최근 수정 시각 : 2023-01-07 19:25:54
rational root theorem · 有理根 定理
임의의 정수 계수 다항방정식의 유리수 해를 찾는 방법이다. 다항방정식 [math(a_1x^n + a_2x^{n-1}+\cdots+a_{n-1}x+{\sf const.} =0)]에 대해서 최고차항 계수와 상수항에 대한 부정방정식 | [math(\pm \dfrac{d_{\sf const.} | {\sf const.}}{d_{a_1} | a_1})] |
의 해 집합 중에 원래 방정식의 해가 있을 수 있다는 정리이다. 즉 최고차항 계수의 약수와 상수항의 약수의 몫으로 방정식의 유리수 해를 찾을 수 있음을 뜻한다. 여기서 갑자기 부정방정식의 집합이 왜 나오냐는 질문이 나올 수도 있는데 정확히는 단순히 정수 계수 방정식 뿐만 아니라 유일인수분해환의 원소를 계수로 가지는 다항식환에 대해 적용되기 때문이다.
그러나 대수학의 관점에서는 이질적인 정리인데, 초등적 증명이 아닌 정수론적 방법으로 유도되는 정리이고, '해가 있을 수 있다'는 것에서 볼 수 있듯 유리수 해가 있음을 보장하지는 않는다는 맹점이 있다. 그리고 원래 방정식의 해인지를 확인하는 방법이라는 것조차 일일이 부정방정식으로 도출한 집합의 원소를 하나하나씩 대입시키는 것이 고작이다.[math(\pm \dfrac{d_{\sf const.} | {\sf const.}}{d_{a_1} | a_1})]이 아닌 해가 존재한다면, 이를 [math(\dfrac q{p})]([math(p,q)]는 서로소인 정수, [math(p,q \ne 0)])라 하자. [math((px-q))]는 다항식의 인수이다. 여기서 다항식에 [math(p^n=K)]를 곱해 [math(Ka_1x^n+Ka_2x^{n-1}+\cdots+Ka_{n-1}x+KC=0)]이라 한 후 [math((px-q)(p^{n-1} a_1x^{n-1}+...+C'))]의 정수다항식으로 인수분해를 할 수 있다. 그런데 이에 따르면 [math(-qC'=KC)]이지만, [math(q)]는 [math(KC)]의 약수이므로 전제에 모순.