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1. 개요
common logarithm영어 / logarithmus generalis라틴어 / 常用對數자연수 [math(10)]을 밑(base)으로 삼는 로그. 즉, [math(\log_ab)]에서 [math(a = 10)]인 경우 [math(\log_{10}b)]에 해당한다. 밑이 10이라는 점에서 십진로그라고도 한다. b의 명칭은 진수(眞數)이다.
약식 표기로서 [math(\log_{10})] 부분을 간단히 쓸 경우 국제표준화기구(ISO)에서는 ISO 31-11을 통해 '상용로그'를 의미하는 라틴어 logarithmus generalis에서 따온 [math(\lg)] 표기를 권장하지만, 대부분의 경우 [math(_{10})]만을 생략하여 그냥 [math(\log)]로 나타내는 경우가 많다. 이하 본 문서에서도 [math(\log = \log_{10})]이다.[1]
1.1. 쉬운 설명
[math(\log b)]는 곧 '[math(b)]로 만들기 위한 [math(10)]의 거듭제곱수'이며, 이를테면 [math(b = 1000)]이면 [math(10)]을 세제곱([math(3)])하면 되므로 [math(3 = \log1000)]이라 나타낼 수 있다.지수표기를 이용해서 나타내면 [math(10^{\log b} = b)]가 되는 셈이다.
2. 기원과 대중화
존 네이피어가 로그를 발견한 뒤 3년 후 헨리 브릭스가 밑을 10으로 하는 상용로그를 계산했다.인류가 10진법을 기본으로 하여 발전해왔기 때문에 밑이 다른 로그들과 구분하여 사용한다. 교과과정에서는 사용상 편의를 위해 밑을 생략하고 [math(\log x)]와 같이 나타낸다. 그리고 로그의 단원에서 한 부분으로 특별취급되고 있다. 만약에 인류가 역사적으로 12진법 혹은 20진법을 사용했다면 상용로그도 마찬가지로 12를 밑으로 하거나 20을 밑으로 했을 것이다.
상용로그는 우리가 10진법을 쓰기 때문에 여러 손계산을 하는데 편한 점이 있다. 예를 들어, 상용로그 없이 [math(14417\times 56723)]를 계산하려고 한다면 여러번 곱하고 더해야 하기에 번거롭다. 하지만 상용로그를 사용한다면 [math(a \times b = c)] 일때 [math( \log_{10}a + \log_{10}b = \log_{10}c)]라는 점을 이용해 곱셈을 덧셈으로 바꿀 수 있다. [math(\log_{10} 14417 + \log_{10} 56723)]을 상용로그를 이용해 계산 한 다음, 그 구한값이 얼마의 상용로그인지 표에서 찾으면 끝이다. 매우 계산이 편리해지므로, 이런 방법으로 여러가지 계산을 해왔다.
상용로그는 천문학에 지대한 공헌을 했는데, 괜히 우스갯 소리로 로그의 발명으로 천문학자의 수명이 배나 늘어났다고 말하는 게 아니다. 로그가 발명되기 이전에는 두 수를 모두 1 이하가 되도록 적당히 10의 음수 정수 제곱을 곱하고 ([math(14417\times 56723=10^5\times10^5\times0.14417\times0.56723)]) 이렇게 만든 두 수에 해당하는 삼각비를 삼각함수표에서 찾는다. ([math(0.14417=\sin 8.289\degree,\; 0.56723=\sin 34.56\degree)]) 다시 삼각함수의 곱을 합으로 고치는 공식으로 합으로 고쳐서 계산한 다음([math(\sin 8.289\degree\times \sin 34.56\degree=-1/2(\cos 42.849\degree-\cos 26.271\degree))]) 처음에 곱했던 10의 거듭제곱으로 나누어서 구했다. 이 방법은 단계가 더 복잡하고 삼각함수가 로그함수보다 근사시키기 어렵기 때문에, 정확한 값을 얻기 힘들다.[2]
3. 교과에서의 상용로그
2007 개정 교육과정까지 '상용로그'와 '지표와 가수'가 모두 포함되어 있었으나 2009 개정 교육과정에서 '지표와 가수'가 정식적으로 삭제되었다. 계산기가 발달한 현재 쓸 데가 아예 없기 때문. 사고력 함양을 도운다면 모를까 단순 노가다성 개념이라 사고력을 함양하는데도 아무런 쓸모가 없었음에도 대한민국의 수학 교육과정에서는 수십 년째 존치해있었다. 일부 교과서와 참고서에서는 '지표'와 '가수'라는 표현을 각각 '정수 부분'과 '소수 부분'이라는 표현으로 바꿨지만 교육과정 내용이 아니기 때문에 본래는 다룰 수 없으며 시험 문제로조차 출제할 수가 없다. 일부 출판사에서 피드백을 받고 2015 개정 교육과정에서는 완전히 삭제되었다. 개념원리와 같은 일부 참고서와 일부 교과서에 나오긴 하나 비중이 매우 적다. 예제 한 두 문제만 나올 정도라고 생각하면 된다.대부분 소수점 아래 4자리 수까지 표기한다. 일부 참고서는 비례부분도 나와있어서, 로그표에서는 없는 값도 비례식이나 방정식등을 이용하여 구할 수 있다. 물론 고교과정에선 상용로그표를 알려주고, 고교 과정 이후에는 계산기를 두들기면 되기 때문에 굳이 암기할 필요 없다.
