1. 개요
部分分數分解 / partial fraction decomposition통분되어 있는 분수를 다른 분수들의 합과 차로 분해하는 것을 말한다. 대표적으로 [math(\frac1{AB} = \frac1{B-A} \bigl( \frac1A-\frac1B \bigr))] 등의 항등식을 이용해 아래의 예시처럼 보통 유리식에서 더 낮은 차수의 분모들로 분해할 수 있다.
[math(\begin{aligned} \dfrac1{x^2-1} = \dfrac12 \!\left( \dfrac1{x-1}-\dfrac1{x+1} \right) \end{aligned} )] |
[math(\displaystyle \begin{aligned} \sum_{k=1}^n \frac1{k(k+1)(k+2)\cdots(k+m)} = \frac1m \biggl( \frac1{m!} -\frac1{(n+1)(n+2)\cdots(n+m)} \biggr) \end{aligned} )] |
2. 유리식의 표준 부분분수분해
| 유리식의 표준 부분분수분해 두 다항식 [math(p(x)\in F[x])], [math(q(x)\in F[x])]에 대해 [math(q(x) \neq 0)]가 기약다항식의 곱 [math(q = q_1^{e_1} q_2^{e_2} \cdots q_k^{e_k})]로 인수분해 된다고 하자. 그러면 다음을 만족하는 다항식들 [math(a(x))], [math(b_{i,j}(x))]이 유일하게 존재한다. [math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{p(x)}{q(x)} = a(x) +\sum_{i=1}^k \sum_{j=1}^{e_i} \frac{b_{i,j}(x)}{\{q_i(x)\}^j} \qquad \deg(b_{i,j}) < \deg(q_i) \end{aligned} )] 특히, [math(\deg(p) < \deg(q))]이면[1] [math(a=0)]이다. |
배경인 체 [math(F)]가 바뀌면 기약다항식이 바뀌므로 인수분해 꼴도 바뀌어 다른 부분분수분해를 볼 수 있다. 예를 들어 유리수 및 실수 위에서는
[math(\begin{aligned} \dfrac1{x^3+1} = \dfrac{1/3}{x+1} +\dfrac{2/3-x/3}{x^2-x+1} \end{aligned} )] |
[math(\begin{aligned} \dfrac1{x^3+1} = \dfrac{1/3}{x+1} +\dfrac{\omega/3}{x+\omega} +\dfrac{\omega^2/3}{x+\omega^2} \qquad \biggl( \omega = \dfrac{-1+\sqrt3i}2 \biggr) \end{aligned} )] |
한편, 분모에 완전제곱식이 들어가 있으면 다음과 같이 된다.
[math(\begin{aligned} \dfrac{x+1}{x^6+2x^4+x^2} = \dfrac1x +\dfrac1{x^2} +\dfrac{-x-1}{x^2+1} +\dfrac{-x-1}{(x^2+1)^2} \end{aligned} )] |
대수학의 기본정리에 따르면, 복소계수 기약다항식은 일차다항식밖에 없고 실계수 기약다항식은 일차다항식 혹은 허근을 갖는 이차다항식이 전부이기 때문에, 복소수의 경우 [math(q_i)]들을 1차로 놓을 수 있고 실수의 경우 [math(q_i)]들을 1차 혹은 2차로 놓을 수 있다. 유리수계수로 한정하면 더욱 높은 차수가 나올 수 있다.
존재성 및 유일성의 증명은 교과과정에선 명시적으로 나오지 않는데, 베주 항등식에 의존하기 때문.
