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최근 수정 시각 : 2020-03-09 09:18:58

해석학(수학)

파일:나무위키+하위문서.png   하위 문서: 푸리에 해석

解析學[1] / Analysis

1. 개요2. 대학의 학과 과목으로서 해석학
2.1. 복소해석학2.2. 실해석학2.3. 수학과, 수학교육과 학생의 경우
3. 교과서
3.1. 학부3.2. 대학원
4. 관련 인물

1. 개요

수학의 한 분야로, 기본적인 정의는 함수를 연구하는 학문이다. 물론 모든 함수를 다 연구하는 것은 아니고, 주로 실수복소수 위에서의 함수들과 연속성 등을 탐구하게 된다. 연속성을 탐구하는 다른 학문인 위상수학과의 차이는, 연속성을 '수량화'했다는 것이다. 실제로 연구자들에게 해석학은 끝없는 계산으로 악명 높다. 수치해석은 이름도 비슷하고 해석학과 연관도 있긴 하나 엄밀히 말하면 해석학의 한 종류가 아닌 별개의 다른 과목이라고 보는게 맞다.[2]

해석학은 미적분학의 수학적 기초를 엄밀하게 세우면서 출발했다. 미적분학이 태동할 17~18세기의 수학은 직관적인 이해로부터 출발하는 것이 당연했고, 수 체계나 집합과 같이 오늘날에는 엄밀하게 정의되어 있는 개념들이 그 당시에는 직관적으로만 이해되고 있었다. 마치 고등학교 과정 미적분에서 극한의 정의, 중간값 정리, 최댓값/최솟값 정리이 증명에 대한 엄밀한 고찰을 모두 생략한 것과 비슷하다. 물론 수학이 발전하면서 이 빈틈으로부터 여러 모순이 발견되었으며, 수학자들은 극한에 대하여 엄밀하게 정의하는 것이 필요함을 인식하게 되었다. 애매한 무한소 개념을 대체하는 코시(Cauchy)의 악명높은 엡실론-델타 정의를 시작으로[3] 이 노력이 근대까지 이어진 것이 초창기의 해석학이다. 특히 18세기 말부터 19세기 초까지 칸토어가 푸리에 급수를 연구하면서 집합론을 세우고, 데데킨트 등의 수학자들에 의하여 실수계가 엄밀하게 정의된 것이 오늘날과 같은 모습의 해석학을 발전시키는 토대가 되었다고 할 수 있다.

현대의 해석학은 미적분학과는 연관성을 알아볼 수 없을 정도로 다양하게 발전하였다. 르베그 공간(Lebesgue space), 힐베르트 공간(Hilbert space), 바나흐 공간(Banach space)등의 성질과 작용소(Operator)를 연구하는 함수해석학(Functional Analysis), 측도 공간을 넘어 위상군(Topological group)이나 비 가환군(Non-commutative group)에서 푸리에 해석을 연구하는 조화해석학(Harmonic Analysis), 불규칙한 운동을 연구하는 에르고드 이론(Ergodic thoery), p진수를 변수로 갖는 함수를 연구하는 p진 해석학(P-adic Analysis)등의 많은 세부분야가 생겼을 뿐만 아니라, 정수론이나 기하학을 포함한 수학의 전 분야에 영향을 끼치고 있다.

확률론편미분방정식, 미분기하학 등 많은 분야의 기초가 되는 만큼, 전공자가 아니더라도 수학을 조금이라도 사용하게 된다면 한 번쯤 접하게 되는 분야이기도 하다.

