부분적분/예제

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1. 예제 12. 예제 23. 예제 34. 예제 4

1. 예제 1

[문제]

[math(\ln{x})]의 역도함수를 구하시오.

[풀이 보기]

-----
주어진 피적분함수를 [math(f(x))]로 놓고, 다음과 같이 설정하자.[1]

[math(\displaystyle f(x)=\ln{x} ,\; g'(x)=1 \, \rightarrow \, \displaystyle f'(x)=\frac{1}{x},\;g(x)=x )]

부분적분 공식에 대입하면 다음과 같다. [math(\mathsf{const.})]는 적분 상수이다.

[math(\displaystyle \begin{aligned} \int \ln{x}\,\mathrm{d}x &= x\ln{x}-\int \frac{1}{x} \cdot x\,\mathrm{d}x \\ &=x\ln{x}-x+\mathsf{const.} \end{aligned} )]

2. 예제 2

[문제]

[math(e^{x}\cos{x})]의 역도함수를 구하시오.

[풀이 보기]

-----
위에서 다뤘던 LIATE 법칙 때문에, 미분된 함수를 삼각함수로 놓는 것이 나으므로 다음과 같이 설정하자.

[math(\displaystyle f(x)=e^{x} ,\;g'(x)=\cos{x} \, \rightarrow \,\displaystyle f'(x)=e^{x},\; g(x)=\sin{x} )]

부분적분 공식에 대입하면,

[math(\displaystyle \begin{aligned} \int e^{x}\cos{x}\,\mathrm{d}x = e^{x}\sin{x}-\int e^{x}\sin{x} \,\mathrm{d}x \end{aligned} )]

우변의 제2항에 대해 다시 부분적분해야 한다. 함수의 꼴은 같으므로 위와 같은 방법으로 부분적분하면 된다. [math(\mathsf{const.})]는 적분 상수이다.

[math(\begin{aligned}\displaystyle \int e^{x}\sin{x} \,\mathrm{d}x&=-e^{x}\cos{x}+\int e^{x}\cos{x}\,\mathrm{d}x\\\displaystyle \int e^{x}\cos{x}\,\mathrm{d}x &= e^{x}\sin{x}+e^{x}\cos{x}-\int e^{x}\cos{x}\,\mathrm{d}x\\\therefore\displaystyle\int e^{x}\cos{x}\,\mathrm{d}x&=\frac{1}{2} e^{x}(\sin{x}+\cos{x})+ \mathsf{const.} \end{aligned} )]

[별해]
도표적분법을 사용한다.

	[math(\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x})]	[math(\displaystyle \int \,\mathrm{d}x)]
[math(+)]	[math(\cos{x})]	[math(e^{x})]	[math(\displaystyle \int e^{x} \cos{x} \,\mathrm{d}x=)]
[math(-)]	[math(-\sin{x})]	[math(e^{x})]	[math(\displaystyle +e^{x}\cos{x})]
[math(+)]	[math(-\cos{x})]	[math(e^{x})]	[math(\displaystyle +e^{x}\sin{x})]
[math(\rightarrow)]			[math(\displaystyle -\int e^{x} \cos{x} \,\mathrm{d}x)]

[math(\begin{aligned}\therefore\displaystyle \int e^{x} \cos{x} \,\mathrm{d}x &=e^{x}(\sin{x}+\cos{x})-\int e^{x} \cos{x} \,\mathrm{d}x \\ &=\frac{1}{2} e^{x}(\sin{x}+\cos{x})+\mathsf{const.} \end{aligned} )]

3. 예제 3

[문제]

[math(\ln x \sin{x})]의 역도함수를 구하시오.[2]

[풀이 보기]

-----
LIATE 법칙에 따라, 미분된 함수를 삼각함수로 놓는 것이 나으므로 다음과 같이 설정하자.

[math(\displaystyle f(x)=\ln x,\;g'(x)=\sin{x} \, \to \, \displaystyle f'(x)=\frac{1}{x},\;g(x)=-\cos{x} )]

부분적분 공식에 대입하면 다음과 같다.

[math(\displaystyle \begin{aligned} \int \ln{x}\sin{x}\,\mathrm{d}x = -\ln{x}\cos{x} + \int \frac{\cos{x}}{x} \,\mathrm{d}x \end{aligned} )]

그런데 [math(\int ({\cos{x}}/{x}) \,\mathrm{d}x)]는 다음과 같이 [math(mathrm{Ci}(x))]로 쓸 수도 있다. [math(\mathsf{const.})]는 적분 상수이다.

[math(\displaystyle \begin{aligned} \int \ln{x}\sin{x}\,\mathrm{d}x = \mathrm{Ci}(x) -\ln{x}\cos{x} + \mathsf{const.} \end{aligned} )]

4. 예제 4

[문제]

[math(\displaystyle \int \lfloor x\rfloor \,\frac{\mathrm{d}}{x^2})]을 구하시오.

[풀이 보기]

-----
[math(lfloor xrfloor)]는 불연속이므로 미분계수 쪽으로 옮기는 것이 좋으므로, 스틸체스 적분의 부분적분식에 대입하여

[math(\displaystyle \int \lfloor x\rfloor \,\frac{\mathrm{d}}{x^2} = \frac{\lfloor x\rfloor}{x^2} - \int \frac{1}{x^2}\,\mathrm{d}\lfloor x\rfloor)]

의 꼴로 만들자. 이때,

[math(displaystyle begin{aligned} int frac{1}{x^2},mathrm{d}lfloor xrfloor &= sum frac{1}{x^2} \&= zeta(2) \&= frac{pi^2}{6} end{aligned})]

이 성립하므로 역도함수는 다음과 같다. [math(\mathsf{const.})]는 적분 상수이고, [math(\zeta)]는 제타 함수이다.

[math(\displaystyle \int \lfloor x\rfloor \,\frac{\mathrm{d}}{x^2}= \frac{\lfloor x\rfloor}{x^2} - \frac{\pi^2}{6}+ \mathsf{const.})]

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[1] 이 방법은 역삼각함수, 특수함수에도 똑같이 써먹을 수 있다.[2] 특수함수가 등장하는 적분이다.

부분적분/예제

1. 예제 1

2. 예제 2

3. 예제 3

4. 예제 4

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