다.

양상 문장들의 뜻

"[math(\Box P)]"의 의미

진리 양상 논리: "[math(P)]가 필연적이다", "반드시 [math(P)]다"
인식 논리: "[math(P)]는 어떤 시점에 누군가가 알고 있다."[2]
당위 논리: "마땅히 [math(P)]해야 한다."[3]

"[math( \Diamond P)]"의 의미

진리 양상 논리: "[math(P)]가 가능하다", "[math(P)]일 수도 있다"
당위 논리: "[math(P)]하는 것이 허용된다."

이때 [math(\Box, \Diamond)]는 상호 정의 가능하다: "[math(\Box \phi)]"는 "[math(\neg \Diamond \neg \phi)]"와 동치이며, 반대로 "[math(\Diamond \phi)]"는 "[math(\neg \Box \neg \phi)]"와 동치이다. 즉 진리 양상 논리를 예로 들자면 "P가 가능하다"는 "P가 아닌 것이 필연적이지 않다"와 동치이며, "P는 필연적이다"는 "P가 아닌 것이 불가능하다"와 동치이다.

4.2. 증명 체계

문법과 마찬가지로 양상논리의 추론 규칙 또한 표준 논리의 추론 규칙에 새로운 추론 규칙 혹은 공리를 추가하여 확장시킨 것이다. 아래에선 편의상 힐베르트 체계를 바탕으로 추론 규칙을 설명하겠다.[4]

4.2.1. 추론 규칙

양상논리 공리 체계에서는 다음 두 가지 추론 규칙이 쓰인다.

전건 긍정(Modus Ponens): [math(\phi \to \psi, \phi \vdash \psi)]

만약 명제 [math(\phi)]와 명제 [math(\phi \to \psi)]가 나오는 행이 있다면, 그 행들로부터 명제 [math(\psi)]를 도출할 수 있다.[5]

예시. "철수가 학생이면, 철수는 사람이다", "철수는 학생이다" [math(\vdash)] "철수는 사람이다"

필연화(Necessitation): [math(\phi \vdash \Box \phi)]

만약 명제 [math(\phi)]가 나오는 행이 있다면, 그 행으로부터 명제 [math( \Box \phi)]을 도출할 수 있다.

단 이때 [math(\phi)]는 그 자체가 공리이거나 공리(혹은 공리들)로부터 도출된 명제, 즉 정리(theorem)이어야 하며 공리가 아닌 임의의 전제로부터 도출된 명제여서는 안된다.
예시. (진리 양상 논리의 경우) "철수는 학생이거나 학생이 아니다" [math(\vdash)] "철수는 학생이거나 학생이 아니라는 것은 필연적이다"

4.2.2. 공리체계들

앞에서 설명한 것처럼 양상논리 체계는 여러 가지 양상 개념들을 두루 포괄한다. 따라서 어떤 양상 개념을 다루느냐에 공리 또한 달라진다. 그러므로 "양상 논리 체계"는 한 공리 체계만 가리키는게 아니라 여러 공리 체계들을 아우르는 말이다. 또한 아래에 공리'틀'이라고 적혀 있는 것은 각 체계의 공리가 한 문장 혹은 유한한 문장들이 아니라, 공리틀의 형식을 지닌 무한히 많은 문장들이 모두 공리임을 나타내기 위한 것이다.

아래에 설명된 공리 체계들은 그중에서도 "정상(normal) 양상 논리 체계"라고 불리는 양상 논리 체계들 가운데 일부이며, 21세기 현재에 주로 다뤄지는 양상 체계들이다.

4.2.2.1. 체계 K

양상 논리체계 K는 표준 명제 논리의 힐베르트 공리들에 다음 공리틀이 더해진 것이다:

공리틀 K: [math(\Box(\phi \to \psi) \to (\Box \phi \to \Box \psi))]

예시: (진리 양상 논리) 총각이면 독신인게 필연적이고, 철수가 총각인 것이 필연적이라면, 철수가 독신인 것은 필연적이다.

4.2.2.2. 체계 D

양상 논리체계 D는 체계 K에 다음 공리틀이 더해진 것이다:

공리틀 D: [math(\Box \phi \to \Diamond \phi)]

예시: (당위 논리) "어려운 사람을 돕는 것이 마땅하다면, 어려운 사람을 도와도 된다."