2. 대학의 학과 과목으로서 해석학


고등학교때 미적분학을 열심히 했더라도 극한의 새로운 정의[6]"가 기다리고 있다. 엡실론(ε)델타(δ)가 중요하다. 어렵긴 하지만, 이걸 버리고 전개하는 해석학은 있을 수 없다. 참고로 한국어 표기 과정에서 엡실론(έψιλον)을 입실론(ύψιλον)과 혼동하는 이들이 꽤 많으니 역서를 읽거나 한국어로 말할 경우 주의할 필요가 있다. 해석학 수업시간에는 질문이 나오지 않는다. 왜냐하면 중간 수준이 없어서 잘 아는 학생은 질문할 것이 없을 정도로 잘 알고, 모르는 학생은 무엇을 질문해야 하는지조차 모를 정도이기 때문. 고등학생 때 배워서 아무 생각 없이 사용했던 대부분의 미적분 관련 공식들을 증명하게 된다. 고등학교에서 연속성에 관한 많은 성질들에 대한 증명들이 죄다 생략된 이유가 이 때문이다. 예로 사잇값 정리를 증명하기 위해서 compact set과 connected set을 비롯한 많은 개념과 성질이 필요하다. 학부생들도 쩔쩔매는 걸 고등학생들이 무슨 수로 하겠는가...

해석학에서는 주로 함수의 연속성과 최댓값/최솟값의 존재성[7], 미분과 적분의 해석학적 정의, 다변수 함수의 성질에 대한 내용들이 소개되며, 나오는 정의 대부분이 처음 접하는 내용이거나 다소 받아들이기 힘든 내용인 데다가 증명 과정도 이해하기가 쉽지 않다. 그도 그럴 것이, 해석학에서는 미적분학에서 배운 것들을 증명하기 위한 개념을 도입하는데, 연속성은 그렇다 치더라도 compact[8]라는 개념을 배우면 머리가 안드로메다로 가는게 부지기수.
그리고 compact라는 개념이 중요한 이유는 우리가 아는 실수 공간의 수열들의 성질들을 일반화 시키는 데 강력한 도움을 주기 때문이다. 만약 compact를 한 큐에 이해할 수 있다면 꼭 해석학/위상수학 계열의 수학자가 되기를 바란다.

compact set을 쉽게 비유해서 설명하자면, 어떤 도형 P를 여러 개의 도장들의 모임으로 찍어서 덮는데 이러한 도장들 중에서 유한개만을 뽑아내서 P를 덮을 수 있을까? 덮지 못하는 도장들의 모임이 있다면, P는 compact하지 않다. 즉, P를 덮을 수 있는 임의의 도장들의 모임에서 유한 개만 뽑아서 P를 덮을 수 있어야 P가 compact하다. [9]

참고로, 3년제인 유럽의 대학은 미적분학이라는 게 없다[10]. 입학하면 바로 해석학으로 시작하며, 덕분에 수학과 첫 학기 낙제율은 거의 항상 80%가 넘어간다. 물론, 장기적으로 보면 수학의 분야 중에서는 해석학 자체가 굉장히 어려운 분야는 아니다. 오히려 해석학은 짬이 조금 차면 자연스레 할 수 있게 되며, 초반에 어느 선까지만 강렬하게 머리를 불살라주면 그 이후부터는 꽤 편해지는 과목이다. 사실, 수학과 고학년들은 해석학보다 대수학을 더 어렵게 생각한다.[11] 해석학은 노력하면 충분히 잘 해낼 수 있다는 평이 많다.

실수를 유리수 코시수열 modulo(극한값이 같다)로 정의한다. modulo는 사칙연산의 나머지를 추상화시킨 것인데, 모든 유리수 코시수열을 수렴값이 같다라는 관계로 나누어 그 나머지를 이루는 coset을 각각의 실수로 정의한 것이다. 즉, 0으로 수렴하는 모든 유리수 코시수열의 집합을 0, 1로 수렴하는 모든 유리수 코시수열의 집합을 1, 이런식으로 정의해서 사용하기도 한다. 참고로, 이것은 칸토어의 방법론이고, 이보다 먼저 데데킨트가 데데킨트 절단(Dedekind’s cut)이라는 방법으로 유리수에서 실수를 구성했는데, 역사적인 이유로 데데킨트의 방법론을 가르치는 경우가 더 많다. 