4. 성질
[math(\log x = n+a)] ([math(n)]는 정수, [math(a)]은 [math(0\leq a<1)]인 실수) 에서, [math(n)]을 지표(characteristic), [math(a)]를 가수(mantissa)라고 한다.즉 바닥함수(가우스 함수) [math(\lfloor x \rfloor)]에 [math(\log x)]를 넣으면 지표가 나온다. 가수는 [math(\log x - \lfloor \log x \rfloor)]로 계산하면 된다.
2009 개정 교육과정에서는 일부 교과서에서 [math(n)]의 명칭을 정수 부분, [math(a)]를 소수 부분이라고 바꾸었으며, 2015 개정 교육과정에서는 완전히 삭제되었다.
지표와 가수에 대하여 직관적으로 알기 쉽게 설명한 영상
또한 [math(x)], [math(y)]의 로그값 [math(\log x)], [math(\log y)]의 지표와 가수에 따라 추론할 수 있는 수의 특성을 정리하면 다음과 같다.
- [math(\log x)], [math(\log y)]의 지표(정수부분)가 같고, 가수(소수부분)는 다른 경우, [math(x)]와 [math(y)]는 자릿수가 같다.
[math(\therefore \log 875)]와 [math(\log 256)]의 지표는 [math(2)]로 같다. ||
2. [math(\log x)], [math(\log y)]의 지표(정수부분)가 다르고, 가수(소수부분)는 같은 경우, [math(x)]와 [math(y)]의 자리수는 다르지만 숫자의 배열은 같다.
[math(\log x = 3+\log 1.909,\; \log y = 1+\log 1.909)] 로 표현하면, 로그의 성질에 의해[math(\log x=\log 10^3 +\log 1.909=\log 1.909\cdot 10^3 =\log 1909, \\ \log y=\log 10^1 + \log 1.909=\log 1.909\cdot 10^1 =\log 19.09)]
[math(\therefore x=1909,\; y=19.09)]||
3. [math(\log x)], [math(\log y)]의 지표(정수부분)와 가수(소수부분) 모두 같은 경우, [math(\log x=n+a)]이고, [math(\log y=m+b)]라 할때, [math(n=m)]이고, [math(a=b)]이면, [math(n+a=m+b)]이므로, [math(\log x=\log y. \; \therefore x=y)]
[math(\log 909 = 2 + \log 9.09, \log y=a+n)] ([math(a)]는 정수 , [math(0\leq n < 1)])에서 [math(\log 909)]와 [math(\log y)]의 지표와 가수가 서로 같다면,[math(2 = a, \; n = \log 9.09 \Leftrightarrow \log y = 2 + \log 9.09, \; \therefore y = 909. )]||
4.1. 해석적 성질
[math(\log_{10} x = \dfrac{\ln x}{\ln10})]이고, [math(\displaystyle \ln x = \int_1^x\,\frac{{\rm d}t}t)]이므로 상용로그를 해석적으로 보면 다음과 같다.| [math(\log_{10}x = \dfrac{\displaystyle \int_1^x\,\frac{{\rm d}y}y}{\displaystyle\int_1^{10}\,\frac{{\rm d}t}t} )] |
5. 응용
여기서 열거한 상용로그의 값을 잘 알고 있고, 로그의 법칙을 잘 숙지하고 있다면, 이를 이용한 합성수의 로그값을 구할 수 있음은 물론, 그 합성수를 밑으로 하는 로그의 값을 구할 수 있다. 그러나, 위의 열거한 숫자들로 이루어진 합성수 이외는 만들 수가 없다. 왜냐하면, 1~10까지의 소수는 2, 3, 5, 7이나, 11 이상의 소수는 다시 컴퓨터의 힘을 빌려서 나타내야 되고, 결정적인 것은, 서로 다른 두 소수 a, b의 곱셈과 나눗셈으로는 a, b와 또다른 소수 c를 나타낼 수 없기 때문이다.게임 프로그래밍에서도 요긴하게 쓸 수 있는데, 대미지 등 게임 내 수치를 표기할 시 이미지 좌표 계산할 때 쓰인다. 수치에 상용로그를 씌워 몇 자리인지 간단하게 나오기 때문. 물론 수치가 0인 경우를 대비해서 따로 조건문을 만들어 둬야 한다.[3]
눈금을 상용로그 값에 맞춰 새기면 기초적인 계산자가 된다. 상용로그의 발견 직후 기초적인 계산자도 에드먼드 건터에 의해 발명되었다.
