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1. 개요
分配法則 / distributivive law분배법칙에 해당하는 영어 번역은 distributive law이지만, 사실 영어로는 분배성질에 해당하는 distributive property라는 말을 선호한다. 이는 분배법칙을 바라보는 관점의 차이에서 발생하는 용어의 차이로, 초등대수학에서는 사칙연산에서의 분배법칙이 거의 법칙이라고 불릴 정도로 막강한 도구이며 계산에 있어서 절대적인 룰이 되어왔다. 이러한 도구 덕에 법칙이라는 막강한 단어를 사용하게 되었지만, 현대 수학에 들어 초등대수학을 대체하는 수 체계나 연산 들이 많이 개발되면서[1] 분배법칙이 특정 상황에서만 성립하기 때문에 일반적인 수학에서 기술할 때는 분배성질이라는 단어를 선택하게 된다.
분배법칙은 두가지 이항 연산자가 특정 집합에서 성립하는 것을 전제로 하기 때문에, 다룰 때에 "연산자 *는 연산자 +에 대해 분배성이 있다(=분배법칙이 성립한다)"와 같은 표현을 사용하게 된다. 사실 곱셈은 덧셈의 반복으로부터 정의되어 확장되었기 때문에, 곱셈이 덧셈에 비해 상위 연산자의 성질이 있어 해당 성립이 성립하는 것이기도 하다. 다만 곱셈을 덧셈의 반복이 아닌 다른 방식으로 정의하는 경우나, 수 체계 자체에서 곱셈이 덧셈에 대해 분배법칙이 성립하지 않는 경우도 존재하기 때문에 항상 성립하는 법칙의 성질을 띄는 것은 어디까지나 교과 과정에서 다루는 복소수까지의 수 체계와 사칙연산 정도 뿐이다.
다만 논리 연산이나 집합연산에서 다루는 논리합/합집합 연산과 논리곱/교집합 연산의 경우에는 서로가 서로에 대해 분배법칙이 성립한다. 이는 부울 대수학의 성질과도 관련있는데, 수 체계도 다르며, 논리합과 논리곱이 기본 사칙연산과 차이가 있는 연산이기 때문에 성립하는 것으로, 초등대수학에서는 당연히 덧셈의 곱셈에 대한 분배법칙은 성립하지 않는다.
2. 정의
집합 [math(S)]와 [math(S)]에 대해 닫혀있는 두 이항 연산 [math(*, +)]가 정의되어 있을 때, [math(S)]의 임의의 원소 [math(a)], [math(b)], [math(c)]에 대해[math(a*(b+c)=(a*b)+(a*c))]가 성립하면 ([math(+)]에 대한 [math(*)]의) 좌분배법칙이,
[math((b+c)*a=(b*a)+(c*a))]가 성립하면 ([math(+)]에 대한 [math(*)]의) 우분배법칙이 성립한다고 하며,
위 두 가지가 모두 성립할 경우 집합 [math(S)]에서 연산 [math(*)]은 연산 [math(+)]에 대해 분배법칙 ([math(+)]에 대한 [math(*)]의 (양쪽) 분배법칙). [2]이 성립한다고 한다.
여기에서 [math(*)]과 [math(+)]는 실수(복소수)의 곱셈ㆍ덧셈을 의미하는 것이 아니다. 그저 집합 [math(S)]에서 닫혀 있는 어떠한 두 연산을 나타내는 기호일 뿐이며, [math(S)]가 실수(복소수)의 부분집합이 아닐 수도 있다. 그 예시는 선형대수학에서 다루는 아래의 나오는 행렬이나 벡터에서의 분배법칙 등이 있다. 반례가 하나라도 나온다면 분배법칙은 일반적으로 성립하지 않는다. 따라서 분배성질이라고 표현하기도 한다.
3. 교환법칙과 분배법칙
분배법칙은 교과과정에서 함께 다루어지는 교환법칙과 독립적이다. 일반적인 교환법칙이 성립하지 않는 경우는 물론, 심지어 [math(a * (b + c) \neq (b + c) * a)]여도 여전히 성립 가능하다. 대표적인 예시가 행렬과 사원수로, 2007년 개정 교육과정(~2013년 고교 입학생까지) 행렬이 고교수학에 남아 있던 시기의 학생이라면, 행렬에서 (덧셈에 대한 곱셈의) 분배법칙이 성립한다고 쓰여있는 것을 보았을 것이다.중학교 1학년 과정에서 처음 배우게 되는 법칙이다. 덧셈에 대한 곱셈의 교환법칙을 설명할 때, 두 수의 합에 어떤 수를 곱한 것은 두 수 각각에 그 수를 곱하여 더한 것과 같다고 설명한다. 주로 덧셈의 교환법칙은 수직선 위의 두 선분의 좌우를 바꾸어도 합한 길이가 같고, 곱셈의 교환법칙은 직사각형의 가로와 세로를 바꾸어도 넓이가 같다는 식으로 기하학적으로 접근하게 되는데, 이러한 관점에서 분배법칙은 한 변을 공유하는 두 직사각형의 넓이의 합을 계산하는 두 가지 방법에 대해 결과가 같다는 식으로 접근하게 된다. 참고로 직사각형의 넓이는 가로 길이 * 세로 길이로 정의하기 때문에, 곱셈은 교환법칙이 성립하긴 하지만 좌분배법칙과 우분배법칙은 사실상 다른 법칙이기 때문에 가로 길이를 공유하는 경우 좌분배법칙, 세로 길이를 공유하는 경우 우분배법칙에 대한 설명이 된다.