해석학에서는 실수집합을 추상화시킨 집합, 즉 실수집합과 비슷한 성질을 가진 집합에서 정의된 함수에 대해서도 미분과 적분을 할 수 있도록 확장시킨다. 그럼 먼저 실수집합이 어떤 성질을 갖고 있는지 파악해야 실수집합과 비슷한 성질을 가진 집합이 어떤 집합인지 판단할 수 있게 되는데 이 분야를 일반위상수학(general topology)이라 한다.위상수학이라 하면 구멍이니 도넛이니 매듭이니 이런 것을 떠올릴 수 있겠지만 사실 위상수학은 집합의 원소들이 이루는 공간을 포함관계의 측면에서 다루는 학문이다. 일반위상수학의 논리 전개는 집합을 대상으로 하는 논리적 판단이 대부분이므로 집합론에 대한 학습이 필수적이다. 실수집합이 아닌 집합에서 정의되는 함수에 대해서 미적분을 논하는 가장 기본적인 예시는 확률론이다. 확률은 확률이 부여되는 사건집합(event set)에서 정의되는 함수이고 기댓값은 사건집합에서 정의되는 함수에 대한 적분이 된다. 따라서 확률론은 기본적으로 해석학에 속한다.

적분은 구간 내 함숫값*구간길이를 다 더한 것이므로 함수를 적분하려면 구간길이를 따져야 한다. 이 구간의 길이, 즉 집합의 크기의 개념에 다루는 학문이 측도론이다.

2.1. 복소해석학

문서 참조.

2.2. 실해석학

집합에서 구간의 길이를 따지는 것을 측도론(measure theory)이라고 한다. 예컨대 일반적인 구간의 측도는 양 끝 점의 차이로 구할 수 있다. 단일 실수의 길이는 0이다. 이것은 측도의 정의를 사용해서 증명할 수 있다. 점이 유한 개가 아닌 무한 개라도 길이가 0일 수 있는데, 유리수의 집합이 대표적인 예이다. 무리수 집합은 실수와 길이가 같다. 무리수는 셀 수 없는 무한 집합이고 유리수는 셀 수 있는(유한이라는 것이 아니라 자연수 집합과 일대일 대응이 되는 집합이다.) 이렇게 보면 셀 수 없는 무한집합은 길이가 항상 있을 것으로 보이지만. 칸토어 집합같이 셀 수 없는(그 크기가 자연수와 일대일 대응이 안되는 개념이다. 이것을 이해하는 것은 무한개념이 있는 집합론을 이해해야 한다) 무한 집합이지만 길이가 0 인 특별한 케이스도 있다. 이 모든 것을 논리적으로 판단하는 개념이 측도론이다.

그냥 구간 길이 정도로 파악하면 되는 측도론을 굳이 배우는 중요한 이유는 어찌 보면 실수의 모든 부분 집합이 측도 값을 가지겠네 하겠지만 그것이 아니라는 반전이 있기 때문이다! 즉 측도의 가장 실생활에 밀접한 형태인 '길이'라는 개념을 볼 때 실수의 모든 부분집합 중에는 '길이'를 부여할 수 없는 부분집합이 존재하기 때문이다! (사실, 실수 집합의 부분집합 중에서 길이를 갖지 않는 집합이 존재한다는 것 자체가 선택공리와 동치이다.)

따라서 실수의 부분집합 중에서 측도를 부여할 수 있는 부분집합 체계를 엄밀하게 정의해야 하고 적분이라는 것을 정의하려면 그 측정가능한 집합(measurable set) 상에서 정의된 함수에 국한해야 하는 상황이 된다. 당연히 측정가능한 집합이란 무엇이며 측도라는 것이 무엇이며 여러가지 예시에 대한 논리적 판단의 경험을 통해 이를 구별해야 한다. 이를 이해하는 데는 상당한 시간이 걸린다.