6. 상용로그표
1 이상 10 미만의 상용로그 값을 미리 구해놓은 표. 2자리 수 이상의 수의 로그값도 이것만 알면 로그의 성질을 이용해 구할 수 있다. 소수점 더 아래부분까지 계산하기 위해 옆에 비례부분을 넣기도 하며, 이 표가 얼마나 길고 정확하냐에 따라 계산의 오차가 줄어든다. 아래의 표는 소수점 2번째 자리까지 수의 로그값을 구할 수 있다(상용로그표 보는 방법). 과거엔 더 정확한 로그표가 곧 더 정확하고 정밀한 공학/과학이었으므로 더 긴 로그값 계산이 국가 프로젝트였다. 베비지의 차분기관이 이 로그값 작성을 위해 개발되었다.- 【 상용로그 표 펼치기 】
N 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1.0 0.0000 0.0043 0.0086 0.0128 0.0170 0.0212 0.0253 0.0294 0.0334 0.0374 1.1 0.0414 0.0453 0.0492 0.0531 0.0569 0.0607 0.0645 0.0682 0.0719 0.0755 1.2 0.0792 0.0828 0.0864 0.0899 0.0934 0.0969 0.1004 0.1038 0.1072 0.1106 1.3 0.1139 0.1173 0.1206 0.1239 0.1271 0.1303 0.1335 0.1367 0.1399 0.1430 1.4 0.1461 0.1492 0.1523 0.1553 0.1584 0.1614 0.1644 0.1673 0.1703 0.1732 1.5 0.1761 0.1790 0.1818 0.1847 0.1875 0.1903 0.1931 0.1959 0.1987 0.2014 1.6 0.2041 0.2068 0.2095 0.2122 0.2148 0.2175 0.2201 0.2227 0.2253 0.2279 1.7 0.2304 0.2330 0.2355 0.2380 0.2405 0.2430 0.2455 0.2480 0.2504 0.2529 1.8 0.2553 0.2577 0.2601 0.2625 0.2648 0.2672 0.2695 0.2718 0.2742 0.2765 1.9 0.2788 0.2810 0.2833 0.2856 0.2878 0.2900 0.2923 0.2945 0.2967 0.2989 2.0 0.3010 0.3032 0.3054 0.3075 0.3096 0.3118 0.3139 0.3160 0.3181 0.3201 2.1 0.3222 0.3243 0.3263 0.3284 0.3304 0.3324 0.3345 0.3365 0.3385 0.3404 2.2 0.3424 0.3444 0.3464 0.3483 0.3502 0.3522 0.3541 0.3560 0.3579 0.3598 2.3 0.3617 0.3636 0.3655 0.3674 0.3692 0.3711 0.3729 0.3747 0.3766 0.3784 2.4 0.3802 0.3820 0.3838 0.3856 0.3874 0.3892 0.3909 0.3927 0.3945 0.3962 2.5 0.3979 0.3997 0.4014 0.4031 0.4048 0.4065 0.4082 0.4099 0.4116 0.4133 2.6 0.4150 0.4166 0.4183 0.4200 0.4216 0.4232 0.4249 0.4265 0.4281 0.4298 2.7 0.4314 0.4330 0.4346 0.4362 0.4378 0.4393 0.4409 0.4425 0.4440 0.4456 2.8 0.4472 0.4487 0.4502 0.4518 0.4533 0.4548 0.4564 0.4579 0.4594 0.4609 2.9 0.4624 0.4639 0.4654 0.4669 0.4683 0.4698 0.4713 0.4728 0.4742 0.4757 3.0 0.4771 0.4786 0.4800 0.4814 0.4829 0.4843 0.4857 0.4871 0.4886 0.4900 3.1 0.4914 0.4928 0.4942 0.4955 0.4969 0.4983 0.4997 0.5011 0.5024 0.5038 3.2 0.5051 0.5065 0.5079 0.5092 0.5105 0.5119 0.5132 0.5145 0.5159 0.5172 3.3 0.5185 0.5198 0.5211 0.5224 0.5237 0.5250 0.5263 0.5276 0.5289 0.5302 3.4 0.5315 0.5328 0.5340 0.5353 0.5366 0.5378 0.5391 0.5403 0.5416 0.5428 3.5 0.5441 0.5453 0.5465 0.5478 0.5490 0.5502 0.5514 0.5527 0.5539 0.5551 3.6 0.5563 0.5575 0.5587 0.5599 0.5611 0.5623 0.5635 0.5647 0.5658 0.5670 