4.2.2.3. 체계 T

양상 논리체계 T는 체계 D에 다음 공리틀이 더해진 것이다:

공리틀 T: [math(\Box \phi \to \phi)]

예시: (진리 양상 논리) "H₂O가 물인 것이 필연적이라면, H₂O는 실제로 물이다."

공리틀 T는 당위 논리에 포함되선 안된다고 여겨지는게 일반적이다. 공리틀 T가 당위 논리에 적용된다고 해보자. 그렇다면 경우 다음과 같은 공리가 도출된다.

"친구들은 항상 서로 사이좋게 지내는 것이 마땅하다면, 친구들은 실제로 항상 사이좋게 지낸다"

이게 참된 진술이라면 세상은 참 평화롭겠지만 안타깝게도 이는 명백히 거짓인 것 같다. 따라서 공리틀 T는 당위 논리에 적용될 수 없다고 받아들여진다.

4.2.2.4. 체계 B

양상 논리체계 B는 체계 T에 다음 공리틀이 더해진 것이다:

공리틀 B: [math(\Diamond \Box \phi \to \phi)]

예시: (진리 양상 논리) "H₂O가 물인 것이 필연적인게 가능하다면, H₂O는 실제로 물이다."

4.2.2.5. 체계 S4

양상 논리체계 S4는 체계 T에 다음 공리틀이 더해진 것이다:

공리틀 S4: [math(\Box \phi \to \Box \Box \phi)]

예시: (진리 양상 논리) "H₂O가 물인 것이 필연적이라면, H₂O은 물이라는게 필연적이라는 것은 필연적이다."

공리틀 S4는 인식 논리에서 흔히 "KK 논제"라고 불리며, 공리틀 S4가 인식 논리에 적용되는지 여부는 인식론의 오래된 떡밥 중 하나다. 왜냐면 S4를 받아들이냐 마냐에 따라서 '지식' 개념 범위가 달라지는 것 같기 때문이다.

예시: "눈 앞에 먹이가 있다는 것을 알면, 눈 앞에 먹이가 있다는 것을 안다는 것을 안다."

사람쯤 되는 인지 능력이 뛰어난 동물의 경우 눈 앞에 음식이 있다는 걸 알게 되면 '눈 앞에 음식이 있다!'는 것을 자기가 안다는 점도 아는 것 같다. 반면 청개구리의 경우 눈 앞에 파리가 날아다니는 것을 안다고 한들, '눈 앞에 파리가 있어!'라는 스스로의 앎에 대한 추상적인 앎을 가질만큼 뛰어난 인지 능력을 갖고 있는 것 같지는 않다. 즉 이런 청개구리 같은 사례를 지식에 포함시킬 것인지 여부가 S4 공리(혹은 KK 논제)를 두고 벌어지는 떡밥 중 하나다.

4.2.2.6. 체계 S5

양상 논리체계 S5는 체계 T에 다음 공리틀이 더해진 것이다:

공리틀 S5: [math(\Diamond \phi \to \Box \Diamond \phi)]

예시: (진리 양상 논리) "신이 있는게 가능하다면, 신이 있는게 가능하다는 것은 필연적이다."

공리틀 B와 S4는 S5로부터도 도출가능하다. 그리고 일반적으로 '형이상학적 필연성'에 관한 진리 양상 논리는 체계 S5와 일치한다고 여겨진다.

4.3. 가능세계 의미론

형식 논리에서 '의미론'은 각각의 명제들에 진리치들[6]이 부여되기 조건을 제시하는 이론이며, 이는 곧 수리 모형을 필요로 한다. 양상논리의 통사론 및 증명에 대한 연구가 20세기 초반에 등장한 것과 달리, 양상논리의 의미론은 고트프리트 빌헬름 라이프니츠, 루돌프 카르납 등의 영향을 받아 솔 크립키가 1950년대에 이른바 '크립키 모형' 혹은 '가능세계 의미론'을 제시함으로써 마련되었다고 평가된다.

표준논리의 의미론과 비교했을 때 크립키 모형에서는 순서쌍 [math(\langle W, R\rangle)][7]이 추가된다. "가능세계 집합" [math(W)]는 공집합이 아닌 집합이며, "접근가능성" 관계 [math(R)]은 [math(R \subseteq W \times W)]로 정의된다.

