볼록함수

1. 정의

2. 성질

• [math(f)]는 열린 구간에서 연속이다.
• 임의의 점 [math(x_0)]에 대해 좌미분계수 [math(f'_-(x_0)=\displaystyle \lim_{h\to0^-}\frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h})]와 우미분계수 [math(f'_+(x_0)=\displaystyle\lim_{h\to0^+}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}h)]가 존재하며, 임의의 [math(\epsilon>0)]에 대해 [math(f'_-(x_0) \le f'_+(x_0) \le f'_-(x_0+\epsilon))]이 성립한다.
• [math(f'_-(x_0) \le a \le f'_+(x_0) )]을 만족시키는 상수 [math(a)]에 대해서, 직선 [math( y = a(x-f(x_0)) + f(x_0) )]은 볼록함수 아래에 있다. 즉 [math( a(x-f(x_0)) + f(x_0) \ge f(x) )]가 성립한다. 이 [math(a)]를 하방 미분(subderivative)이라 부르기도 한다.
• [math(f)]는 가산 개의(countable) 점을 제외하면 미분가능하다.
• 닫힌 구간 내에서 볼록함수의 최대점은 양끝 경계점 중 하나이고, 최소점은 유일하게 존재한다.

• 완전 불연속함수: 디리클레 함수가 대표적이다.
• 병리적 연속함수: 바이어슈트라스 함수가 대표적이다.

3. 공식

1. [math(x)]축 위의 내분점의 [math(x)]좌표에 대한 직선 [math(l)] 위의 함숫값 [math(\dfrac{mf(b)+nf(a)}{m+n})]
2. [math(x)]축 위의 내분점의 [math(x)]좌표에 대한 [math(f(x))]의 함숫값 [math(\displaystyle f \biggl( \frac{mb+na}{m+n} \biggr))]

예제 [펼치기·접기]

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이 내용은 2004년 수능 가형 8번에 출제되었다.

문제의 그래프는 [math(x)]축보다 위에 있고 아래로 볼록하므로 답은 'ㄱ, ㄷ'이다. [math(\overline{\rm PQ})]의 기울기는 [math(\{F(b)-F(a)\}/(b-a))]가 아니라 [math(\{f(b)-f(a)\}/(b-a))]이므로 ㄴ은 옳지 않다.

---

4. 기타

• 볼록은 최적화 이론의 근간이 된다.
• 경제학의 소비자이론에서는, 무차별곡선의 볼록성에 따라 최적 선택이 달라진다. 효용극대화 문제 참고.
• 경제학의 기대효용이론에서는, 효용함수의 볼록성에 따라 위험에 대한 태도가 달라진다. 기대효용이론 참고.

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