3.7 0.5682 0.5694 0.5705 0.5717 0.5729 0.5740 0.5752 0.5763 0.5775 0.5786 3.8 0.5798 0.5809 0.5821 0.5832 0.5843 0.5855 0.5866 0.5877 0.5888 0.5899 3.9 0.5911 0.5922 0.5933 0.5944 0.5955 0.5966 0.5977 0.5988 0.5999 0.6010 4.0 0.6021 0.6031 0.6042 0.6053 0.6064 0.6075 0.6085 0.6096 0.6107 0.6117 4.1 0.6128 0.6138 0.6149 0.6160 0.6170 0.6180 0.6191 0.6201 0.6212 0.6222 4.2 0.6232 0.6243 0.6253 0.6263 0.6274 0.6284 0.6294 0.6304 0.6314 0.6325 4.3 0.6335 0.6345 0.6355 0.6365 0.6375 0.6385 0.6395 0.6405 0.6415 0.6425 4.4 0.6435 0.6444 0.6454 0.6464 0.6474 0.6484 0.6493 0.6503 0.6513 0.6522 4.5 0.6532 0.6542 0.6551 0.6561 0.6571 0.6580 0.6590 0.6599 0.6609 0.6618 4.6 0.6628 0.6637 0.6646 0.6656 0.6665 0.6675 0.6684 0.6693 0.6702 0.6712 4.7 0.6721 0.6730 0.6739 0.6749 0.6758 0.6767 0.6776 0.6785 0.6794 0.6803 4.8 0.6812 0.6821 0.6830 0.6839 0.6848 0.6857 0.6866 0.6875 0.6884 0.6893 4.9 0.6902 0.6911 0.6920 0.6928 0.6937 0.6946 0.6955 0.6964 0.6972 0.6981 5.0 0.6990 0.6998 0.7007 0.7016 0.7024 0.7033 0.7042 0.7050 0.7059 0.7067 5.1 0.7076 0.7084 0.7093 0.7101 0.7110 0.7118 0.7126 0.7135 0.7143 0.7152 5.2 0.7160 0.7168 0.7177 0.7185 0.7193 0.7202 0.7210 0.7218 0.7226 0.7235 5.3 0.7243 0.7251 0.7259 0.7267 0.7275 0.7284 0.7292 0.7300 0.7308 0.7316 5.4 0.7324 0.7332 0.7340 0.7348 0.7356 0.7364 0.7372 0.7380 0.7388 0.7396 5.5 0.7404 0.7412 0.7419 0.7427 0.7435 0.7443 0.7451 0.7459 0.7466 0.7474 5.6 0.7482 0.7490 0.7497 0.7505 0.7513 0.7520 0.7528 0.7536 0.7543 0.7551 5.7 0.7559 0.7566 0.7574 0.7582 0.7589 0.7597 0.7604 0.7612 0.7619 0.7627 5.8 0.7634 0.7642 0.7649 0.7657 0.7664 0.7672 0.7679 0.7686 0.7694 0.7701 5.9 0.7709 0.7716 0.7723 0.7731 0.7738 0.7745 0.7752 0.7760 0.7767 0.7774 6.0 0.7782 0.7789 0.7796 0.7803 0.7810 0.7818 0.7825 0.7832 0.7839 0.7846 6.1 0.7853 0.7860 0.7868 0.7875 0.7882 0.7889 0.7896 0.7903 0.7910 0.7917 6.2 0.7924 0.7931 0.7938 0.7945 0.7952 0.7959 0.7966 0.7973 0.7980 0.7987 6.3 0.7993 0.8000 0.8007 0.8014 0.8021 0.8028 0.8035 0.8041 0.8048 0.8055 6.4 0.8062 0.8069 0.8075 0.8082 0.8089 0.8096 0.8102 0.8109 0.8116 0.8122 6.5 0.8129 0.8136 0.8142 0.8149 0.8156 0.8162 0.8169 0.8176 0.8182 0.8189 6.6 0.8195 0.8202 0.8209 0.8215 0.8222 0.8228 0.8235 0.8241 0.8248 0.8254 6.7 0.8261 0.8267 0.8274 0.8280 0.8287 0.8293 0.8299 0.8306 0.8312 0.8319 6.8 0.8325 0.8331 0.8338 0.8344 0.8351 0.8357 0.8363 0.8370 0.8376 0.8382 