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최근 수정 시각 : 2025-01-31 15:24:37

예상과 확인


이산수학
Discrete Mathematics
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1. 개요2. 예시3. 여담

1. 개요

豫想과 確認

대한민국 초등학교 수학 교육과정에 나오는 문제 해결 과정으로, 수학적으로 엄밀하게 만들어진 모형[1]을 모른다고 가정했을 때 학생 스스로의 직감과 시행착오를 겪어가며 해결하는 방법이다.

중학교부터는 연립방정식을 배우고, 미지수가 두 개이고 미지수들에 대한 식이 두 개일 때 방정식의 해를 결정할 수 있음을 배우고, 연립일차방정식의 대수적인 해법을 배운다. 그러나 방정식의 개념을 익히기 전인 초등학교에서는, 예상과 확인이라는 시행착오법으로 접근하도록 교육한다.

사실 '예상과 확인' 같은 시행착오법은 초등학교 수준에 한정되어 있지 않다. 고등학교 이상에서도 다항식의 유리근 정리, 수열의 점화식, 경우의 수를 이용한 풀이법 및 조합론 등 수학의 심화적인 많은 영역에서 이같은 방법을 사용하게 된다.

2. 예시

다음 예를 통해 전자와 후자의 차이를 확인해보자.
문제: 어느 동물농장에 돼지와 닭이 있습니다. 동물들은 모두 20마리이며, 동물들의 다리는 모두 68개입니다. 돼지와 닭은 각각 몇 마리입니까?
<중학교 이상의 수준>
돼지를 [math(x)]마리, 닭을 [math(y)]마리라고 한 뒤, 돼지는 다리가 4개이고 닭은 다리가 2개임에 착안하여 다음과 같은 연립일차방정식을 세울 수 있으며,

[math(\begin{cases}x+y=20\\4x+2y=68\end{cases})]

아래 과정을 통해 풀 수 있다.[2]

[풀이 보기(중학생 수준)]
----
우선 1번 식에 2를 곱해서 2번 식에서 빼자.
[math((4x+2y=68) - 2(x+y=20) \\ \Rightarrow (4x - 2x) + \cancel{(2y - 2y)} = (68 -40) \\ \Rightarrow 2x = 28)]
[math(\therefore x = 14)]
그 다음, 1번 식에 [math(x = 14)]를 대입하면

[math(14+y=20 \Rightarrow y=6)]

따라서 해는 [math(x=14, y=6)]이다.

[풀이 보기(선형대수학 수준)]
-----
우선 행렬 표기로 나타내면
[math(\displaystyle \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 4 & 2 \end{bmatrix} \! \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 20 \\ 68 \end{bmatrix})]

역행렬을 구하기 위해 우선 행렬식을 계산해보면 다음과 같으므로 역행렬이 존재한다.
[math(\displaystyle \mathrm{det} \! \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 4 & 2 \end{bmatrix} = 1 \times 2 - 1 \times 4 = -2)]

위 행렬의 고전적 수반 행렬을 구하면 다음과 같다.[3]
[math(\displaystyle \mathrm{adj} \! \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 4 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2\times(-1)^{1+1} & 4\times(-1)^{1+2} \\ 1\times(-1)^{2+1} & 1\times(-1)^{2+2} \end{bmatrix}^T \!\! = \begin{bmatrix} 2 & -4 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}^T \!\! = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -4 & 1 \end{bmatrix})]

그러므로 역행렬은 다음과 같다.
[math(\displaystyle \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 4 & 2 \end{bmatrix}^{-1} \!\!\! = -\frac{1}{2} \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -4 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & \frac12 \\ 2 & -\frac12 \end{bmatrix})]

역행렬이 맞는지 원래 행렬에 곱해 보자. 예상대로 단위행렬이 나온다.
[math(\displaystyle \begin{bmatrix} -1 & \frac12 \\ 2 & -\frac12 \end{bmatrix} \! \begin{bmatrix} 1 &1 \\ 4 & 2 \end{bmatrix} = \! \begin{bmatrix} -1\times 1 +\frac12\times4 & -1\times1+\frac12\times2 \\ 2\times 1 -\frac12\times4 & 2\times1-\frac12\times2 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix})]

이 역행렬을 우변의 행렬에 곱하면 다음과 같다.
[math(\displaystyle \begin{bmatrix} -1 & \frac12 \\ 2 & -\frac12 \end{bmatrix} \! \begin{bmatrix} 20 \\ 68 \end{bmatrix} = \! \begin{bmatrix} -1 \times 20 + \frac12 \times 68 \\ 2 \times 20 - \frac12 \times 68 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 14 \\ 6 \end{bmatrix})]

따라서 해는 [math(x=14, y=6)]이다.


따라서 돼지는 14마리, 닭은 6마리이다.
<초등학교 수준>
우선, 돼지를 □마리, 닭을 △마리라고 하자. □+△=20이 되도록 아무 수나 넣어본다. 돼지는 다리가 4개이고 닭은 다리가 2개임에 착안하여 다음과 같이 예상과 확인을 실행한다.