| {{{#!folding [존재성 증명] 우선 다음의 보조정리를 먼저 증명한다. | <table width=100%> 다항식 [math(q_1(x))], [math(q_2(x))]가 서로소일 때, 다음을 만족하는 다항식 [math(r_1(x))], [math(r_2(x))]가 존재한다. [math(\begin{aligned} \dfrac1{q_1q_2} = \dfrac{r_1}{q_1} +\dfrac{r_2}{q_2} \end{aligned} )] |
}}}||
|
3. 구하는 법
일단 존재성/유일성이 밝혀진 이상, 항등식을 찾아내는 전가의 보도와도 같은 미정계수법을 쓰면 된다. 양 변에 분모를 곱해 다항식으로 만들고 계수비교법을 사용하는 것이 보통이나, 자신이 있다면 [math(x)]에 직접 수를 대입해 구할 수도 있다. 이 대입법을 극한까지 활용한 다음 기법이 있다.3.1. Heaviside cover-up method
| 헤비사이드의 가리기법(Heaviside cover-up method) 분모가 서로 다른 일차식으로 인수분해되는 다음 꼴의 부분분수분해에서 [math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{p(x)}{(x-\lambda_1)(x-\lambda_2)\cdots(x-\lambda_k)} = \sum_{i=1}^k \frac{c_i}{x-\lambda_i} \qquad (\deg(p)<k) \end{aligned} )] 각각의 계수들은 다음 식으로 구할 수 있다. [math(\displaystyle \begin{aligned} c_i = \frac{p(\lambda_i)}{\displaystyle \prod_{j\neq i} (\lambda_i-\lambda_j)} = \frac{p(\lambda_i)}{(\lambda_i-\lambda_1)\cdots(\lambda_i-\lambda_{i-1})(\lambda_i-\lambda_{i+1})\cdots(\lambda_i-\lambda_k)} \end{aligned} )] |
기법의 이름은 분모의 [math((x-\lambda))]들 및 관련 없는 항들을 싹 다 손으로 가리고(...) [math(x)]에 [math(\lambda)]를 대입하면 된다는 뜻.
이때, 다항함수/공식 문서에서 증명한 기울기 공식에 따르면
[math(\begin{aligned} f(x) = a(x-\lambda_1)(x-\lambda_2)\cdots(x-\lambda_n) \end{aligned} )] |
[math(\displaystyle \begin{aligned} c_i = \frac{p(\lambda_i)}{\displaystyle \prod_{j\neq i} (\lambda_i-\lambda_j)} = \frac{p(\lambda_i)}{f'(\lambda_i)} \end{aligned} )] |
[math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{p(x)}{(x-\lambda_1)(x-\lambda_2)\cdots(x-\lambda_k)} = \sum_{i=1}^k \frac{p(\lambda_i)}{(x-\lambda_i)f'(\lambda_i)} \end{aligned} )] |
예시)
[math(\begin{aligned} \dfrac{x^3+1}{x(x-2)^2(x-4)^2} = \dfrac cx + (\cdots) \end{aligned} )] |
====# 예제 #====
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| 2024학년도 EBS 수능특강 수학Ⅱ 42쪽 2번 |
[math(\displaystyle \begin{aligned} \frac1{f(x)} = \sum_{i=1}^n \frac1{(x-x_i)f'(x_i)} \end{aligned} )] |
[math(\displaystyle \begin{aligned} g(x) &= \sum_{i=1}^3 \frac{f(x)}{(x-x_i)f'(x_i)} \\ &= \frac{f(x)}{f(x)} = 1 \end{aligned} )] |
결국 [math(g(x))]는 알고 보면 함숫값이 항상 [math(1)]인 상수함수에 불과하므로 정답은 ④이다.
실제 수능특강에서는 다음과 같은 해설을 제시했는데, [math(f(x))]를 미분하고 일일이 [math(g(x))]를 계산하여 정리한 다음 [math(x=a_4)]를 대입하는 일련의 과정이 너무 번거롭다.
이때, 다항함수/공식 문서의 4.3 문단에서 설명한 기울기 공식에 따라 다음이 성립하는 것이다.
[math(\begin{aligned} f'(a_1) &= (a_1-a_3)(a_2-a_3) \\ f'(a_2) &= (a_2-a_1)(a_2-a_3) \\ f'(a_3) &= (a_3-a_1)(a_3-a_2) \end{aligned} )] |
한편, [math(\{a_n\})]의 공차가 [math(2)]임을 이용하여 위 해설에 나온 대로 [math(g(a_n))]을 써 보면 다음과 같이 실제로 [math(n)]의 값에 관계없이 [math(1)]이 나온다.