6.9 0.8388 0.8395 0.8401 0.8407 0.8414 0.8420 0.8426 0.8432 0.8439 0.8445 7.0 0.8451 0.8457 0.8463 0.8470 0.8476 0.8482 0.8488 0.8494 0.8500 0.8506 7.1 0.8513 0.8519 0.8525 0.8531 0.8537 0.8543 0.8549 0.8555 0.8561 0.8567 7.2 0.8573 0.8579 0.8585 0.8591 0.8597 0.8603 0.8609 0.8615 0.8621 0.8627 7.3 0.8633 0.8639 0.8645 0.8651 0.8657 0.8663 0.8669 0.8675 0.8681 0.8686 7.4 0.8692 0.8698 0.8704 0.8710 0.8716 0.8722 0.8727 0.8733 0.8739 0.8745 7.5 0.8751 0.8756 0.8762 0.8768 0.8774 0.8779 0.8785 0.8791 0.8797 0.8802 7.6 0.8808 0.8814 0.8820 0.8825 0.8831 0.8837 0.8842 0.8848 0.8854 0.8859 7.7 0.8865 0.8871 0.8876 0.8882 0.8887 0.8893 0.8899 0.8904 0.8910 0.8915 7.8 0.8921 0.8927 0.8932 0.8938 0.8943 0.8949 0.8954 0.8960 0.8965 0.8971 7.9 0.8976 0.8982 0.8987 0.8993 0.8998 0.9004 0.9009 0.9015 0.9020 0.9025 8.0 0.9031 0.9036 0.9042 0.9047 0.9053 0.9058 0.9063 0.9069 0.9074 0.9079 8.1 0.9085 0.9090 0.9096 0.9101 0.9106 0.9112 0.9117 0.9122 0.9128 0.9133 8.2 0.9138 0.9143 0.9149 0.9154 0.9159 0.9165 0.9170 0.9175 0.9180 0.9186 8.3 0.9191 0.9196 0.9201 0.9206 0.9212 0.9217 0.9222 0.9227 0.9232 0.9238 8.4 0.9243 0.9248 0.9253 0.9258 0.9263 0.9269 0.9274 0.9279 0.9284 0.9289 8.5 0.9294 0.9299 0.9304 0.9309 0.9315 0.9320 0.9325 0.9330 0.9335 0.9340 8.6 0.9345 0.9350 0.9355 0.9360 0.9365 0.9370 0.9375 0.9380 0.9385 0.9390 8.7 0.9395 0.9400 0.9405 0.9410 0.9415 0.9420 0.9425 0.9430 0.9435 0.9440 8.8 0.9445 0.9450 0.9455 0.9460 0.9465 0.9469 0.9474 0.9479 0.9484 0.9489 8.9 0.9494 0.9499 0.9504 0.9509 0.9513 0.9518 0.9523 0.9528 0.9533 0.9538 9.0 0.9542 0.9547 0.9552 0.9557 0.9562 0.9566 0.9571 0.9576 0.9581 0.9586 9.1 0.9590 0.9595 0.9600 0.9605 0.9609 0.9614 0.9619 0.9624 0.9628 0.9633 9.2 0.9638 0.9643 0.9647 0.9652 0.9657 0.9661 0.9666 0.9671 0.9675 0.9680 9.3 0.9685 0.9689 0.9694 0.9699 0.9703 0.9708 0.9713 0.9717 0.9722 0.9727 9.4 0.9731 0.9736 0.9741 0.9745 0.9750 0.9754 0.9759 0.9763 0.9768 0.9773 9.5 0.9777 0.9782 0.9786 0.9791 0.9795 0.9800 0.9805 0.9809 0.9814 0.9818 9.6 0.9823 0.9827 0.9832 0.9836 0.9841 0.9845 0.9850 0.9854 0.9859 0.9863 9.7 0.9868 0.9872 0.9877 0.9881 0.9886 0.9890 0.9894 0.9899 0.9903 0.9908 9.8 0.9912 0.9917 0.9921 0.9926 0.9930 0.9934 0.9939 0.9943 0.9948 0.9952 9.9 0.9956 0.9961 0.9965 0.9969 0.9974 0.9978 0.9983 0.9987 0.9991 0.9996
참고로 1부터 10까지의 상용로그 값을 소수점 아래 32자리까지, 즉 로그 값의 1구(溝)분의 1자리까지 표현하면 아래와 같다.
