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1. 개요
等比數列, 幾何數列 ・ geometric sequence(progression)[math(3,\,6,\,12,\,24,\,48,\,\cdots)]처럼 연속한 두 항의 비가 일정한 수열을 등비수열이라고 하며, 아래에서 살펴볼 기하적 증가 양상 때문에 기하수열이라고도 한다. 여기에서 연속한 두 항의 비를 공비(公比, common ratio)라고 한다. 일반적으로 등비수열의 첫째 항(first term또는 1st term)을 [math(a)], 공비를 [math(r)]로 표기한다. 첫째항(1st term) 문자 [math(a)]는 초항(初項initial value,start term)이라고도 하며, 문자 [math(r)]는 비(比)를 뜻하는 ratio의 머리글자이다.
2. 일반항
수열 [math(\{a_{n} \})]이 공비가 [math(r)]인 등비수열이면 임의의 자연수 [math(k)]에 대하여 다음이 성립한다.[math(\dfrac{a_{k+1}}{a_k}=r)]
이에 따라 등비수열 [math(\{a_n\})]의 일반항은 다음과 같은데, 도출 과정은 수열의 귀납적 정의 문서를 참고하라.
[math(a_n=ar^{n-1})]
이때, [math(a\neq0,\,r\neq0)]이다. 꼭 첫째 항이 아니더라도, 하나 이상의 항의 값, 몇 번째 항인지, 그리고 공비가 주어지거나 둘 이상의 항의 값, 각각 몇 번째 항인지가 주어지면 등비수열의 일반항을 정할 수 있다.
3. 등비중항
[math(a)], [math(b)], [math(c)]가 등비수열의 연속한 세 항일 때, [math(b)]를 [math(a)]와 [math(c)]의 등비중항이라고 한다.[math(\begin{aligned} \dfrac ba=\dfrac cb \; & \to \; b^2=ac \\ & \to \; b=\pm \sqrt{ac} \end{aligned})]
예를 들어 등비수열 [math(a_n)]에 대하여 [math(a_6)], [math(a_7)], [math(a_8)]의 등비중항은 [math(a_7=\pm \sqrt{a_6a_8})]이다.
다만, 연속한 세 항이 모두 양수이면 [math(b=\sqrt{ac})]로 표현되어 그대로 나머지 두 항의 기하 평균이 된다.
4. 함수로 해석하기
등비수열은 함수로도 생각할 수 있는데, 등비수열 [math(a_n=ar^{n-1})]에 대하여 좌표평면에 [math((n,\, a_n))]을 나타내면 다음과 같다.각 점의 [math(n)]좌표는 몇 번째 항인지를, [math(a_n)]좌표는 항의 값을 나타낸다. 등비수열의 일반항은 지수함수식으로 나타나므로, 좌표평면의 각 점은 지수함수의 그래프의 위에 있다. 이렇게 보면, 등비수열의 일반항은 자연수만을 정의역으로 하는 지수함수이다.
이에 따라 [math(a_n)]에서 원래 [math(n)]은 자연수이지만, 수열을 함수로도 해석할 수 있는 만큼 다음 예와 같이 [math(n)]이 자연수가 아닌 경우로 계산해도 문제가 없다.
- 등비수열 [math(a_n=2^n)]에 대하여
- [math(a_3)]과 [math(a_4)]의 기하평균은 [math(a_{3.5}=2^{3.5}=\sqrt{128})]
- [math(a_5)]과 [math(a_6)]의 기하평균은 [math(a_{5.5}=2^{5.5}=\sqrt{2048})]
- 위 두 값의 비는 [math(\dfrac{a_{8.5}}{a_{5.5}}=a_{5.5-3.5}=2^2=4\biggl(=\sqrt {\dfrac{2048}{128}} \biggr))]
5. 성질
등비수열 [math(\{a_n\})]과 임의의 음이 아닌 정수 [math(m)]에 대하여 다음이 성립한다.- [math(\dfrac{a_{k+m}}{a_k}=r^m)]
- [math(a_ka_l=a_{k\pm m}a_{l\mp m})] (복부호 동순)
- 특히, [math(a_ka_{k+2}={a_{k+1}}^2)](등비중항)
특히 두 번째 성질은 다음 예와 같이 등비수열의 각 항의 값을 알려주지 않고도 등비수열의 곱을 구하라는 문제로 자주 나오는데, 공비의 부호에 따라 등비중항의 값이 달라지므로 주의해야 한다.