측도론을 공부를 했으면 '적분이란 구간 내 함수값*구간길이 를 모두 더한 것' 이란 개념에서 구간의 길이라는 것이 무엇인지 감이 잡히게 된다. 이제 구간 내 함수값을 따져보자. 고딩수학에서는 구간내 함수값을 왼쪽 끝, 오른쪽 끝, 중앙 중에서 선택하는데, 해석학에서는 이 조건을 좀더 느슨하게 풀 수 있다. 즉, 구간의 어느 함수값을 잡아도 구간길이가 무한소로 가면 특정한 극한 값으로 수렴하므로 이런 느슨한 일반화를 할 수 있는 것이다. 이렇게 정의한 적분의 정의를 리만적분이라고 한다.[12]

이 리만 적분에는 문제가 있다. 연속함수에서는 문제가 있는 예가 나타나지 않는다. 하지만 함수가 '유리수일 때에는 0, 무리수일 때에는 1을 가지는 특이한 경우([math(\bold{1}_{\mathbb{I}})])'에는 구간을 어떻게 자르느냐에 따라서 다른 값으로 수렴하므로 리만적분값은 존재하지 않게 된다.[13] 또한 적분값의 수열이 수렴하지 않는 경우가 발생한다.

이는 심각한 문제가 된다. 실수는 코시 수열의 수렴값들로 정의되므로, 만약 실수를 인정하지 않는다면 정사각형의 대각선의 길이는 생각도 하지 말아야 하는 것이다. 또한 많은 수학적 정의가 수열의 극한이 존재한다는 것을 전제한 것인데, 만약 수열이 수렴하지 않으면 수학적 존재의 정의를 수열로 할 수 없게 된다. 어떤 확률의 기대값은 적분값이지만 적분값이 수렴을 보장할 수 없다면 확률론에서 기대값의 수열의 극한으로 뭔가를 정의할 수 없게 되므로 이론적 모형으로서는 치명적이다. 게다가 물리의 양자역학은 모든 측정값은 확률의 기대값으로 계산되므로 리만적분의 약점은 양자역학의 이론적 도구로서의 결함을 의미한다.

이 문제를 해결하기 위해서 르베그 적분은 '구간 내 함수값*구간 길이 를 모두 더한 것' 이라는 접근 방법을 취하는 리만 적분과는 근본적으로 다른 접근 방법을 취한다. '함수값과 그 함수값을 갖는 집합의 측도들의 합' 으로 접근하는 것이다. 예컨대 f(x)를 적분할 때 f(x)를 계단으로 근사한 다음 각 계단 높이, 예컨대 f(x)=0.3 이 되는 x의 집합(이 집합은 f(x)가 sin(x)같은 들쭉날쭉한 함수라면 리만적분같은 소구간이 아니라 실수상에 퍼져있는 집합이 된다.)의 측도가 2 라면 0.3*2 를 취한다. 이 과정을 f(x)의 모든 계단 높이에 대해서 구한 값을 다 더하면 적분이 되는 것이다. 매끄러운 함수는 이런 근사 계단을 통해 극한으로 정의를 하고, 디리끌레 함수처럼 미친년 널뛰기 하는 어디서도 불연속인 함수도 앞서 정의한 함수들의 극한으로 정의가 되니 애초에 문제가 되었던 디리끌레 함수처럼 리만적분이 불가능한 적분이라든지 적분값의 극한 문제들이 해결된다. 또한 어떤 함수 f가 어떤 구간에서 리만적분가능할 필요충분조건은 f가 그 구간의 거의 모든 점에서(almost everywhere) 연속[14]이라는 것도 알 수 있다.

이런 엄밀한 과정을 통해서 르베그 적분이 가능한 객관적 기준이 분명 존재한다. (무턱대고 모든 함수가 다 르베그 적분이 가능한 것은 아니다.)르베그 적분이 되면 적분상에서 극한 표현 같은 것이 보장된다. 이는 물리학이나 공학에서 요구하는 타당한 이론적 도구임을 보장하는 것으로서 물리학이나 공학 책에 L2공간 이라고 흔히 보는 것이 거기서 함수를 논하려면 제곱한 것이 르베그 적분이 되는가 를 보장한다는 징표임을 뜻한다. (제곱을 따지는 이유는 물리학에서 불확실성을 나타내려고 분산 개념을 사용하기 때문이고 공학에서는 power가 대부분 제곱차원이기 때문이다.)