| [math(\begin{aligned}\log 1 &= 0 \\ \log 2 &= 0.3010\, 2999\, 5663\, 9811\, 9521\, 3738\, 8947\, 2449 \\ \log 3 &= 0.4771\, 2125\, 4719\, 6624\, 3729\, 5027\, 9032\, 5512 \\ \log 4 &= 0.6020\, 5999\, 1327\, 9623\, 9042\, 7477\, 7894\, 4899 \\ \log 5 &= 0.6989\, 7000\, 4336\, 0188\, 0478\, 6261\, 1052\, 7551 \\ \log 6 &= 0.7781\, 5125\, 0383\, 6436\, 3250\, 8766\, 7979\, 7961 \\ \log 7 &= 0.8450\, 9804\, 0014\, 2568\, 3071\, 2216\, 2585\, 9264 \\ \log 8 &= 0.9030\, 8998\, 6991\, 9435\, 8564\, 1216\, 6841\, 7348 \\ \log 9 &= 0.9542\, 4250\, 9439\, 3248\, 7459\, 0055\, 8065\, 1023 \\ \log 10 &= 1\end{aligned})] 추가로, [math(\begin{aligned}\log e &= 0.4342\, 9448\, 1903\, 2518\, 2765\, 1128\, 9189\, 1661 \\ \log \pi &= 0.4971\, 4987\, 2694\, 1338\, 5435\, 1268\, 2882\, 9090 \end{aligned})] |
사실 [math(\log 2)], [math(\log 3)], [math(\log 7)]의 값만 알면 1부터 10까지 자연수들의 상용로그 값은 다 구할 수 있다. [math(\log5)]는 로그의 성질에 따라 [math(\log2+\log5=\log(2\times5)=\log10=1)]이므로 [math(\log2)]만 알면 값을 구할 수 있다. 마찬가지로 [math(\log4=2\log2)], [math(\log6=log2+log3)], [math(\log8=3\log2)], [math(\log9=2\log3)]또한 성립한다.]
확장하여 사실 소수 (prime number)들의 상용로그 값만 알면 모든 자연수의 상용로그 값을 구할 수 있다.[4]
6.1. 상용로그표를 이용한 계산 예시
123 x 4.5를 계산한다고 하자. 로그를 취하고 로그의 성질을 이용해 정리한다.| \log(123 \times 4.5) = \log123 + \log4.5 = \log(1.23 \times 100) + \log4.5 = \log1.23 + \log100 + \log4.5</math> |
| = 0.0899 + 2 + 0.6532 = 2.7431</math> |
즉, [math(\log(123 \times 4.5) = 2.7431)]이 된다. 이제 이 값에서 로그를 벗기기 위해 정수 2는 잠시 떼고 0.7431의 값을 로그표에서 역으로 찾는다. 대략 5.53(0.7427)과 5.54(0.7435) 사이의 값이 된다. 더 정확한 표라면 비례부분을 사용해서 소수점 셋째자리까지 알 수 있겠지만 이 표로는 알 수 없으므로 대략 절반인 5.535라고 하자.[5] 여기에 아까 떼버린 2의 로그를 벗긴 값 100을 곱해주면 553.5가 된다.