특정 모형이 주어질 때, 표준논리에서 임의의 명제 [math(p)]는 그 자체로 참 혹은 거짓이다.[8][9] 하지만 크립키 모형에서 명제의 참, 거짓 여부는 [math(W)]의 원소인 "가능세계" [math(w)]에 따라 상대적으로 결정되어야만 한다. 요컨대 명제 [math(p)]는 특정한 세계 [math(w)]에서 참이거나 거짓일 수 있을 뿐, "세계를 떠나서" 참이거나 거짓일 수는 없게 된다[10].

위 모형을 도입함으로써 양상 문장들의 의미는 다음과 같이 정의될 수 있다:

진리 양상 논리 기준 (체계 S5) 의미론

"[math(p)]가 가능세계 [math(u)]에서 필연적으로 참이다" i.e. [math(\Box p)]는 [math(u)]에서 참이다. iff 모든 가능세계 [math(w \in W)]에 대해서, [math(w)]가 [math(u)]에서 접근가능하면 [math(p)]가 [math(w)]에서 참이다.[11]
"[math(p)]가 가능세계 [math(u)]에서 가능하다" i.e. [math(\Diamond p)]는 [math(u)]에서 참이다. iff 어떤 (하나 이상의) 가능세계 [math(w \in W)]가 있어서, [math(w)]가 [math(u)]에서 접근가능하고 [math(p)]가 [math(w)]에서 참이다.[12]
"[math(p)]가 (현실에서) 참이다" iff 가능세계 [math(a \in W)]에서 [math(p)]가 참이며, 그 세계 [math(a)]가 바로 현실세계다.

즉 "필연성", "가능성" 같은 개념들이 위와 같이 가능세계들의 집합 [math(W)]과 접근가능성 관계를 통해서 설명될 수 있게 된다. 다만 철학적으로는 [math(W)]의 원소인 가능세계의 형이상학적 지위가 매우 의심스럽다는 점에서 20세기 후반 솔 크립키, 데이빗 루이스, 알빈 플란팅가 등 여러 형이상학자들의 연구가 이어진다.[13]

더불어 접근가능성 관계 [math(R)]은 상기된 각 양상 공리 체계들의 차이를 설명하는데 쓰인다.

체계 K: 제한 없음
체계 D: [math(R)]이 순차적이다[14]
체계 T: [math(R)]이 반사적이다[15]
체계 B: [math(R)]이 반사적이며 대칭적이다[16]
체계 S4: [math(R)]이 반사적이며 전이적이다[17]
체계 S5: [math(R)]이 동치관계다 i.e. [math(R)]이 반사적/대칭적/전이적이다.

가능세계에 대한 문제가 여러 시험에 출제된 바 있다. 2019학년도 수능 국어 영역에서 킬러 지문으로 출제되었으며, LEET 및 PSAT에서 단골로 출제된다. 후자의 두 시험에서 논리 퀴즈 문제들 중 nTnF 문제를 푸는 가장 빠른 방법으로 선지의 부정을 적용하여 귀류법으로(가능세계가 존재하는지 여부를 따져) 푸는 방법이 제시된다.

5. 양화 양상논리와 대언/대물 양상 구분

양화 논리(혹은 '술어 논리')는 명제 논리에 "모두"와 "존재"에 대응하는 논리 연산자인 "양화사"([math(\forall, \exists)])를 도입하여 명제를 더욱 세밀하게 분석하는 논리 체계다. 예를 들어 한국어 문장 "학생이 있다"는 다음과 같이 분석될 수 있다:

한국어 문장: "학생이 있다"

명제 논리 번역 예시: "[math(P)]"
양화 논리 번역 예시: "[math(\exists x Sx)]" (어떤 [math(x)]는 학생이다)

두 번째 예문은 "닫힌 식(closed formula)"이라고 불린다. 변항 '[math(x)]'가 문장 앞의 양화사 '[math(\exists)]'에 의해 "구속되어(bound)" 있고[18] 자유변항이 없기 때문이다. 명제논리에서의 "명제"는 변항 자체가 없기 때문에 양화논리에서의 "닫힌 식"에 해당한다. 보다 자세한 사항은 양화 논리 참조.

양화 양상논리(Quantificational Modal Logic)는 양화 논리에 양상 연산자를 추가한 것으로 정의된다. 그런데 위에서 살펴본 것처럼 명제 양상논리에서 양상 연산자 [math( \Box, \Diamond )]는 대문자로 표기된 명제 기호 [math(P)] 왼쪽에 붙는다. 따라서 양화 논리 관점에서 보자면 이는 곧 닫힌 식 왼쪽에 양상연산자가 붙는 것과 매한가지다.