- [예제]
- -----
[문제]
등비수열 [math(\{a_{n}\})]이 [math(a_{5}a_{7}=3)]을 만족시킬 때, [math(a_1a_2\cdots a_{11})]의 값을 구하시오.[math(\begin{aligned}a_1a_2\cdots a_{11}&=(a_1a_{11})(a_2a_{10})(a_3a_9)(a_4a_8)(a_5a_7)a_6\\&=\begin{cases}\begin{aligned}\sqrt{3^{11}}&=243\sqrt 3\quad &(a_6=ra_5>0)\\-\sqrt{3^{11}}&=-243\sqrt 3 \quad&(a_6=ra_5<0)\end{aligned}\end{cases}\end{aligned})]
6. 극한
첫째 항 [math(a)]와 공비 [math(r)]에 따라 등비수열 [math(a_{n}=ar^{n-1})]의 극한은 달라진다. oscillation은 진동을 뜻한다.[math(\displaystyle\lim_{n\to\infty}ar^{n-1}=\begin{cases}\begin{aligned}&\infty\;&(r>1,\;a>0)\\&-\infty\;&(r>1,\;a<0)\\&a\;&(r=1)\\&0\;&(-1<r<1) \\&\small{\textsf{oscillation}} \;&(r \leq -1) \end{aligned}\end{cases})]
따라서 등비수열이 수렴하기 위한 [math(r)]의 범위는 아래와 같다.[1]
[math({-1<r\leq 1})]
7. 등비수열의 합
첫째 항이 [math(a)]이고 공비 [math(r)]가 1이 아닌 등비수열 [math(\{a_n\})]에 대하여, 항을 소거하기 위하여 [math(S_n)]에서 [math(rS_n)]을 빼어 등비수열의 합을 구한다.| [math(\begin{matrix}&S_{n}&=&a&+&\cancel{ar}&+&\cancel{ar^2}&+&\cdots&+&\cancel{ar^{n-2}}&+&\cancel{ar^{n-1}}&\\ - & rS_{n}&=&&+&\cancel{ar}&+&\cancel{ar^2}&+&\cdots&+&\cancel{ar^{n-2}}&+&\cancel{ar^{n-1}}&+&ar^n\\ \hline &(1-r)S_{n}&=&a(1-r^n) \\ \\ \end{matrix} )] |
[math(\displaystyle S_{n} =\dfrac{a(1-r^{n})}{1-r} =\dfrac{a(r^{n}-1)}{r-1} \quad (r \neq 1))]
한편, 위 공식에 [math(r=1)]을 대입하면 분모와 분자가 모두 0이 되어 버린다.(부정형) 공식을 유도하는 과정을 보더라도 [math(r=1)]이면 양변이 그냥 0이 되어 공식을 제대로 유도할 수 없다. 이 경우에는 등비수열의 모든 항이 첫째 항과 같다는 점을 이용하여 등비수열의 합을 구한다.
[math(S_n=an \quad (r=1))]
로피탈의 정리를 이용해도 같은 공식을 유도할 수 있다.
[math(\displaystyle\lim_{r\to 1}\dfrac{a(r^{n}-1)}{r-1}\xlongequal{\textsf{l'H\^opital}}\lim_{r\to 1}\dfrac{anr^{n-1}}{1}=an)]
7.1. 등비수열의 절댓값의 합
등비수열 [math(\{a_n\})]에 대하여 [math(\sum |a_k|)]를 다루는 문제가 종종 나온다. 가장 기본이 되는 [math(a_1)]부터 [math(a_n)]까지의 합을 기준으로 설명한다.등비수열의 절댓값의 합이란, 결국 양수인 항은 그대로 두고, 음수인 항에는 -1을 곱하여 양수로 바꾼 뒤 더한 값이다. 등비수열 [math(\{a_n\})]에 대하여 [math(a_1)]부터 [math(a_n)]까지의 항 중에서 양수(Positive) 항들의 합을 [math(P_n)], 음수(Negative) 항들의 합을 [math(N_n)]이라 하면
- [math(\displaystyle\sum_{k=1}^n a_k=P_n+N_n=S_n)]
- [math(\displaystyle\sum_{k=1}^n |a_k|=P_n-N_n=S_n-2N_n)]
- [math(\displaystyle\sum_{k=1}^n \{a_k+|a_k|\}=2P_n=2(S_n-N_n))]
- [math(\displaystyle\sum_{k=1}^n \{a_k-|a_k|\}=2N_n=2(S_n-P_n))]
이를 다음 네 가지 경우에 적용할 수 있다. 모든 항이 양수이면 [math(N_n=0)], 음수이면 [math(P_n=0)]인 특수한 경우이다. 수식을 사용한 엄밀한 표현보다는 일상 언어로 이해하는 것이 편하므로 각주를 참고하라.
