1. 개요
Weierstrass factorization theorem / Weierstrass 分解 定理 / (독일어)Weierstraßscher Produktsatz독일의 수학자 카를 바이어슈트라스가 정립한 바이어슈트라스 분해 정리 또는 바이어슈트라스 곱 정리는 전해석 함수(entire function)[1]는 영점을 포함한 무한곱으로 표기될 수 있다는 정리이다. 또한 모든 다항함수가 각근에서의 한 선형인수로 분해가 되므로 대수학의 기본 정리의 확장으로도 볼 수 있는 정리이다.
바이어슈트라스 분해 정리는 유리형 함수(meromorphic function)로까지 일반화하여 확장할 수 있으며, 유리형 함수가 세 가지 요소, 즉 함수의 극점 및 영점이 인수인 식, 0이 아닌 정칙함수(holomorphic function)[2]의 곱으로 나타낼 수 있다는 것을 보여준다.
또한 극점을 가진 함수를 유리형 함수의 무한합으로 표현하는 미타그레플레르 정리와 유사한 점이 있다.
2. 배경: 기본 인자
기본 인자(elementary factor) 혹은 주요 인자(primary factor)라고도 한다. 정리에 앞서 기본 인자를 짚고 넘어가야 하는데, 이것이 대수학의 기본 정리를 전해석 함수로 확장하는 데에 아주 중요한 역할을 하기 때문이다.범자연수 [math(n)], [math(|z|<1)]에 대해 다음과 같이 기본 인자를 정의하자.
| [math(E_n(z) = \begin{cases} 1-z && (n=0) \\ (1-z)\exp\left(\displaystyle \sum_{k=1}^n\frac{z^k}k\right) && (n\ge1)\end{cases})] |
| [math(\displaystyle \ln(1-z) = -\int\frac{{\rm d}z}{1-z} = -\int\sum_{n=0}^\infty z^n{\rm d}z = -\sum_{n=0}^\infty\frac{z^{n+1}}{n+1} = -\sum_{n=1}^\infty\frac{z^n}n)] |
| [math(\displaystyle E_n(z) = (1-z)\exp\left(\sum_{k=1}^n\frac{z^k}k\right) = \exp\left(-\sum_{k=1}^\infty\frac{z^{n+k}}{n+k}\right))] |
(균등수렴하므로 적분과 시그마의 순서를 바꿀 수 있다.)
3. 형태
정리에는 두 가지 형태가 있는데, 하나는 특정 영점을 갖는 전해석 함수가 존재함을 보이는 정리이며 나머지 하나는 그 반대, 전해석 함수가 존재할 때 특정 영점을 인수로 갖는 무한곱으로 나타낼 수 있음을 보이는 정리이다. 보통 후자를 바이어슈트라스 분해 정리라고 한다.3.1. 특정 영점을 갖는 전해석 함수의 존재 정리
[math(a_n\ne0)]인 복소수 수열이 [math(|a_n|\to\infty)]이고, 정수 수열 [math(p_n)]이 모든 [math(r>0)]에 대해, [math(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\left(\frac r{|a_n|}\right)^{1+p_n}<\infty)]를 만족할 때, 다음 함수
은 [math(a_n)]에서만 영점을 갖는 전해석 함수이다. 복소수 [math(z_0)]가 수열 [math(a_n)]에 [math(m)]개 있다면 함수 [math(f)]는 [math(z=z_0)]에서 다중도가 [math(m)]인 영점을 갖는다.
| [math(\displaystyle f(z) = \prod_{n=1}^\infty E_{p_n}\left(\frac z{a_n}\right))] |
3.2. 바이어슈트라스 분해 정리
전해석 함수 [math(f)]에 관하여, 수열 [math(a_n\ne0)]이 [math(f)]의 영점이며, [math(m\ge0)]인 정수 [math(m)]에 대해 [math(f)]가 0에서 다중도 [math(m)]의 영점을 가진다고 하면, 정수 수열 [math(p_n)]과 전해석 함수 [math(g)]이 존재해 [math(f)]는 다음과 같은 관계를 만족한다.
| [math(\displaystyle f(z) = z^m e^{g(z)} \prod_{n=1}^\infty E_{p_n}\left(\dfrac z{a_n}\right))] |
4. 계기
대수학의 기본 정리의 결과로부터 2가지 사실을 알 수 있다.- 복소 평면에서의 유한 수열 [math(c_n)]에 관하여, [math(c_n)]이 영점인 다항식 [math(p(z))]가 존재하며, 그 꼴은 다음과 같다.
| [math(\displaystyle p(z) = \prod_n(z-c_n))] |
- 복소 평면 내의 모든 다항함수 [math(p(z))]는 [math(a\ne0)]인 상수, 영점 [math(c_n)]을 이용하여 다음과 같은 인수분해식으로 나타낼 수 있다.
| [math(\displaystyle p(z) = a \prod_n(z-c_n))] |
바이어슈트라스 분해 정리의 두 가지 형태는 위 사실을 전해석 함수로 확장한 것이라고 볼 수 있다. 이때 [math(c_n)]이 유한 수열이 아닐 경우 그 무한곱 [math(\displaystyle \prod_n(z-c_n))]은 수렴하지 않기 때문에 전해석 함수를 정의할 수 없고, 따라서 이를 보완하기 위한 추가적인 수학적 논리가 필요했다. 일반적으론 미리 정해진 영점 수열로부터 전해석 함수를 정의하거나, 대수학의 기본 정리에 의해 유도되는 영점으로 전해석 함수를 표현하는 것은 불가능하다.
