1. 개요
병리적 함수(病理的 函數, pathological function)는 함수로서 일반적으로 만족시킬 것으로 여겨지는 성질들을 만족시키지 않는 함수를 의미한다.[2]
상당수가 무한급수, 조각적 정의, 또는 귀납적 정의를 통해 정의된다.
엄밀한 기준은 없지만 수학사적으로 의미가 큰데, 기하학적 직관을 과신했던 수학자들의 뒤통수를 매우 크게 후려갈겼기 때문이다. 특히 카를 바이어슈트라스가 최초로 발표한 '모든 점에서 연속이지만, 어디에서도 미분 불가능한 함수'가 충격적이었는데, 그 대수학자 카를 프리드리히 가우스조차 '모든 점에서 연속인 함수는 미분가능한 구간이 반드시 존재한다'라고 생각했고, 수학자들 사이에서 이는 일종의 정리로 여겨졌는데 바이어슈트라스가 이 추측을 박살내 버렸기 때문이다. 이 사건은 직관이 아무리 좋아도 수학의 세계에서는 어디까지나 엄밀한 정의와 연역적인 증명을 먼저 거쳐야만 한다는 것을 다시금 깨닫게 해 주었다.[3]
특히, (거의) 모든 점에서 미분 불가능한[4] 연속함수를 실해석학의 괴물(monsters of real analysis)이라고 부른다. 위의 바이어슈트라스 함수가 대표적이다.
2. 예시
2.1. 다카기 함수
[math({\rm blanc}(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{s(2^{n}x)}{2^{n}})]단, [math(s(x))]는 [math(x)]와 가장 가까운 정수와의 거리이다.
그래프의 개형이 푸딩의 일종인 블랑망제를 닮아서 그래프를 블랑망제 곡선(blancmange curve)이라 부르기도 한다.
전 구간에서 연속이고 이진 유리수 집합[5]에서 미분불가능하다는 특이한 성질을 가지고 있다. 거의 모든 점에서 미분가능하면서도 미분불가능한 점이 조밀하다.
2.2. 디리클레 함수
[math({\bold 1}_{\mathbb Q}(x) = \begin{cases} 1 & (x \in \mathbb{Q}) \\ 0 & (x \notin \mathbb{Q}) \end{cases} \qquad )]
모든 점에서 불연속인 함수인 완전 불연속 함수의 대표 주자이다. 당연히 모든 점에서 미분이 불가능하고 리만 적분 불가능한 함수이다.[6]
디리클레 함수를 적당히 변형해서 특이한 함수들을 만들어 낼 수 있다. 예를 들어서 [math(x{\bold 1}_{\mathbb Q}(x))]는 모든 점에서 미분 불가능하나 [math(x=0)]에서만 연속, [math(x^{2}{\bold 1}_{\mathbb Q}(x))]는 [math(x=0)]에서만 연속이자 미분 가능하게 된다.
상수함수와 마찬가지로 주기함수의 정의를 어떻게 하느냐에 따라서 주기함수가 되기도 하고 되지 않기도 한다. 주기함수의 정의를 최소 주기가 존재하는 함수로 정의하면, 주기함수가 되지 않는다. 최소 주기가 존재하지 않아도 무방하면, 임의의 양의 유리수가 주기인 주기함수가 된다.
2.2.1. 토메 함수
Thomae's function. 토메 함수는 아래와 같이 정의되는 함수이다. 그래프는 여기에서 볼 수 있다.[math(f(x) = \begin{cases} 1& x=0 \\ \dfrac{1}{q}& x=\dfrac{p}{q},\:\gcd(p,\,q)=1,\:q>0 \\ 0 & x \notin \mathbb{Q} \end{cases})]
무리수일 때 0이고 유리수일 때 0이 아닌 값을 가진다는 점에서 윗문단의 디리클레 함수와 유사하나, 성질에는 많은 차이가 있다.유리수에서 불연속이고 무리수에서 연속이며, 모든 점에서 미분 불가능하며, 리만 적분 가능한 함수이다. 자세한 내용과 증명은 위키백과 참고.
반대로 유리수에서 연속이고 무리수에서 불연속인 함수는 존재하지 않는데, 증명은 이 곳을 참고. 당장 실수의 완비성만 생각해봐도 그런 함수는 존재하지 않을 것이라고 추측할 수 있다.