- 모든 항이 양수
- 첫째 항과 공비가 모두 양수
- [math(\displaystyle\sum_{k=1}^n |a_k|=\sum_{k=1}^n a_k)]
- [math(\displaystyle\sum_{k=1}^n \{a_k+|a_k|\}=2\sum_{k=1}^n |a_k|=2\sum_{k=1}^n a_k)]
- [math(\displaystyle\sum_{k=1}^n \{a_k-|a_k|\}=0)]
- 모든 항이 음수
- 첫째 항은 음수, 공비는 양수
- [math(\displaystyle\sum_{k=1}^n |a_k|=-\sum_{k=1}^n a_k)]
- [math(\displaystyle\sum_{k=1}^n \{a_k+|a_k|\}=0)]
- [math(\displaystyle\sum_{k=1}^n \{a_k-|a_k|\}=2\sum_{k=1}^n |a_k|=-2\sum_{k=1}^n a_k)]
- 홀수 번째 항은 양수, 짝수 번째 항은 음수[2]
- 첫째 항은 양수, 공비는 음수
- [math(\displaystyle\sum_{k=1}^n |a_k|=\sum_{k=1}^n a_k-2\sum_{k=1}^{\left\lfloor n/2\right\rfloor} a_{2k}\;(n\neq 1))] [3]
- [math(\displaystyle\sum_{k=1}^n \{a_k+|a_k|\}=2\sum_{k=1}^{\left\lceil n/2\right\rceil} a_{2k-1})] [4]
- [math(\displaystyle\sum_{k=1}^n \{a_k-|a_k|\}=2\sum_{k=1}^{\left\lfloor n/2\right\rfloor} a_{2k}\;(n\neq 1))] [5]
- 홀수 번째 항은 음수, 짝수 번째 항은 양수
- 첫째 항과 공비가 모두 음수
- [math(\displaystyle\sum_{k=1}^n |a_k|=\sum_{k=1}^n a_k-2\sum_{k=1}^{\left\lceil n/2\right\rceil} a_{2k-1})] [6]
- [math(\displaystyle\sum_{k=1}^n \{a_k+|a_k|\}=2\sum_{k=1}^{\left\lfloor n/2\right\rfloor} a_{2k}\;(n\neq 1))] [7]
- [math(\displaystyle\sum_{k=1}^n \{a_k-|a_k|\}=2\sum_{k=1}^{\left\lceil n/2\right\rceil} a_{2k-1})] [8]
- [예제]
- -----
2019학년도 3월 고3 나형 16번
[math(\{a_n\})]의 첫째 항이 양수이고 공비가 음수이므로 홀수 번째 항은 양수, 짝수 번째 항은 음수이다. [math(a_n)]의 공비를 [math(r)]라고 하면 다음이 성립한다.[math(\begin{aligned}\displaystyle\sum_{k=1}^9(|a_k|+a_k)&=2(a_1+a_3+a_5+a_7+a_9)\\&=2(a_1+4a_1+16a_1+64a_1+256a_1)\;(\because r^2=4)\\&=682a_1=66 \\ \\ \therefore a_1&=\dfrac{66}{682}=\dfrac{3}{31}\end{aligned})]
7.2. 제2항부터 등비수열인 경우
결론부터 말하면, 등비수열의 합은 [math(ar^n+b)]의 꼴이며, [math(a+b=0)]이면 첫째 항부터, [math(a+b\neq 0)]이면 제2항부터 등비수열인데, 이유는 다음과 같다.우선 앞서 밝힌 등비수열 [math(\{a_n\})]의 합 공식을 고쳐 쓰면 다음과 같다.
[math(\begin{aligned}S_n&=\dfrac{a(r^n-1)}{r-1}\\&=\dfrac{a}{r-1}(r^n-1)\\&=\dfrac{a}{r-1}r^n-\dfrac{a}{r-1}\end{aligned})]
여기에서 편의를 위하여 [math(\dfrac{a}{(r-1)})]를 [math(p)]로 치환하자.