이 경우 무한곱이 수렴하기 위한 필요조건은 [math((z-c_n))]과 같이 표현된 인수들이 [math(n\to\infty)]일 때 [math(1)]로 수렴하는 것이다. 따라서 주어진 점에서 [math(0)]이 되는 것은 물론, 그 점 이외에는 [math(1)]로 수렴하게 하면서 주어진 개수보다 많은 영점을 가지면 안 되는 조건을 모두 충족해야한다. 바이어슈트라스의 기본 인자 [math(E_n(z))]는 이 조건을 모두 충족하며 상기한 대수학의 기본 정리의 인수 [math((z-c_n))]과 똑같은 역할을 한다.
5. 예시
5.1. 삼각함수·쌍곡선함수
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| <colbgcolor=#efefef,#555555> [math(\boldsymbol{\sin({\pi}z)})] | [math(\begin{aligned} \displaystyle \pi z \prod_{n\ne0}\left(1-\dfrac zn\right)e^{z/n} = \pi z \prod_{n=1}^{\infty} \left\{1-\left(\dfrac zn\right)^2\right\} \end{aligned})] |
| [math(\boldsymbol{\cos({\pi}z)})] | [math(\begin{aligned} \displaystyle \prod_{q=2n+1,\,n\in\mathbb Z}\left(1-\dfrac{2z}q\right)e^{2z/q} = \prod_{n=1}^\infty \left\{1-\left(\dfrac {2z}{2n-1}\right)^2\right\} \end{aligned})] |
| [math(\boldsymbol{\sinh(z)})] | [math(\begin{aligned} \displaystyle z \prod_{n=1}^\infty \left\{1+\left(\dfrac {z}{nπ}\right)^2\right\} \end{aligned})][3] |
5.2. 감마 함수
감마 함수 [math(\Gamma(z))]에 관하여, [math(f(z) = \dfrac1{\Gamma(z)})]일때,| [math(\displaystyle f(z)=e^{\gamma z}z \prod_{n=1}^\infty\left(1+\dfrac zn\right)e^{-z/n})] |
여기서 [math(\gamma)]는 오일러-마스케로니 상수이다.
5.2.1. 증명 방법
바이어슈트라스는 감마 함수의 단순항꼴을 정리해서 오일러-마스케로니 상수가 포함된 새로운 감마 함수의 형태를 증명했다.| [math(\displaystyle \Gamma(z)=\lim_{n\to\infty}\frac{n!\,n^z}{\displaystyle \prod_{i=0}^n (z+i)})] |
| [math(\begin{aligned}\displaystyle \Gamma(z) &= \lim_{n\to\infty}\frac{n!\,e^{z\ln n}}{z\displaystyle \prod_{i=1}^n (z+i)} = \lim_{n \to \infty} \frac 1z \frac{n!\,e^{z\ln n}}{\displaystyle \prod_{i=1}^n \left\{ i \left(1+\dfrac zi \right) \right\}} \\ &= \lim_{n \to \infty} \frac 1z \frac{\cancel{n!}\,e^{z \ln n}}{\displaystyle \cancel{n!} \prod_{i=1}^n \left(1+\dfrac zi \right)} = \lim_{n \to \infty} \frac 1z \frac{e^{z \ln n}}{\displaystyle \prod_{i=1}^n \left(1+\dfrac zi \right)}\end{aligned})] |
[math(\displaystyle \begin{aligned} \Gamma(z) &= \lim_{n\to\infty} \frac1z \frac{e^{z\ln n}}{e^{z \sum\limits_{i=1}^n \frac1i}} \frac{\displaystyle \prod_{i=1}^n e^{\frac zi}}{\displaystyle \prod_{i=1}^n \Bigl( 1+\dfrac zi \Bigr)} \\ &= \lim_{n\to\infty} \frac1z e^{z \Bigl( \ln n -\sum\limits_{i=1}^n \frac1i \Bigr)} \prod_{i=1}^n \frac{e^{\frac zi}}{1+\cfrac zi} \\ &= \frac1z e^{-\gamma z} \prod_{n=1}^\infty \frac{e^{\frac zn}}{1+\dfrac zn} \end{aligned} )] |
| [math(\displaystyle \dfrac1{\Gamma(z)}=e^{\gamma z}z \prod_{n=1}^\infty\left(1+\dfrac zn\right)e^{-z/n})] |
6. 참고 문헌
- https://en.wikipedia.org/wiki/Weierstrass_factorization_theorem
- G. B. Arfken et al., Mathematical Method for Physicists : A Comprehensive Guide