6.2. 상용로그표 계산
오늘날엔 간단한 공학용 계산기나 어플만 있으면 쉽게 로그값을 구할 수 있다.[6] 하지만 그 이전까진 임의의 로그를 계산하기 위해선 로그표를 찾는 수 밖에 없었다. 상용로그표는 1617년 헨리 브릭스에 의해 처음 작성되었다. 브릭스는 1부터 1000까지 정수의 상용로그를 소수점 아래 18자리까지 계산했고 출판할 때는 14자리로 줄였다. 이후 300년간 로그표의 값들은 브릭스가 계산한 표에서 자릿수만 잘라낸 것이다. 그렇다면 브릭스는 어떻게 맨땅에서 상용로그표를 구했을까? 리처드 파인만은 파인만의 물리학 강의의 대수학 파트에서 수체계를 구성하면서 브릭스의 방법으로 로그값을 계산하는 것을 보였고 이 문단도 그 방식을 따른다. 실제로 브릭스의 방식을 사용해 로그 테이블을 재구성해본 프로젝트가 있으니 참조.- 1600년대 기술력에 맞춰 계산에는 사칙연산과 제곱근만을 사용할 수 있다고 가정한다. (오늘날엔 제곱근 계산법을 교과과정에서 배우지는 않지만 계산기가 일반화되기 전엔 필수 과정이었다.)
- 테일러 급수[7]도 여기서는 쓰지 않는다. 테일러 급수는 100년이나 뒤인 1715년에야 발표되었다.
- [math(\log x = y)]에서 [math(x = 10^y)]이니 결국 10의 지수를 계산하는 것이 관건이다. 하지만 현재 (정수가 아닌) 지수를 구하는 방법은 제곱근(x1/2) 밖에 모르니 여기에서부터 시작하자.
밑수 10에 대한 제곱근(101/2)과 그 값의 제곱근(101/4), 또 그 값의 제곱근(101/8)을 반복해서 계산한 중간 테이블을 작성한다.
| x | 10x | 비고 |
| 1 | 10 | |
| 1/2 | 3.16228... | log3.16... = 0.5라는 사실을 알 수 있다. |
| 1/4 | 1.77828... | 여기까지 계산하면 logx = 0.25, 0.5, 0.75를 알 수 있다. |
| 1/8 | 1.33352... | |
| 1/16 | 1.15478... | |
| 1/32 | 1.074607... | |
| 1/64 | 1.036633... | |
| 1/128 | 1.018152... | |
| 1/256 | 1.0090350... | |
| 1/512 | 1.0045073... | |
| 1/1024 | 1.0022511... | |
| ... | ... | |
| △/1024 (△→0) | 1+0.0022486△ | 비례부분[8] |
브릭스는 이 값을 2-54까지 계산했다고 알려져 있으니 그야말로 엄청난 계산 노가다를 한 것이다. 물론 지금 한 것은 중간 테이블을 계산한 것 뿐이고 진짜 로그값은 지금부터 구해야된다.
[math(\log2)]부터 시작해보자. [math(\log2)]를 계산하는 것은 결국 [math(10^x = 2)]인 [math(x)]를 구하는 것과 같다. x가 1/2이라면 3.16...이고, 1/4라면 1.77...이므로 두 값의 사이라는 것을 알 수 있다. 2를 1.77...로 나눠보자.
| 2 / 1.77828 = 1.124682 |
| 1.124682 / 1.074607 = 1.046598 |
| 1.046598 / 1.036633 = 1.009613 1.009613 / 1.0090350 = 1.000573 |
= 10^{(\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{32} + \dfrac{1}{64} + \dfrac{1}{256} + \dfrac{0.254}{1024})} = 10^\dfrac{308.254}{1024} = 10^{0.30103})]
[math(\therefore \log2 = 0.30103)]사칙연산만으로 [math(\log2)]를 소수점 5번째 자리까지 구했다!
그리고 2의 로그값과 로그 공식을 이용하면 1000까지 정수 중 25개의 로그값을 자명하게 알아낼 수 있다. 간단한 덧셈으로 22~29의 로그값 8개를 구할 수 있고, 그렇게 나온 로그값에 기본적으로 있는 10의 로그값(1)을 더하는 것으로 20, 40, 80, 160, 320, 640을 구할 수 있고, 100의 로그값(2)를 더하는 것으로 200, 400, 800의 로그값 3개도 구할 수 있다. 거기에 더해 로그의 원리를 적용해서, 1에서 [math(\log2)]를 빼는 것으로 [math(\log5)]를 구할 수 있으며, 마찬가지로 52~54의 세 수의 로그값과 50, 250, 500의 로그값도 구해진다.