따라서 위 문단의 예시를 따를 경우, "[math(\Box P)]"와 "[math(\Box \exists x Sx)]"는 그 의미가 같다. 이렇듯 명제 혹은 닫힌 식에 양상 연산자를 붙이는 것을 두고 "대언((對言; De Dicto) 양상" 이라고 부른다. 그 예시는 다음과 같다.

"필연적으로 학생은 존재한다"([math(\Box \exists x Sx)])
"모든 사람이 포유류라는 것은 필연적이다"([math(\Box \forall x (Hx \to Mx))])
"경호는 락커이지만 아이돌이었을 수도 있다"([math(Rg \wedge \Diamond Ig )])

반면 많은 철학자와 논리학자들은 양화 양상 논리에서 양상 연산자가 열린 식, 즉 자유변항이 있는 식 (예. "[math(Sx)]")을 논항으로 취할 수도 있다고 생각한다. 따라서 명제 양상논리로 표현불가능한 것도 양화 양상논리에서는 표현가능하다. 이렇듯 열린 식에 양상 연산자를 붙이는 것을 두고 "대물(對物; De Re) 양상" 이라고 부른다. 그 예시는 다음과 같다:

"모든 것은 필연적으로 물질이다"([math( \forall x \Box Mx )])
"어떤 사람은 변호사일 수는 있지만 개구리일 수는 없다"([math( \exists x (Hx \wedge \Diamond Lx \wedge \neg \Diamond Fx) )]).

일상 언어에서는 대물 양상과 대언 양상이 잘 구별이 되지 않는 경우가 있다. 예컨대 문장 "일어나 있는 어떤 사람은 앉을 수 있다"는 대언 양상으로 이해하면 거짓이지만, 대물 양상으로 이해하면 참이다.

대언 양상: "어떤 사람은 일어나 있으면서 앉을 수 있다" ([math( \Diamond \exists x (Sx \wedge \neg Sx) )]): 거짓
대물 양상: "일어나 있는 어떤 사람은 (원한다면) 앉을 수 있다" ([math( \exists x (Sx \wedge \Diamond \neg Sx) )]): 참

대물 양상과 대언 양상은 이처럼 의미에 있어서 큰 차이를 낳을 뿐 아니라, 형이상학적으로도 중요한 함축을 가진다. 이 때문에 대언 양상이라면 몰라도 대물 양상을 허용해야 할지 말지 여부에 관한 논쟁은 20세기 분석 형이상학에서 큰 논쟁점 중 하나로 다루어졌다.[19]

6. 양상논리에서 증명할 수 있는 것들

피치의 역설: 모든 진리를 알 수 있다면, 모든 진리는 알려져 있다.
신의 존재의 필연성: 본질적 존재는 필연성을 갖고, 신은 본질적 존재이다.

7. 양상논리의 응용

7.1. 진리논리

7.2. 시제논리

시제논리(temporal logic)은 말그대로 시간과 관련된 명제를 다루기 위한 논리이다. 형식적으로 미래와 과거를 다루기 위해 두개의 양상논리를 사용한다.

우선 미래를 다루기 위해 '세계 n이 세계 m에 접근할 수 있다'를 'n이 m보다 시간이 빠른 세계이다'로 해석하고 [math(nBm)]으로 쓴다. 그리고 [math(\Box)]를 [math(G)]로, [math(\Diamond)]를 [math(F)]로 대체한다.

직관적으로 n이 m보다 빠르고 m이 k보다 빠르면 n이 k보다 빠르기 때문에 [math(B)]는 transitive해야한다. 따라서 S4에서 공리 T를 뺀 K4를 사용한다.

[math((m)(n)(k)(mBn \wedge nBk \rightarrow mBk))][20]

반대로 과거를 다루기 위해 '세계 n이 세계 m에 접근할 수 있다'를 'n이 m보다 나중의 세계이다'로 해석하고 [math(nAm(=mBn))]으로 쓴다. 그리고 [math(\Box)]를 [math(H)]로, [math(\Diamond)]를 [math(P)]로 대체한다.

[math(nBm)]: 세계 n이 세계 m보다 더 빠른 시간대에 있다.
[math(Gp)]: 모든 미래에 p이다.
[math(Fp)]: 미래의 어느 순간에 p이다.
[math(Hp)]: 모든 과거에 p였다.
[math(Pp)]: 과거의 어느 순간에 p였다.