이를 통해서 기존의 단점을 보완한 새로운 개념의 르베그 적분을 도입하였지만 실용적으로 계산하는 부분에서는 르베그 적분이나 리만적분이나 방법이 차이가 나지 않는다. 따라서 해석학 책의 다음 부분은 리만적분과 대부분은 같다는 이론적인 전개이다.(이 때문에 물리학과에서는 그냥 르베그 적분을 몰라도 공부하는 데는 지장 없다. 어차피 디리끌레 함수 같은 특이한 함수는 물리학에서 거의 사용하지 않기 때문이다.)

다만 다중적분의 적분 순서가 바뀌는 문제는 수학 전공자에게는 문제가 된다. 적분은 본질적으로 극한이고, 극한이란 건 특별한 조건이 붙어있지 않는 한 순서를 바꾸었을 때의 결과가 원래의 결과와 같다는 보장이 없기 때문이다. 실제로도 일반위상적으로 특이한 조건 하에서는 르베그 적분에서 적분 순서를 바꿀 수 없다. 하지만 그런 아주 특수한 조건을 제외하면 항상 바꿀 수 있으므로 공대와 물리학과에서 다루는 평이한 공간에서는 그냥 생각없이 적분 순서를 바꿀 수 있는 것이다. [15]

그런 다음 해석학에서는 함수공간을 다룬다. 르베그 적분 가능한 집합들을 마치 실수공간처럼 접근한다. 그 이유는 증명할 때에 테크닉으로 사용되기 때문이다. 예컨대 미분방정식의 해가 존재하는가 하는 증명을 할 때에 미분방정식의 해는 실수가 아니라 함수인데 마치 실수의 근을 수치적으로 찾을 때 해에 가까워지는 알고리즘을 설정해 그 근으로 해를 찾듯이 미분방정식의 해가 되는 함수를 마치 알고리즘에 따른 수열로 설정하고 그 수열의 극한을 미분방정식의 해로 증명하는 것이다. 여기서 실수의 경우는 알고리즘으로 찾아가는 수열은 반드시 수렴한다는 것인데 그것은 실수가 이미 코시 수열은 수렴하는 성질이 있기 때문이다. 함수공간도 이런 성질을 갖는 것이 확인 되면 그 함수공간 내의 함수 열이 코시수열이다는 것(함수간의 거리를 따지고 그 거리에 의해서 코시수열을 정의)만 밝혀도 극한이 존재한다는 것을 증명할 수 있다. 즉 미분방정식의 해는 반드시 존재하는 것이다. 이와 같은 증명에 테크닉으로 이용될 수 있으므로 함수공간의 이해는 해석학에서 다루는 주제가 된다.

더 깊게 나아가면 다루는 함수공간의 작용소라는걸 배우게 되는데, 순수 수학적으로 접근하면 이때 대수학의 기법이 상당수 사용된다. 이는 함수해석학의 세부분야로 작용소 대수라는 학문으로, 이 정도 수준에 이르르면 사실상 미적분학과의 연관성이 많이 상실되며 높은 추상화 단계에 이르르게 된다. 유명한 수학자인 폰 노이만이 정의한 폰 노이만 대수의 개념도 볼 기회가 있다. 만약 여기서 더 나아간다면 비가환 기하학이라는 분야에 입문하게 될 것이다. 이쪽 분야의 창시자로 알랭 콘 이라는 필즈상 수상자가 있다.

함수의 정의를 측정가능한 집합상에서 했기 때문에 이에 대한 미분 개념을 정의할 수 있다. 단 함수에서 정의된 집합이면 기울기 개념 같은 것은 없어지고 Radon-Nikodym 도함수라는 개념이 생긴다. 이것은 미분과는 일견 전혀 닯은 점은 없어 보이지만 집합이 실수 집합일 경우에는 이것은 도함수의 개념으로 축소된다. 하지만 좀 더 넓은 개념으로 사용되는데, 예컨대 확률론에선는 조건부 기댓값, 통계에서는 확률밀도함수 개념이 바로 이 Radon-Nikodym 도함수 개념이다.