[math(\begin{aligned} g(a_n) &= \dfrac{(a_n-a_2)(a_n-a_3)}{(a_1-a_2)(a_1-a_3)} +\dfrac{(a_n-a_1)(a_n-a_3)}{(a_2-a_1)(a_2-a_3)} +\dfrac{(a_n-a_1)(a_n-a_2)}{(a_3-a_1)(a_3-a_2)} \\ &= \dfrac{2(n-2)\times2(n-3)}{(-2)\times(-4)} +\dfrac{2(n-1)\times2(n-3)}{2\times(-2)} +\dfrac{2(n-1)\times2(n-2)}{4\times2} \\ &= \dfrac{4(n-2)(n-3)-8(n-1)(n-3)+4(n-1)(n-2)}8 \\ &= \dfrac88 = 1 \end{aligned} )] |
3.2. 테일러 전개
한편, [math(p(x))]가 [math(n)]차 다항식일 때, [math(p(x)/(x-a)^m)] 꼴인 경우에는, [math(x=a)]에서의 테일러전개를 하면 미정계수법 같은 지저분한 방법을 피할 수 있다.| 다항식의 테일러 전개 [math(p(x))]가 [math(n)]차 다항식 일 때, 임의의 실수 [math(a)]에 대해 아래의 항등식이 성립한다. [math(\displaystyle \begin{aligned} p(x) &= \sum_{i=0}^n \frac{p^{(i)}(a)}{i!} \,(x-a)^i \\ &= p(a) +\frac{p'(a)}{1!}\,(x-a) +\frac{p''(a)}{2!}\,(x-a)^2 +\cdots +\frac{p^{(n)}(a)}{n!}\,(x-a)^n \end{aligned} )] |
[math(\begin{aligned} \dfrac{p(x)}{(x-a)^m} = \dfrac{p(a)}{0!\,(x-a)^m} +\dfrac{p'(a)}{1!\,(x-a)^{m-1}} +\cdots +\dfrac{p^{(n-1)}(a)}{(n-1)!\,(x-a)^{m-(n-1)}} +\dfrac{p^{(n)}(a)}{n!\,(x-a)^{m-n}} \end{aligned} )] |
예시)
[math(\begin{aligned} \dfrac{x^4+3x^2-5x-2}{(x-2)^5} \end{aligned} )] |
[math(\displaystyle \begin{aligned} p(x) &= x^4+3x^2-5x-2 & p(2) &= 16 \\ p'(x) &= 4x^3+6x-5 & p'(2) &= 39 \\ p(x) &= 12x^2+6 & p(2) &= 54 \\ p(x) &= 24x & p(2) &= 48 \\ p^{(4)}(x) &= 24 & p^{(4)}(2) &= 24 \end{aligned} )] |
[math(\begin{aligned} \dfrac{x^5+3x^2-5x-2}{(x-2)^5} &= \dfrac{16}{0!\,(x-2)^5} +\frac{39}{1!\,(x-2)^4} +\frac{54}{2!\,(x-2)^3} +\frac{48}{3!\,(x-2)^2} +\frac{24}{4!\,(x-2)} \\ &= \dfrac{16}{(x-2)^5} +\frac{39}{(x-2)^4} +\frac{27}{(x-2)^3} +\frac8{(x-2)^2} +\frac1{(x-2)} \end{aligned} )] |
4. 항등식
유리식의 표준 부분분수분해가 아닌, 개요 문단에서 소개했던 [math(\frac1{AB} = \frac1{B-A} \bigl( \frac1A-\frac1B \bigr))]와 같은 형식의 부분분수분해 항등식도 여럿 소개한다.- 2개의 항으로 이루어진 분수를 분해할 경우
\dfrac1{AB} = \dfrac1{B-A} \biggl( \dfrac1A-\dfrac1B \biggr)
\end{aligned} )]}}}||
- 3개 이상의 항으로 이루어진 분수를 분해할 경우 - 위의 경우를 응용하여 다양하게 분해 가능하다.