하지만 우리에게는 아직 3부터 999까지 970개에 달하는 값이 남아있으며, 그중에서 2와 5를 제외하고도 154개에 달하는 소수가 대기하고 있다. 3의 로그값을 구하면 3의 6승까지의 6개 로그값이 나오고, 이걸 파악되어 있는 로그값 27개와 조합하는 것으로 162개에 달하는 로그값을 얻을 수 있다. 이중 1000을 오버하는 것을 제외해도 51개 로그값을 추가로 얻을 수 있다. 이렇듯 합성수들의 로그값은 소수의 로그값을 조합하여 구할 수 있다지만, 소수만은 하나하나 수작업으로 구할 수 밖에 없다.
7. 관련 문서
[1] 미적분학이나 복소해석학, 해석적 정수론 등에서는 자연로그의 밑 [math(e)]를 밑으로 하는 로그(자연로그)를 주로 다루기 때문에 해당 분야에서는 [math(\log = \ln = \log_e)]를 의미하므로 명시해둔다.[2] 오늘날에도 2015년 이전까지는 천문학의 중요 단위인 파섹의 정의에 삼각함수로 정의되는 환원 불능(casus irreducibilis)인 비례상수를 사용했다. 2015년 이후부터는 1라디안을 각초로 단위 변환한 값을 이용한다.
[math(\begin{aligned}1\,{\rm pc} &= \cot {(1'')}{\rm\,AU} \\&= i + \frac{2i}{e^{i\pi/324000}-1}\,{\rm AU} \\&\approx 206\,265\,{\rm AU} \end{aligned})][3] 0이 아닌 수를 제곱해서 0이 나오는 것은 불가능하기 때문에 [math(\log 0)]은 정의되지 않으며, 오류의 원인이 될 수 있다.[4] 산술의 기본정리에 따라 1을 제외한 모든 자연수는 소인수분해 할 수 있기 때문. 똑같은 방법으로 [math(n)]번째 소수를 [math(q_n)]이라고 하면 [math(q_{n+1})]이 나오기 전까지의 자연수들의 상용로그를 [math(q_1)](=2)부터 [math(q_n)]까지의 소수들로 구할 수 있다.[5] 우연의 일치로 비례부분을 사용해서 5.535의 값을 계산하면 0.7431이 된다.[6] 참고로 컴퓨터는 로그값을 구하기 위해 CORDIC 알고리즘을 사용한다.[7] [math(\displaystyle \ln\left(1+x\right) = \sum_{n=1}^\infty \frac{\left(-1\right)^{n+1}x^n}n = x - \frac{x^2}2 + \frac{x^3}3 - \frac{x^4}4 + \cdots\cdots \ (-1<x \leq 1))]에서 유도된다.[8] 이 값은 [math(\displaystyle \frac{10^x-1}{x})]의 극한값을 추정해서 얻어졌다. 계산을 반복하면 약 2.3025에 수렴함을 알 수 있고, 이를 역산해서 구한다.
[math(\begin{aligned}1\,{\rm pc} &= \cot {(1'')}{\rm\,AU} \\&= i + \frac{2i}{e^{i\pi/324000}-1}\,{\rm AU} \\&\approx 206\,265\,{\rm AU} \end{aligned})][3] 0이 아닌 수를 제곱해서 0이 나오는 것은 불가능하기 때문에 [math(\log 0)]은 정의되지 않으며, 오류의 원인이 될 수 있다.[4] 산술의 기본정리에 따라 1을 제외한 모든 자연수는 소인수분해 할 수 있기 때문. 똑같은 방법으로 [math(n)]번째 소수를 [math(q_n)]이라고 하면 [math(q_{n+1})]이 나오기 전까지의 자연수들의 상용로그를 [math(q_1)](=2)부터 [math(q_n)]까지의 소수들로 구할 수 있다.[5] 우연의 일치로 비례부분을 사용해서 5.535의 값을 계산하면 0.7431이 된다.[6] 참고로 컴퓨터는 로그값을 구하기 위해 CORDIC 알고리즘을 사용한다.[7] [math(\displaystyle \ln\left(1+x\right) = \sum_{n=1}^\infty \frac{\left(-1\right)^{n+1}x^n}n = x - \frac{x^2}2 + \frac{x^3}3 - \frac{x^4}4 + \cdots\cdots \ (-1<x \leq 1))]에서 유도된다.[8] 이 값은 [math(\displaystyle \frac{10^x-1}{x})]의 극한값을 추정해서 얻어졌다. 계산을 반복하면 약 2.3025에 수렴함을 알 수 있고, 이를 역산해서 구한다.