7.2.1. 선형시간(linear time)

[math((m)(n)(k)((mBk \wedge nBk) \rightarrow (mBn \vee nBm)))]

7.2.2. 비원형 시간(non-circular time)

[math((m)\neg mBm)]
[math((m)(n)\neg(mBn \wedge nBm))]

7.3. 인식논리

7.4. 당위논리

8. 참고문헌

Girle, Rod. Modal logics and philosophy. Routledge, 2014.
Burgess, John. Philosophical Logic. Princeton University Press, 2009.

[1] 물론 비유클리드 기하학에서 보면 참이 아닐 수 있다.[2] 인식 논리에선 일반적으로 [math(\Box)]보다는 [math(K)]로 표시하는 경우가 더 잦다.[3] 당위 논리에선 일반적으로 [math(\Box)]보다는 [math(O)]로 표시하는 경우가 더 잦다.[4] 표준 논리의 추론 규칙 항목에서 사용하는 게르하르트 겐첸(Gerhard Gentzen)의 자연연역(natural deduction)과는 다른 방식이다. 예를 들어 자연연역에서는 힐베르트 체계보다 추론규칙들이 훨씬 더 많고 공리들은 사용되지 않는다. 힐베르트 체계에 관해서는 해당 링크를 참조[5] 표준 논리 및 삼단논법에서 등장하는 그거 맞다.[6] T, F 혹은 전산학에서 쓰이는 0, 1로 보면 된다.[7] 가능세계들의 집합과 그 집합에 의해 정의된 관계로 이루어진 순서쌍을 '프레임'(frame)이라고 한다. [math(R)] 대신 [math(\prec)]을 쓰기도 한다.[8] 이가원리(principle of bivalence), 즉 명제에 부여되는 진리치는 참과 거짓 둘 뿐이라는 것을 전제하기 때문이다. 참, 거짓 이외의 진리치도 인정하는 다치논리에서는 그렇지 않다.[9] 함수 [math(V)]가 명제에 진리치를 부여하는 함수라고 할 때, 표준 논리에서 [math(p)]가 참이라는 것은 곧 [math(V(p)=1)]인 것이다.[10] 1차 논리에서 [math(V)]가 진리치를 부여하는 함수라고 할 때, 양상 논리에서 [math(V)]는 논항(argument)가 2개인 함수, 즉 2항 연산(2-ary operation)이다. 예를 들어 명제 [math(p)]는 [math(V(p, w)=1)]일 때 그리고 오직 그 경우에만 세계 [math(w)]에서 참이다.[11] ([math(\forall w \in W)(Ruw \to V(p, w)=1)]) 또는 ([math(\forall w \in W)(u \prec w \to V(p, w)=1)])[12] ([math(\exists w \in W)(Ruw \wedge V(p, w)=1)]) 또는 ([math(\exists w \in W)(u \prec w \wedge V(p, w)=1)])[13] 예를 들어 가능세계라는 것이 그저 추상적 개념이거나 언어적인 구성물에 불과한 것인지, 아니면 현실세계가 그러한 것처럼 구체적인 물리적 세계로써 존재하는 것인지 대한 논의를 다룬다.[14] [math(\forall w \exists w': Rww')][15] [math(\forall w: Rww)][16] [math(\forall w, w': Rww' \to Rw'w)][17] [math(\forall x, y, z: (Rxy \wedge Ryz) \to Rxz)] '전이적'이라는 표현 대신 '추이적', 혹은 '이행적'이라는 표현을 써도 된다.[18] 반면 열린 식(open formula)의 예시로는 "[math(Fx)]"가 있다. 변항 '[math(x)]'가 어떤 양화사에 의해서도 구속되어 있지 않기 때문이다. 이러한 변항을 '자유변항'(free variable)이라고 한다.[19] 그 대표적인 문제점이 이른바 '통세계적 동일성(trans-world identity)' 문제이다. 개략적인 소개를 위해서는 이창후 박사의 소개문을 보면 좋고, 좀더 제대로 알아보기 위해선 솔 크립키의 Naming and Necessity(한국 번역서명 『이름과 필연』) 1강의 내용이 고전적인 내용이다.[20] [math((x))]는 [math((\forall x))]의 준말.