\dfrac1{ABC} &= \dfrac1{C-AB} \biggl( \dfrac1{AB}-\dfrac1C \biggr) = \dfrac1{BC-A} \biggl( \dfrac1A-\dfrac1{BC} \biggr) \\
&= \dfrac1{B(C-A)} \biggl( \dfrac1{A}-\dfrac1{C} \biggr) = \dfrac1{C-A} \biggl( \dfrac1{AB}-\dfrac1{BC} \biggr)
\end{aligned} )]}}}||
- 부분분수분해를 이용한 무한급수
\sum_{n=1}^\infty \frac1{n(n+1)} &= \sum_{n=1}^\infty \biggl( \frac1n-\frac1{n+1} \biggr) \!= 1 \\
\sum_{n=1}^\infty \frac1{n(n+1)(n+2)} &= \sum_{n=1}^\infty \frac12 \biggl( \frac1{n(n+1)}-\frac1{(n+1)(n+2)} \biggr) \!= \frac14 \\
\sum_{n=1}^\infty \frac1{n(n+1)(n+2)(n+3)} &= \sum_{n=1}^\infty \frac13 \biggl( \frac1{n(n+1)(n+2)}-\frac1{(n+1)(n+2)(n+3)} \biggr) \!= \frac1{18} \\
&\;\,\vdots \\
\sum_{n=1}^\infty \frac1{n(n+1)(n+2)\cdots(n+k)} &= \sum_{n=1}^\infty \frac1k \biggl( \frac1{n(n+1)\cdots(n+(k-1))}-\frac1{(n+1)(n+2)\cdots(n+k)} \biggr) \!= \frac1{k\cdot k!}
\end{aligned} )]}}}||
5. 활용
가장 먼저 등장하는 것은 유리함수의 적분일 것이다. 실수 위에서 부분분수분해를 하면 모든 유리식의 적분을 다음 세 가지 꼴의 적분들의 합으로 모두 바꾸어 버릴 수 있다.[math(\displaystyle \begin{aligned} \int \frac{{\rm d}x}{(x-a)^k}, \quad \int \frac{{\rm d}x}{((x-p)^2+q^2)^l}, \quad \int \frac{x-p}{((x-p)^2 + q^2)^l} \,{\rm d}x \end{aligned} )] |
그 다음으로 나오는 것이 라플라스 변환. 미분방정식의 해에 라플라스 변환을 해서 유리식을 얻고 [math(\to)] 부분분수 분해 [math(\to)] 역변환의 과정을 비슷하게 거친다. 조합론을 공부한다면 선형점화식의 생성함수 풀이도 비슷하게 볼 수 있다.
다음과 같은 이색적인(?) 부분분수 분해도 가능하다. 중국인의 나머지 정리와의 연관성을 볼 수 있을...수도?
[math(\begin{aligned} \dfrac1{60} = -2 +\dfrac12 +\dfrac1{2^2} +\dfrac23 +\dfrac35 \end{aligned} )] |
부분분수분해를 통하여 다항함수의 미분계수에 대한 흥미로운 성질을 증명할 수도 있다. 다항함수/공식 문서의 역수의 합 문단 참고. 이미 위의 Heaviside cover-up method 문단에서 언급도 하고 사용도 한 공식이다.
[1] 즉, [math(p(x))]의 차수가 [math(q(x))]의 차수보다 작다면[2] 미분을 아직 안 배웠다면, 다항식 [math(p(x))]에 대해서 [math(p'(x))]는 [math(x^k)]를 [math(kx^{k-1})]로 바꾸는 연산 결과라고 생각하면 된다. 예를 들어서 [math((4x^3+3x^2-3x+1)' = 4(3x^2)+3(2x)-3(1)+1(0) = 12x^2+6x+3)]이 된다. 한편 [math(p^{(n)}(x))]는, [math(p^{(0)}(x)=p(x))]이고 [math(p^{(k+1)}(x)=(p^{(k)}(x))')]로 정의된다.