2.3. 민코프스키 물음표 함수
Minkowski's question-mark function증가함수임에도 불구하고 미분계수가 양수인 점이 존재하지 않는 함수이다. 좀 더 정확히는, 거의 모든 점에서 미분계수가 0이고, 나머지 점에서는 미분계수가 존재하지 않는다. 자세한 내용은 영문 위키백과 참고.
2.4. 바이어슈트라스 함수
대표적인 미분 불가 연속함수이다.
2.5. 볼차노 함수
볼차노 함수는 다음과 같이 재귀적으로 정의되는 함수열의 점별 극한이다.[7]- 구간 [math(J_{0,1}=[0,1])] 위의 함수 [math(y=x)]를 생각하자.
- 구간 [math(J_{0,1}=[0,1])]을 [math(J_{1,1}=[0,3/8])], [math(J_{1,2}=[3/8,1/2])], [math(J_{1,3}=[1/2, 7/8])], [math(J_{1,4}=[7/8,1])]의 소구간으로 나누자.
- 각 소구간의 끝 점에 좌표 [math((0,0))], [math((3/8,5/8))], [math((1/2,1/2))], [math((7/8,9/8))], [math((1,1))] 를 찍고,
각 소구간 위에서 조각적 1차 함수가 되도록, 양 끝점의 좌표를 선분으로 잇는다. - 소구간 [math(J_{n,m}=[a,b])]를 아래와 같이 더 작은 4개의 소구간으로 나눈다.
- [math(J_{n,m}=[a,b])]의 끝점에서 좌표가 [math((a,A))],[math((b,B))]일 때, 각 소구간 [math(J_{n+1,i})]의 끝점에 아래와 같은 좌표를 찍고,
각 소구간 위에서 조각적 1차 함수가 되도록, 양 끝점의 좌표를 선분으로 잇는다. - 4,5를 무한히 반복한다.
[math(J_{n+1,4m-3}=\left[a,a+\dfrac{3}{8}(b-a)\right])],
[math(J_{n+1,4m-2}=\left[a+\dfrac{3}{8}(b-a),a+\dfrac{1}{2}(b-a)\right])],
[math(J_{n+1,4m-1}=\left[a+\dfrac{1}{2}(b-a),a+\dfrac{7}{8}(b-a)\right])],
[math(J_{n+1,4m}=\left[a+\dfrac{7}{8}(b-a),b\right])]
[math((a,A))],
[math(\left(a+\dfrac{3}{8}(b-a),A+\dfrac{5}{8}(B-A)\right))],
[math(\left(\dfrac{1}{2}(a+b),\dfrac{1}{2}(A+B)\right))],
[math(\left(a+\dfrac{7}{8}(b-a),A+\dfrac{9}{8}(B-A)\right))]
[math((b,B))]
2.6. 볼테라 함수
모든 점에서 미분가능한 함수이다. 그런데, 특이하게도 도함수가 유계인데, 리만적분이 불가능하다.[8]
2.7. 셀레리에 함수
[math(\displaystyle f(x) = \sum_{k=1}^\infty \frac{\sin( a^{k}x)}{a^k})]
Cellérier's function. 그래프는 이렇게 생겼다. [math(a>1)]일 때, 셀레리에 함수는 연속이고 모든 점에서 미분 불가능하다는 것이 하디에 의해서 증명되었다. 자세한 내용은 이 pdf 문서의 Theorem 3.2 참고.
2.8. 칸토어 함수
악마의 계단 함수라는 악명이 붙은 이 함수는, 다음과 같은 방법으로 얻어지는 함수 [math(f_{n})]의 극한이다.[math(f_{0}(x)=\dfrac{1}{2})]
[math(f_{n}(x)=\begin{cases}\dfrac{1}{2}f_{n-1}(3x)&\left(0\le x<\dfrac{1}{3}\right)\\\dfrac{1}{2}&\left(\dfrac{1}{3}\le x\le\dfrac{2}{3}\right)\\1-f_{n}(1-x)&\left(\dfrac{2}{3}<x\le1\right)\end{cases})]
이 함수의 함숫값을 구하는 방법은 다음과 같다.[math(f_{n}(x)=\begin{cases}\dfrac{1}{2}f_{n-1}(3x)&\left(0\le x<\dfrac{1}{3}\right)\\\dfrac{1}{2}&\left(\dfrac{1}{3}\le x\le\dfrac{2}{3}\right)\\1-f_{n}(1-x)&\left(\dfrac{2}{3}<x\le1\right)\end{cases})]
- [math(x\in[0,1])]를 삼진법으로 나타낸다.
