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1. 개요
Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk.[c]
신은 정수를 창조했고, 나머지는 인간의 작품이다.
ー레오폴트 크로네커, 1886년 #
整數 / integer신은 정수를 창조했고, 나머지는 인간의 작품이다.
ー레오폴트 크로네커, 1886년 #
[math(n)]이 0 또는 자연수일 때, [math(n+x=0)][2]을 만족하는 모든 [math(x)]와 모든 [math(n)]. 그리고 특정 [math(n)]에 대한 [math(x)]의 표기를 [math(x=-n)]이라 한다.
정수 내에서는 자연수를 양의 정수라 부르며, [math(\{ -1,\,-2,\,-3,\cdots \} )]를 음의 정수라고 한다. [math(0)]은 양의 정수도, 음의 정수도 아닌 정수이다. 집합 기호 표현으로는 독일어의 Zahlen의 앞 글자에서 따온 [math( \mathbb{Z} )]를 사용한다.[3] 한자 '정(整)-'은 가지런하다는 뜻을 담고 있다.
정수 집합 기호의 응용으로, 양의 정수의 집합을 [math(\Z^+)], 음의 정수의 집합을 [math(\Z^-)], [math(0)] 이상의 정수의 집합을 [math(\Z^{0+})], [math(0)] 이하의 정수의 집합을 [math(\Z^{0-})]라고 표기한다.
유리수의 기약 분수 표현에서 분모가 [math(1)]인 것들만이 정수가 된다. 임의의 실수는 정수 [math(n)]과 [math(0 \le x < 1 )]인 소수 [math(x)]의 합으로 유일하게 나타낼 수 있다는 성질이 있고, 여기서 [math(x)]가 [math(0)]일 때만이 정수가 되는 것은 당연하다. 이때 [math(n)]을 정수 부분, [math(x)]를 소수 부분이라 한다. 상용로그의 지표와 가수를 생각하면 된다.[4]
2. 정수 집합의 크기
정수 집합 [math(\mathbb{Z})]은 자연수 집합 [math(\mathbb{N})]과 그 농도가 같은데, 자연수 집합 [math(\mathbb{N})]에서 정수 집합 [math(\mathbb{Z})]으로 가는 일대일 함수 [math(f)]를 다음과 같이 정의할 수 있기 때문이다.[5][math(f(n)=\displaystyle\left(-1\right)^{n}\cdot\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor)]
3. 닫혀 있는 연산
- 나눗셈을 제외한 사칙연산 전부.
- 실수부 함수 [math(\Re)][6], 허수부 함수 [math(\Im)][7]
- 부호 함수 [math(\mathrm{sgn})]
- 지시 함수 [math(\bold{1}_{\mathbb P}, \bold{1}_{\mathbb N}, \bold{1}_{\mathbb Z}, \bold{1}_{\mathbb Q}, \bold{1}_{\mathbb I}, \bold{1}_{\mathbb R})] 등
- 어림할 때의 함수 [math(\lfloor \, \rfloor,\lceil \, \rceil)]
4. 정수론
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정수(및 자연수)의 성질을 탐구하는 학문을 정수론이라 한다. 정수론은 수학의 굵직한 분야 중 하나고, 어찌 보면 이는 정수가 실수보다 복잡한 성질을 갖고 있다는 의미이다.[8]
흔한 오해와 다르게 정수론에서는 사전적인 정수만 다루는 것이 아닌, 일반적인 정수와 같은 성질을 보존하는 환(ring)의 성질 자체를 탐구하는 것이기 때문에 정작 실제 값은 실수나 복소수가 들어갈 때도 있다.
대표적인 예로 정수 [math(a)]가 square free일 때[9] [math(\mathbb{Z}\left[\sqrt{a}\right] = \left\{ n + m \sqrt{a} : n, m\in \mathbb{Z} \right\})] 같은 집합을 생각할 수 있다. [math(a=-1)]일 때 이 집합은 실수부와 허수부가 모두 정수인 가우스 정수(Gaussian integer)라는 이름으로 불린다. 이 가우스 정수에서는 [math(2)]가 소수가 아니게 된다. [math(2=\left(1+i\right)\left(1-i\right))]이기 때문. [math(\sqrt{a})]를 공통 수학에서 나오는 3차 단위근 [math(\omega)][10]으로 바꾸면 이 집합은 아이젠슈타인 정수(Eisenstein integer)라는 이름이 붙고, 페르마의 마지막 정리에서 [math(n=3)]인 경우를 증명할 때 사용된다.