함수의 정의가 집합으로 확장되었기 때문에 훨씬 다양한 환경에서 적분 이론을 사용할 수 있다. 2차원, 3차원은 말할 것도 없고 복소수 공간 뿐 아니라 꼬이고 꼬인 집합 등등, 기본 조건만 충족되면 많은 다양한 공간에서 적분 이론을 전개할 수 있게 하므로 특수한 공학적 문제에 이론적인 도구를 제공할 수 있다.

마지막으로 좀 느슨한 조건의 함수 (예: 디랙 델타 함수) 같은 것에 대해서도 엄밀한 이론적 토대를 제공하는 방법을 배우거나 푸리에 해석 같은 것을 앞서 배운 이론적 틀로 재구성해서 배운다.

2.3. 수학과, 수학교육과 학생의 경우

주로 학부 2학년 때 선형대수학과 함께 수강하며, 처음으로 배우는 진짜 수학이라고들 한다. 물론 선형대수학도 있지만, 선형대수는 상대적으로 친숙(?)한 벡터와 행렬이 나오므로 쉽게들 느낀다. 물론, 이건 가르치는 사람에 따라 다른데, 선형대수학을 들으러 오는 다른 전공 학생들을 의식해(혹은 교수 본인이 응용수학 전공이라거나) 3차원 이하의 유클리드 공간으로 한정하여 벡터와 함수등을 이용해 직관적으로 매우 쉽게 가르치는 교수가 있을 수도 있지만, 수학과라면 선형대수학을 순수하게 수학적으로 접근하여 행렬등을 거의 사용하지 않고 대수적으로 접근하여 선형함수를 이용하여 가르치고 그와중에 카테고리, Functor 같은 추상적인 개념들까지 이용하여 넘사벽의 난이도로 가르쳐 선형대수를 훨씬 난해하게 느끼는 경우도 많다.(예를 들어 서울대 선형대수학 강좌교재인 선형대수와 군의 구성은 정의-명제-증명-...의 연속이다. 우리의 철학) 반면, 해석학은 그런 경우가 없이 난이도가 비교적 표준적이다. 나중에 해석학을 많이 공부하다 보면, 선형대수의 철학과 해석학의 철학이 만나는 접점이 나타난다. 자세한 것은 무한차원 선형대수학이라 불리는 함수해석학을 찾아보도록.

어렵지만 대수학과 해석학은 수학의 핵심 과목[16]이라서 이 둘을 잘 해놓아야지만 앞으로의 갈 길이 편하다. 실해석학, 복소해석학, 편미분방정식, 확률론 등의 과목이 기본적으로 해석학의 내용을 바탕으로 전개되기 때문이다.[17] 단순히 과목 내용뿐만 아니라, 수학의 각 부분에서 사용되는 여러 가지 중요한 증명 스킬 역시 여기에서 배운다. 다만 복소해석학의 경우는 코시-리만 방정식 정도는 왜 성립하는지 정도는 익혀두는 게 좋다. 이변수 함수의 편미분을 할 수 있다면 충분히 가능하다.

사실 학부 때 배우는 모든 내용이 그렇지만, 해석학과 선형대수, 그리고 대수학은 사실 가장 중요하면서도 쓸모없는 과목이기도 하다. 그 이유는, 학부때 배우는 해석학이나 대수학은 본격적인 수학이라기보다 수학에서 알파벳과 같이 쓰이는 개념들의 습득이 목적이기 때문에 반드시 알아야 하지만, 그것만 갖고는 할 수 있는 게 거의 없기때문이다. 본격적인 수학은 그 개념들을 이용하여 빨라봤자 석사 시절부터 배우기 시작한다고 보면 된다.