- [math(x)]의 삼진법 표현에 1이 있을 경우, 첫번째 1 이후의 모든 자리의 숫자를 0으로 바꾼다.
- 남아있는 모든 2를 1로 바꾼다.
- 이렇게 얻어진 수가 사실 2진법 표현이였다고 생각하고, 이를 [math(f(x))]의 값으로 삼는다.
이 함수는 고등학교 내신에서도 종종 등장한다.
2.9. 폼페유 도함수
볼테라 함수의 도함수와 마찬가지로, 부정적분 가능하지만 리만 적분 불가능한 유계 함수의 예시이다. 심지어 이 도함수는 모든 점에서 불연속이다. 이 함수 구성의 모티브는 [math(\sqrt[3]x)]가 [math(x=0)]에서 수직접선을 갖는다는 점이다. 자세한 내용은 여기(국문)나 여기(영문) 참고.2.10. 기타
- [math(f(x)=x^{2}\sin\dfrac{1}{x},\:f(0)=0)] : 미분가능한 함수이지만, 도함수가 [math(x=0)]에서 불연속인 함수.
- [math(f(x)=e^{-\frac{1}{x^2}},\:f(0)=0)] : 무한번 미분가능한 함수이지만, 테일러급수가 자신과는 다른 함수.
3. 여담
수학에서 병리적(pathological)이라는 말을 가끔 들을 수 있는데, 수학적 현상이 직관에 어긋날 때 병리적이라고 부른다. 이런 병리적인 요소들은 기존의 이론의 한계를 보여주었고, 결국에는 수학의 발전에 있어서 결정적인 역할을 한 때가 많았다. 아주 유명한 것들만 따져도 수학사적으로 매우 큼직한 것들이다.4. 관련 문서
- 프랙털 이론
그래프가 프랙털인 함수들은 병리적인 성질을 지닌다. 위에서 제시된 여러 함수들도 그래프가 프랙털인 경우가 많다. - 베르 범주 정리
베르 범주 정리를 이용해 어느 곳에서도 미분 불가능한 연속함수의 존재성을 보이고 그 분포를 확인할 수 있다. 구간 [math([0,1])]의 어느 곳에서도 미분 불가능한 연속함수의 집합은 연속함수 공간 [math(C[0,1])]에서 베르 제2 범주 집합이다. 즉, 어느 곳에서도 미분 불가능한 연속함수의 집합은 연속함수 공간에서 ‘빈약한’ 집합(meager set)의 여집합이다.
5. 외부 링크
- Marek Jarnicki, Peter Pflug, Continuous Nowhere Differentiable Functions - The Monsters of Analysis#
미분가능한 점이 없는 연속함수에 대해 많은 예시와 함께 잘 설명해 놓은 책
[1] 직관주의자였던 앙리 푸앵카레는 이런 병리적 함수를 굉장히 싫어했다.[2] 이와 대척점에 있는 용어로는 참한 함수(well-behaved function)가 있다. 이상한 반례들 생각 안하고, 적당히 좋은 조건의 함수들만을 생각하려고 할 때, 참한 함수라는 단어를 쓰는 것. 흔히 말하는 초등함수가 전부 참한 함수이다.[3] 비슷하게 직관을 과신했다 피를 본 사례로 러셀의 역설이 있다.[4] 미분 가능한 점들의 집합의 르벡 측도가 0인 집합[5] 기약분수로 나타내었을 때 분모가 2의 거듭제곱꼴인 유리수. 이진법으로 나타내었을 때 유한소수가 되는 유리수이기도 하다.[6] 불연속인 점들의 집합이 비가산 집합(기수가 [math(aleph_0)]보다 큼)이면 리만 적분이 불가능하다. 따라서 완전 불연속 함수는 리만 적분이 가능할 수가 없다. 반대로, 아랫문단의 토메 함수 같은 경우는 불연속인 점들의 집합이 가산 집합인 유리수 전체 집합이므로 리만 적분 가능하다.[7] 결과적으로는 균등수렴한다.[8] 즉, 볼테라 함수의 도함수는 부정적분은 가능한데, 정적분은 불가능하다. 르벡적분은 가능하다.[9] 한때는 음수조차 상상할 수 없는 것이었는데 음수의 제곱근인 허수는 더욱 상상할 수 없는 것이었다.