□=10, △=10로 하면(예상), 4×□+2×△=4×10+2×10=60이 되어 문제의 조건에 맞지 않는다(확인).
□=15, △=5로 하면(예상), 4×□+2×△=4×15+2×5=70이 되어 문제의 조건에 맞지 않는다(확인).
□=14, △=6으로 하면(예상), 4×□+2×△=4×14+2×6=68이 되어 문제의 조건에 맞는다(확인).

따라서 돼지는 14마리, 닭은 6마리이다.

이미 미지수를 [math(x)]나 [math(y)] 따위로 표기함을 배운 중학교와 달리, 예상과 확인을 배울 때는 [math(x)]는커녕 '미지수'라는 용어도 쓰지 않고 '어떤 수' 또는 '알 수 없는 수'라는 말로 풀어 쓴다. 또한, [math(x)] 대신 □(네모)를 쓰며, □ 다음으로는 보통 △(세모)를 쓴다. 곱셈 기호(×) 역시 생략하지 않고 그대로 쓴다.

또한, 예상과 확인에서는 일차 연립방정식의 해가 0 이상의 정수가 나오는 경우만을 다룬다. 음수, 무리수 등 배우지 않은 수학 개념들이 있을 뿐 아니라, 그렇게 하지 않고서는 생각해야 할 수의 개수가 무한대로 늘어나기 때문이다. 유리수로만 확장하더라도 0과 1 사이에 무수히 많은 유리수가 존재한다. 이 차이를 인지하지 못하는 사람이 하게 되는 행위가 일명 '노가다'이다.

이 '예상과 확인'에서는 동물들의 다리 세기가 거의 클리셰 수준이다. 이것만큼 연립일차방정식을 실생활과 찰떡같이 연결할 만한 소재가 없기 때문이다. 쓸 일이 없다는 증거[4]

초등수학 이상에서 예상과 확인을 거쳐야 하는 상황 중 하나로 삼차방정식이 있다. 유리근 정리를 이용해서 유리근의 '후보'을 추린 뒤, 이게 실제로 근인지를 확인해야 하는 절차가 들어가기 때문.[5]

3. 여담

인터넷 강사 삽자루는 본인의 강의 도중, '예상과 확인'의 중요성을 언급하며 선행학습을 하면 안 되는 이유를 말했고, 이게 인터넷 커뮤니티에 언급된 바 있다. 선행학습의 문제점 요약하자면 당장 다음 내용 공식을 암기하느라 예상과 확인의 학습을 소홀히 하게 되면 언젠가 더 높은 벽에 부딪힌다는 것.

실제로 이러한 '예상과 확인'은 어떠한 방정식을 대수적으로 풀기 힘들 때 유용하게 쓰인다. 과거 학력평가에서 [math(2^a=a+12)]의 양수해를 구하라는 문제가 나온 바 있었는데 이것을 대수적으로 풀려면 고등학교 교육과정을 아득히 넘어가는 수준인 람베르트 W 함수를 써야 한다. 고등학교 교사나 이 문제를 출제하는 사람들도 고등학생들이 람베르트 W 함수를 알 것이라고 생각하지 않는다. 뿐만 아니라 애초에 이 함수가 특수 함수이기 때문에 고등학교 교사나 출제자도 이런 함수를 모를 확률이 상당히 높다.[6] 그래서 고등학교 수준에서는 예상과 확인 외에는 별 도리가 없다. 1부터 순차적으로 대입해봐야 안다. 참고로 답은 4. 애초에 예상과 확인을 통해 풀라고 낸 문제이기 때문에 큰 수를 답으로 내진 않은 것으로 추측된다.
[1] e.g. 이원 일차 연립방정식의 행렬 표현: 아래 선형대수학 수준 풀이 참고.[2] 연립방정식을 푸는 방법은 아래에 나온 방법인 가감소거법, 역행렬 사용 이외에도 대입법, 크라메르의 법칙, 가우스 소거법 등이 있다.[3] 사실 역행렬 계산에 고전적 수반 행렬이 필수적인 것은 아니며, 첨가행렬 [math([A|I])]을 만들어 기본행연산을 통해 [math([I|A^{-1}])]로 만드는 방식을 많이 사용하며, 그나마도 차수가 높아지면 역행렬보다는 대각화, 삼각화 등을 사용한다.[4] 애당초 선형사상이라는 게 주어진 식에서 두 개 이상의 해를 한꺼번에 구해내야 할 때 진가를 발휘하는데, 일상에서는 시간이 좀 더 걸리더라도 순차적으로 해를 구하는 것을 더 선호하는 편이다.[5] 판별식으로 세 실근이 나오는 상황이 나오고, 유리근 정리에서 나온 근 후보가 전부 낙선(?)이라면, 이른바 환원 불능(casus irreducibilis)이 된다.[6] 초중등교육과정 전체에서 초등함수조차도 다 가르치지 않으며, 특수함수는 최대공약수와 최소공배수 단 둘뿐이다.

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