해석학을 단학기로 끝내지 않고 1년 내내 배울 경우, 기초적인 푸리에 해석과 실해석학[18]에 대한 맛보기를 할 수도 있다. 김김계가 대표적인 예. 물론 경우에 따라서는 측도를 다루지 않고 다변수 해석과 다양체(manifold)에 관한 부분을 다룰 수도 있다. [19] 물론 배우는 입장에서는 (일부를 제외하고는) 죽어나간다...만 그건 가르치는 강의하는 교수님에 따라 달렸다.

대학원에 진학하면 편미분방정식, 함수해석, 조화해석 등등의 여러 계통으로 나뉘어 본격적으로 전문적인 수학과목에 입문하고 최신연구주제나 분야들도 접할 기회가 생기게 된다. 하지만 해석학과 완전히 상관없는 과목을 전공하게 된다면 전공시험을 통과한 이후 복잡하고 까다로웠던 과목 취급받으면서 서서히 잊혀져간다. 물론, 그렇다고 해도 세부적인 부분까지 파고 들어가지만 않을 뿐, 해석학에서 사용하던 기본적인 개념들은 분야가 달라도 종종 튀어나오므로 완전히 잊는것은 불가능하다.[20]

함수해석학의 경우 선형대수학의 선형사상과 밀접한 연관이 있다. 진정한 해석학 굇수가 되고 싶다면, 선형대수도 열심히 공부할 것을 추천한다. 물론 함수해석학도 깊게 들어가면 더이상 Linear가 아니게 되는 경우도 많이 등장하지만, 기본이 이 선형사상이기 때문이다.

3. 교과서

3.1. 학부

3.2. 대학원

4. 관련 인물

해석학 관련 인물들로는 오귀스탱 루이 코시(Augustin Louis Cauchy), 조제프 푸리에(Joseph Fourier), 브룩 테일러(Brook Taylor), 베른하르트 리만(Bernhard Riemann), 카를 바이어슈트라스(Karl Weierstraß), 앙리레옹 르베그(Henri-Léon Lebesgue) 등이 있다. 복소해석학을 공부하다 보면 카를 프리드리히 가우스(Carl Friedrich Gauß)와 르죈 디리클레(Lejeune Dirichlet)도 자주 만나게 된다. 덧붙여서 테렌스 타오의 박사 전공이 조화 해석학이다.