[math(S_n=pr^n-p)]
[math(a=p)], [math(b=-p)]이고 [math(a+b=0)]이 성립하므로, [math(\{a_n\})]은 제1항부터 등비수열이다. 예를 들어 [math(S_n=5^n-1)]이면 [math(a=1,\;b=-1)]이므로 [math(\{a_n\})]은 첫째 항부터 등비수열이다. 반면, [math(S_n=5^n-2)]이면 [math(a=1)], [math(b=-2)]이므로 [math(\{a_n\})]은 제2항부터 등비수열이다. 이 두 수열을 다음 표를 통해 직관적으로 이해해 보자.
| [math(S_n=5^n-{\color{red} 1})] | [math(a_1(=S_1))] | [math(a_2)] | [math(a_3)] | [math(a_4)] | [math(\cdots)] |
| [math({\color{red} 4})] | [math(20)] | [math(100)] | [math(500)] | [math(\cdots)] | |
| [math(S_n=5^n-{\color{red} 2})] | [math(a_1(=S_1))] | [math(a_2)] | [math(a_3)] | [math(a_4)] | [math(\cdots)] |
| [math({\color{red} 3})] | [math(20)] | [math(100)] | [math(500)] | [math(\cdots)] |
주의할 것은 [math(S_{\boldsymbol n})]이 [math(a+b=0)]인지의 여부를 따질 때는 지수가 [math(\boldsymbol n)]이어야 한다는 점이다. 예로 다음 [math(S_n)]에 대하여, 각각 [math(\{a_n\})]이 첫째 항부터 등비수열이 되도록 하는 [math(k)]의 값을 구해 보자.
- [math(\boldsymbol{S_{n}=4^{n+1}-k})]
- [math(S_n=4\cdot 4^n-k )]이므로 [math(\{a_n\})]이 첫째 항부터 등비수열이 되려면 [math(4-k=0)], [math(k=4)]
- [math(\boldsymbol{S_n=4^{n-1}+k})]
- [math(S_n=4^{-1}\cdot 4^n+k)]이므로 [math(\{a_n\})]이 첫째 항부터 등비수열이 되려면 [math(\dfrac{1}{4}+k=0)], [math(k=-\dfrac{1}{4})]
7.3. 기하급수(무한등비급수)
8. 등비수열의 곱
자연수 [math(n)]에 대하여, 임의의 등비수열의 연속된 [math(4n)]개의 항의 곱은 항상 양수이다. 등비수열의 항의 부호 변화는 다음의 네 가지 유형으로 나뉘기 때문이다.- [math(+,\,+,\,+,\,+,\,\cdots)]
- 초항과 공비가 모두 양수
- 양수 네 개를 곱하면 양수
- [math(+,\,-,\,+,\,-,\,\cdots)]
- 초항이 양수이고 공비가 음수
- 양수 두 개와 음수 두 개를 곱하면 양수
- [math(-,\,+,\,-,\,+,\,\cdots)]
- 초항과 공비가 모두 음수
- 양수 두 개와 음수 두 개를 곱하면 양수
- [math(-,\,-,\,-,\,-,\,\cdots)]
- 초항이 음수이고 공비가 양수
- 음수 네 개를 곱하면 양수
이후의 항에서도 똑같은 부호가 출현하므로, 연속된 네 항의 곱을 구하면 무조건 양수임에 따라 연속된 [math(4,\,8,\,12,\,16,\,\cdots)]개의 항의 곱을 구해도 양수이다.
나아가 같은 논리로 자연수 [math(n)]에 대하여 임의의 등비수열의 연속된 [math(6n,\,8n,\,10n,\,\cdots)]개의 항의 곱은 항상 양수임을 증명할 수 있다.
구체적인 값은 초항 [math(a)], 공비 [math(r)]를 이용해 아래와 같이 표현할 수 있다.
| [math(|a|^n |r|^{n(n-1)/2} ({\rm sgn}\,a)^n ({\rm sgn}\,r)^{n(n-1)/2})] |
9. 활용
10. 기타
- 2015 개정 교육과정에 따라 고2 이상에서 수학Ⅰ에서 등비수열을 배운다.
- 모든 항이 양수인 등비수열의 각 항에 로그를 취하면 등차수열이 된다.
11. 관련 문서
[1] 참고로 무한등비수열의 수렴조건은 무한등비급수의 수렴 조건에 [math(r=1)]인 조건이 추가된 경우라고 보면 된다.[2] 이때 [math(\lfloor \, \cdot \, \rfloor)]는 고등학교 때까지 속칭 '가우스 기호'라고 부르던 '최대 정수 함수', 혹은 '바닥 함수'이고, [math(\lceil \, \cdot \, \rceil)]은 그 반대인 '최소 정수 함수', 혹은 '천장 함수'이다.[3] (등비수열의 절댓값의 합)=(전체 항들의 합)-(짝수 번째 항들의 합의 2배)[4] 홀수 번째 항들의 합의 2배[5] 짝수 번째 항들의 합의 2배[6] (등비수열의 절댓값의 합)=(전체 항들의 합)-(홀수 번째 항들의 합의 2배)[7] 짝수 번째 항들의 합의 2배[8] 홀수 번째 항들의 합의 2배