| 이산수학 Discrete Mathematics | ||
| {{{#!wiki style="margin: 0 -10px -5px; min-height: calc(1.5em + 5px)" {{{#!folding [ 펼치기 · 접기 ] {{{#!wiki style="margin: -5px -1px -11px; word-break: keep-all" | 이론 | |
| <colbgcolor=#3CC> 기본 대상 | 수학기초론(수리논리학 · 집합론) · 수열 · 조합 · 알고리즘 · 확률 | |
| 다루는 대상과 주요 토픽 | ||
| 수열 | 등차수열(뛰어 세기) · 등비수열 · 계차수열 · 조화수열 · 귀납적 정의(점화식) · 급수 · 규칙과 대응 · 규칙 찾기 · 피보나치 수열 · 읽고 말하기 수열 · 생성함수 | |
| 조합 | 경우의 수(공식) · 순열(완전 순열 · 염주 순열) · 치환 · 분할(분할수) · 최단거리 · 제1종 스털링 수 · 제2종 스털링 수 · 카탈랑 수 · 벨 수 · 라흐 수 · 포함·배제의 원리 · 더블 카운팅 · 조합론 | |
| 그래프 | 수형도(트리) · 인접행렬 · 마방진 · 마법진 · 한붓그리기(해밀턴 회로) · 쾨니히스베르크 다리 건너기 문제 | |
| 기타 | P-NP 문제미해결 · 4색정리 · 이항정리(파스칼의 삼각형) · 이산 푸리에 변환 · 비둘기 집의 원리 · 상트페테르부르크의 역설 · 투표의 역설 · 에르고딕 가설미해결 · 콜라츠 추측미해결 · 시행착오 (예상과 확인) · 불 논리 · 브라에스 역설 | |
| 관련 문서 | 논리학 관련 정보 · 수학 관련 정보 · 컴퓨터 관련 정보 · 틀:수학기초론 · 틀:통계학 · 틀:이론 컴퓨터 과학 | }}}}}}}}} |
1. 개요
Bell number집합을 분할하는 방법의 수로, 원소의 개수가 [math(n)]인 집합을 분할하는 방법의 수에 대하여 이를 연구한 1930년대 영국의 수학자 에릭 템플 벨의 이름을 따 [math(n)]번째 벨 수라고 하며 [math(B_n)]으로 나타낸다. 베르누이 수와 표기가 완전히 같기 때문에, 혼동을 피하기 위해 사용시에는 정의를 명확히 해줄 필요가 있다.[1]
제9항까지의 값은 다음과 같다.
| [math(n)] | [math(0)][2] | [math(1)] | [math(2)] | [math(3)] | [math(4)] | [math(5)] | [math(6)] | [math(7)] | [math(8)] | [math(9)] |
| [math(B_n)] | [math(1)] | [math(1)] | [math(2)] | [math(5)] | [math(15)] | [math(52)] | [math(203)] | [math(877)] | [math(4140)] | [math(21147)] |
2. 성질
- 제2종 스털링 수 [math(S(n,\,k))]와는 다음과 같은 관계가 있다.
[math(\displaystyle B_n = \sum_{k=0}^n S(n,\,k))]
집합론을 이용한 제2종 스털링 수의 정의가 ‘[math(n)]개의 원소로 구성된 집합을 [math(k)]개로 분할하는 경우의 수’이므로 위의 관계는 자명하다. - [math(B_n)]은 다음과 같은 점화식을 만족시킨다.
[math(\displaystyle B_{n+1} = \sum_{k=0}^n \binom nk B_k )]
집합 [math(\{1,\,2,\cdots\cdots,\,n+1\})]을 분할한다고 하자. 이때 각각의 분할에서는 [math(1)]을 원소로 갖는 집합이 있을 것이다. [math(1)]을 원소로 갖는 집합의 원소의 개수가 [math(k)]가 되도록 분할하는 경우의 수는 [math(n)]개 중에서 [math(1)]을 제외한 [math((k-1))]개를 고르는 경우의 수 [math(\dbinom n{k-1})]에 나머지 [math(n-(k-1))]개의 원소를 분할하는 경우의 수 [math(B_{n-k+1})]를 곱한 값 [math(\dbinom n{k-1} B_{n-k+1})]임을 알 수 있다. [math(k)]는 [math(1)]부터 [math((n+1))]까지의 값을 취할 수 있고 [math(k)]가 다른 값을 취할 때 중복되는 경우는 없으므로 합의 법칙에 의하여[math(\displaystyle B_{n+1}=\sum_{k=1}^{n+1}\binom n{k-1}B_{n-k+1} = \sum_{k=0}^n \binom nk B_{n-k} = \sum_{k=0}^n \binom n{n-k}B_k = \sum_{k=0}^n \binom nk B_k)]