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1. 개요
환원 불능(還元 不能, casus irreducibilis[1])은 대수적인 방식으로 해를 구했을 때 어떤 무리수가 허수단위 [math(i)]를 포함하는 꼴로 나타나는 것을 말한다. 후술하겠지만, 실제로는 환원 불능이 아니지만 식의 형태는 환원 불능인 경우도 존재한다.복소수 위의 수식이라면 필연적으로 나타나는 현상이다.
2. 사례 1: 삼차방정식
환원 불능을 가장 처음 접하게 되는 것은 삼차방정식으로, 역사적으로도 지롤라모 카르다노가 삼차방정식에서 이런 꼴의 해가 있음을 발견해서 붙인 명칭이다.모든 삼차방정식은 다음과 같이 2차항을 제거한 꼴
| [math(x^3 + px + q = 0)] |
| [math(x = {\left(\dfrac{-1+\sqrt3i}2\right)}^k\sqrt[3]{-\dfrac q2+\sqrt{{\left(\dfrac q2\right)}^2 + {\left(\dfrac p3\right)}^3}}+{\left(\dfrac{-1+\sqrt3i}2\right)}^{3-k}\sqrt[3]{-\dfrac q2-\sqrt{{\left(\dfrac q2\right)}^2 + {\left(\dfrac p3\right)}^3}} \quad (k=0,\,1,\,2))] |
단, 모든 환원 불능이 이런 허수단위를 포함하는 식으로만 나타나는 것은 아니다. 다음 삼차방정식
| [math(x^3 - 15x - 4 = 0)] |
초월수와는 다르다. 초월수는 정수 계수로만 이루어진 유한 차수 방정식의 해가 되지 못하지만, 환원 불능은 어찌 되었건 "정수 계수로만 이루어진 유한 차수 방정식의 해"로 나타나는 대수적 수로도 나타날 수 있기 때문이다.[4] 즉 환원 불능은 [math(0.dot9 = 1)]의 사례처럼 여러 꼴로 나타나는 해[5]를 하나의 식으로 표현하거나 실수의 범주를 넘어선 수 체계를 이용한 방법을 동원하여 대수적으로 표현하려다 벌어진 불상사에 가깝다.
3. 사례 2: 삼각함수
다른 환원 불능인 예로 삼각함수가 있는데, 복소수 체계에서 모든 삼각함수는 복소지수함수를 이용하여 표현할 수 있다. 물론 삼각함수에서 정의역이 실수면 결과값도 실수였던 것처럼, 복소지수함수로 표현했다 하더라도 복소수가 대입되어 실수 결과값이 튀어나오고, 개중에 [math(i)]를 소거하지 못하는 경우가 생기는 것에 지나지 않는다. 아래와 같이 천문학에서 쓰이는 단위인 파섹([math(\rm pc)])은 연주시차의 기준이 되는 단위로, 본디 천문단위 [math(\rm au)]와 1각초의 코탄젠트 값을 곱한 것으로 주어지는데| [math(\begin{aligned}1\,{\rm pc} &= \cot(1''){\rm\,au} \\ &= \cot{\left(\frac\pi{648000}\right)}{\rm\,au} \\&= {\left(i + \frac{2i}{e^{i\pi/324000}-1}\right)}\,{\rm au} \end{aligned})] |
환원 불능한 수의 구체적인 값이 필요한 경우 수치해석학을 이용해 근삿값을 구해서 이용한다. 가령 위의 파섹의 경우 [math(\cot x)]가 [math(\cot x = \cfrac1x - \cfrac x3 - \cfrac{x^3}{45} - \cfrac{2x^5}{945} - \cdots)]로 전개된다는 점을 이용하여 [math(x)]가 매우 작으면 [math(\cot x \approx \cfrac1x)]로 근사할 수 있으며, 실제로 [math(\cfrac\pi{648000})]은 [math(\cfrac\pi{648000} = 0.000\,004\,848\,136\cdots)]로 매우 작기 때문에 [math(\cot{\Bigl(\cfrac\pi{648000}\Bigr)} \approx \cfrac{648000}\pi = {\color{red}206\,264.806\,24}7\,096\cdots)]의 근삿값을 주로 쓴다. 참값은 [math({\color{red}206\,264.806\,24}5\,480\cdots)]이며 유효숫자 11자리가 같다는 것을 알 수 있다.[6] 도로 등의 경사도를 각도로 환산할 때도 같은 방법을 쓴다.
4. 환원 불능과 작도 가능성
환원 불능한 수는 모두 작도가 불가능한 무리수이다. 모든 유리수는 (정수)/(0이 아닌 정수)의 분수형태로 나타낼 수 있으므로 당연히 환원 불능이 될 수 없고, 무리수이더라도 작도가 가능한 수들은 모두 정수의 사칙연산과 제곱근만을 유한 번 사용하여 나타낼 수 있으므로 허수단위 [math(i)] 없이 표기할 수 있다.[1] irreducible case(단순화할 수 없는 경우)를 라틴어식으로 표현한 것. 수학 용어로서 irreducible에는 '약분할 수 없는'이라는 뜻도 있으며 대표적으로 기약분수를 irreducible fraction(단순화할 수 없는 분수)이라고 한다. 실제로는 실수이지만 복소수로 표현된다는 점을 감안하면 '실수화 불능'이 좀 더 명료한 번역일 것이다.[2] [math(ax^3 + bx^2 + cx + d = 0)]에서 식 전체를 [math(a)]로 나누고 [math(x = t - \dfrac b{3a})]를 대입해서 [math(t)]에 관한 식으로 바꿔주면 2차항이 사라진다.[3] [math(x = u+v)]로 치환하면 식의 형태는 [math(u^3 + v^3 + q + (u+v)(3uv + p) = 0)]가 되는데 [math(u+v = x \ne 0)]이므로 이 방정식을 풀기 위한 조건은 [math(u^3 + v^3 = -q)], [math(3uv = -p)]가 된다. 제2식을 제1식에 대입하면 [math(u^3)] 또는 [math(v^3)]에 대한 이차방정식이 되고, [math(u^3)]에 대한 해 [math(\alpha)]에 관하여 [math(u^3 = \alpha)]는 [math(u^3 - \alpha = (u - \sqrt[3]\alpha)(u^2 + \sqrt[3]\alpha u + {\sqrt[3]\alpha}^2) = 0)]이므로 방정식 [math(x^3 - 1 = 0)]의 허근 [math(omega = dfrac{-1pmsqrt3i}2)]를 이용하여 위와 같이 나타낼 수 있다.[4] 환원 불능인데 대수적 수가 아닌 예로 프레넬 적분 함수의 최댓값/최솟값이 있다. 이 수를 표기하려면 특수함수인 오차함수를 이용해야 한다.[5] [math(0.\dot9 = 1)]은 [math(9\div9)]를 세로셈법으로 계산함으로써 간단하게 보일 수 있다. 해당 문서 참조.[6] 이 때문에 2015년 이후로는 아예 [math(1{\rm\,pc} = \cfrac{648000}\pi{\rm\,au})]로 정의된다.