4. 다항식의 분배법칙
연산자 앞뒤로 항이 2개씩 이상 있을 경우, 다음을 따른다.[math((a+b)*(c+d)=(a*c)+(a*d)+(b*c)+(b*d))]
만약 교환법칙도 성립한다면 다음의 법칙도 성립함을 알 수 있다. 자세한 사항은 인수분해 참조.
- [math((a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2)]
- [math((a+b)(a-b)=a^2-b^2)]
분배법칙이 성립하는 다항식은 선형성(linearity)을 띤다라고 한다.
5. 분배법칙이 성립하는 연산
주로 선형성이 유지되는 곱셈에 해당하는 연산이며 일반적인 덧셈(+)과 뺄셈(-) 연산에 대해 성립하는 경우에 한한다. 각 성분이 실수 등의 완비체를 기반으로 한 벡터, 행렬 연산 및 곱 형식의 미적분 연산 역시 포함된다.- [math(\times)] (곱셈): 복소수와 사원수 범위
- [math(\cdot)] (내적: 벡터 범위)
- [math(*)] (합성곱: 라플라스 변환 관련 함수 연산)
- [math(\otimes)] (외적: 벡터 범위)
- [math(\times)] (행렬곱: 행렬 범위)
- [math(\circ)] (아다마르 곱: 행렬 범위)
- [math(∪)](합집합)과 [math(∩)](교집합), [math(∨)](논리합)과 [math(∧)](논리곱): 서로의 서로에 대한 분배법칙이 성립하는 특이 케이스. 때문에 서로 등가의 연산 우선순위를 가지고 있으며, 드모르간 법칙 등 대등한 연산에서만 성립하는 법칙이 성립한다.
6. 분배법칙이 성립하지 않는 연산
주로 일반적인 덧셈(+)과 뺄셈(-) 연산에 대해 성립하는 경우에 한한다. 다만 거듭제곱과 곱셈의 관계는 곱셈과 덧셈의 관계와 비슷한데, 따라서 보통 거듭제곱의 분배법칙에 대해 논할 때에는 곱셈에 대한 분배법칙을 의미하게 된다.- [math(\div)] (나눗셈)[R]
- [math(^\wedge)] (거듭제곱)[R]
- [math(\uparrow)] (테트레이션)
- [math(\circ)] (함수의 합성)[R]
- [math(\#)] (연결합: 위상)
7. 같이 보기
[1] 물론 어떠한 수학이더라도 기본적인 도구는 기존 수 체계와 기존 사칙연산이다. 따라서 아직도 정규 교과에서 중요하게 다루고 있는 것이다.[2] 곱하는 수와의 곱셈이 분배되는 것이기 때문에, [math(+)]의 분배법칙이 아니라 [math(*)]의 분배법칙임에 유의. '~에 대한'과 '~의'를 혼동하지 않아야 한다. 영어로는 [math(*)] distributes over [math(+)]처럼 분수와 같은 표현 방식을 사용한다.[3] [math((af(x) + bg(x))' = af'(x) + bg'(x))][4] [math(\displaystyle \int (af(x) + bg(x))\,{\rm d}x = a\int f(x)\,{\rm d}x + b\int g(x)\,{\rm d}x)][R] 단, 좌분배법칙만 성립하지 않으며, 우분배법칙은 성립한다. 좌분배법칙이 성립하지 않으므로, 일반적으로 성립하지 않는다는 정의에 들어맞는다. 나눗셈에서는 [math((a + b) \div c = (a \div c) + (b \div c)]) 이고, 합성함수에서는 [math((f + g) \circ h = (f \circ h) + (g \circ h))] 이며, 제곱에서는 곱셈에 대한 거듭제곱의 우분배법칙 [math((ab)^c=a^c b^c)]이 성립한다.[R] [R]