5. 목록
6. 여담
일본어와 중국어에서는 양수를 나타내는 正数(정수)와 발음이 같아서 종종 혼동된다. 整数와 正数는 일본어로 せいすう로 발음이 같고, 중국어에서는 각각 zhěngshù, zhèngshù로 성조만 다르다. 이와 비슷한 사례로 한국어의 소수가 있다. 소수점 이하의 수로 나타낼 수 있는 수는 [소:수]로, 나머지가 1과 자기 자신뿐인 수는 [소쑤]로 발음하는데, 이 발음 구분이 모호해지고 있다. 문화어로는 '옹근수'라고 한다.7. 둘러보기 틀
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[c] ganzen Zahlen은 영어로 직역하면 'whole number'에 가깝기 때문에 크로네커가 이를 어떤 의미로 사용했는지에 대해 아직도 논란이 남아 있으며##, 영어로 '정수' 대신 '자연수'라고 인용될 때도 있다.[2] 이때 [math(x)]를 'n의 덧셈에 대한 역원'이라고 한다.[3] 정수 한정이 아니라 그냥 '숫자', '수'라는 의미도 있다. 간단히, Zahlen의 동사형인 zahlen이 하나하나 '세다'라는 의미이다. 친숙한 용례로는 Zahlenteufel(수학 귀신). 영어로도 정수론을 number theory라고 하고, 독어로도 Zahlentheorie니 맥락이 닿아 있는 표현.[4] 이렇게 보면 실수가 먼저이고 정수가 나중이라고 보기 쉽고 고등학교 과정까진 (심지어 수학과를 뺀 다른 대학교 과정에서도) 이런 식으로 배우는 것이 보통이다. 하지만 현대 수학에선, 당장 대학교 수학과 학부 과정에 이르러선, 오히려 그 반대로 가는 것이 맞는다. 현대 수학에서는 공리적으로 접근하므로 가장 구성하기 쉬운 자연수에서 시작해서 정수, 유리수, 실수 등으로 확장해 나가는 방식을 사용한다. 즉, 정수로부터 (일단 유리수를 만든 다음 여기서) 실수를 '만들어내는' (정확히 말하자면 '확장하는') 것이 맞는다. 물론, 정수도 자연수로부터 만들어지는 것이다. 물론 이건 수학적인 관점, 특히 대수학적 관점에 치중한 것이고, 자연계에서 측정되는 물리량들이 모두 실수인 것을 생각하면 생각보다 복잡한 문제이겠다. 사실, 현대 수학이 탄생하기 이전 약 백수십여 년 전만 해도 유리수까지만 수(number) 취급을 하였고, 실수는 수가 아닌 다른 것(magnitude) 취급을 하였다.[5] 여기서 [math(\lfloor\cdot\rfloor)]는 최대 정수 함수. 고등학교에서 다루는 가우스 함수 [math(y=[x])]가 바로 이것이다.[6] [math(\Re(x) = x \in \mathbb{Z})][7] [math(\Im(x) = 0 \in \mathbb{Z})][8] 그렇다고 실수의 성질이 복잡하지 않다는 이야기는 아니다. 실해석학 문서를 보면 알겠지만, 실수에는 별별 희한한 성질이 나온다.[9] [math(k^{2}\mid a)]면 [math(k=\pm 1)]. 쉽게 말하자면 [math(a)]가 제곱수가 아닐 경우, 즉 [math(\sqrt{a}\notin\N)]인 경우.[10] [math(\omega^2 + \omega + 1 = 0)]의 복소근이며, [math((\omega - 1)(\omega^2 + \omega + 1) = \omega^3 -1)]이므로 [math(\omega^3 = 1)]의 허근이기도 하다.