[1] '번역하다'라는 의미로 쓰이는 '해석'은 解釋으로 한자가 다르다.[2] 수치해석은 전산학과도 연관이 깊다.[3] 대학교 1학년 미적분학 거의 첫 시간에 배우는데, 자연 언어를 수학 기호로 표현하면 어디까지 난해해질 수 있는지를 제대로 체험하게 된다.​큰 엄밀함에는 큰 난해함이 따르는 법이다 이걸 한 번에 이해하면 천상 수학과라는 말은 빈말이 아니다.[4] 김성기, 김도한, 계승혁이 공동저술한 해석개론을 기준으로 작성되었다.[5] 기수, 선택공리, 순서수도 공부해두면 아이디어를 찾을 때 도움이 된다.[6] 보통 이공계 1학년 미적분학 시간에 처음으로 언급된다.[7] 여기까지는 위상수학에서 거리 공간(metric space)을 다루는 부분과 상당히 공통적이다.[8] 컴팩트 디스크 할 때 나오는 그 컴팩트이다. 작은데 용량은 꽉 찬 디스크를 컴팩트 디스크라 부르듯, 작고 꽉찬 집합. 간단한 예로, 유클리드 공간 RnR^{n} 의 부분집합이 유계이고 닫혀 있으면 긴밀집합이며, 그 역도 성립한다. 무한 차원 벡터공간에서는 역만 성립한다. 대한수학회에서는 '옹골 집합'이라고 번역하고 있으며 일부 서적에서도 그런 용어를 쓰지만(Rudin 3판 번역본, 김김계 등), 일반 학생들은 그거 먹는 건가요 급으로 인지도가 낮은지라 대학 수업에서는 원어 그대로 그냥 compact라고 하는 경우가 많다.[9] compact는 본래 위상수학(topology)에서 쓰는 개념이다. 닫힌 집합을 일반화하기 위해서 여러 시도를 하다가 나온 결과물 중 하나가 compact이므로 이 개념은 굉장히 직관적이지 않고 왜 그렇게 설계했는지 더 공부를 해보기 전에는 알 수도 없다. 당연한 소리겠지만 위상수학 역시 학생들이 가장 난해해 하는 과목 중 하나다(그래서 학생들 사이에서 쓰이는 별명이 '또모르지'다(...)). 그나마 해석학의 compact는 학기가 끝날 때쯤이면 모든 수강생이 그렇겠거니 하며 고개를 끄덕일 수 있지만 위상수학에서 다뤄지는 일반화된 compactness의 개념과 여러 종류의 서로 equivalent하지 않은 compactness는 그야말로 놀람과 충격.[10] 고등학교 정규 과정에 미적분이 포함되는 경우가 대부분이다.[11] 어려운 해석문제는 증명과정에서 계산이 매우 복잡하거나 술술 나가다가 어느 한 부분에서 막히는 경우가 많은 반면, 대수문제는 어느 순간 반짝 하고 튀어나오는 아이디어를 요구하는 문제가 많은지라 제대로 된 방향을 잡지 못하면 아예 시작조차 못하는 경우가 태반이며, 이것 때문에 알고 보면 간단한 증명문제를 며칠씩, 심하면 몇 달씩 고민하는 경우도 많다.[12] 다만 일반적인 해석학 책에서는 리만 적분->측도론/르벡적분 순으로 단원을 나열한다.[13] 이 함수는 수학자 르죈 디리클레(Lejeune Dirichlet)의 이름을 따 디리클레 함수라고 부른다.[14] 즉, 불연속점의 르벡 측도가 0이라는 뜻.[15] 수학전공자와 물리전공자가 여기서 차이가 나는데 수학 전공자는 조건에 대한 아무런 단서가 없다면 적분순서 변경이 가능한지 논리적으로 따지고 간다.[16] 기하학은 이들을 이용해서 다루는 대상에 가깝다.[17] 다른 말로는 수학을 전공하기 위한 기초과목이라는 뜻이다. 그러니까 수학과에 진입하면 선형대수학과 함께 바로 배우도록 한다는 말. 하지만 수업에는 재수강생이 넘쳐나고[18] 여기서는 '측도(measure)'라는 개념을 이용하여 리만적분과 다른 방식으로 미분과 적분을 정의한다. 아이디어는 르베그라는 수학자가 냈다. 이걸 제대로 배우는 건 학부 고학년이나 대학원 가서 한다.[19] 해석학 과목의 처음부분, 즉 기초위상, 수열, 미분과 적분, 급수 등은 학교나 강의하는 사람에 관계없이 다 똑같지만 나머지 부분은 무엇을 가르칠지에 대해서 사람마다 의견이 갈리는 편이다.[20] 완전히 상관이 없다면 애초에 학부 1학년부터 대수와 해석학 전공생을 나누어 가르쳤을 것이다.[21] 위에 루딘 PMA처럼 본문 내용을 이해했다 해도 연습문제를 보는 순간 책을 덮고 싶을 수준으로 문제 난이도도 흉악하다.[22] 그런데 머릿말에는 '논리적인 측면에서만 본다면 어린이도 이 책을 공부할 수 있다.'라고 써져 있다. Baby Rudin[23] 실제로 서울대학교에서는 2권을 학부 복소함수론 교재로 사용하며 연세대학교에서도 간혹 채용한다, 1권도 서울대학교KAIST에서 학부 푸리에해석 교재로 사용한다.[24] 예를 들어 2권 복소해석에서는 1권 푸리에 해석에서 배운 내용을 모두 알고 있다고 전제하고 1권의 내용을 증명 없이 가져다 쓴다.

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