최근 수정 시각 : 2024-11-03 19:21:34
테일러 급수 테일러 급수 를 다루는 문서이다. [math(\displaystyle \frac 1{1-x} = \sum_{n=0}^\infty x^n = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots\cdots \quad (|x|<1))]
그래프 보기 라마누잔합 이다.3. 이항급수 [math(\displaystyle (1+x)^\alpha = \sum_{n=0}^\infty \binom\alpha n x^n = 1 + \frac\alpha{1!}x + \frac{\alpha(\alpha - 1)}{2!}x^2 + \cdots\cdots + \frac{\prod\limits_{r=0}^{n-1}(\alpha - r)}{n!}x^n + \cdots\cdots)]
여기서 [math(\dbinom\alpha n)]는 이항계수 이다. [math(\begin{aligned} y &= (1+x)^\alpha = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \cdots\cdots \\ &= \sum_{n=0}^\infty a_n x^n\end{aligned})]
양변을 미분하면 [math(\begin{aligned} y' &= \alpha(1+x)^{\alpha-1} = a_1 + 2a_2x + 3a_3x^2 + \cdots\cdots \\ &= \sum_{n=0}^\infty (n+1)a_{n+1}x^n\end{aligned})]
위 두 식을 이용하여 미분방정식을 세울 수 있다. [math(\begin{aligned} \alpha(1+x)^\alpha &= \alpha y = (1+x)y' \\ \therefore y' &= \alpha y-xy'\end{aligned})]
여기서 [math(xy')]의 무한급수는 [math(\begin{aligned} xy' &= 0 + a_1x + 2a_2x^2 + \cdots\cdots \\ &= \sum_{n=0}^\infty na_n x^n\end{aligned})]
이므로 미분방정식에서 각 항의 계수를 견주면 [math(\begin{aligned} \sum_{n=0}^\infty (n+1)a_{n+1}x^n &= \alpha\sum_{n=0}^\infty a_nx^n- \sum_{n=0}^\infty na_nx^n \\ &= \sum_{n=0}^\infty (\alpha - n)a_nx^n \end{aligned})]
다음과 같이 점화식이 얻어지므로 풀면 [math(\begin{aligned} &\begin{cases} (n+1)a_{n+1} = (\alpha - n)a_n \\ a_0 = 1 \end{cases} \\
따라서 [math(a_n = \dbinom\alpha n)]임을 알 수 있다. 참고로 [math(\alpha)]는 복소수 범위로 확장해도 성립하는 성질이며 위의 무한등비급수는 이항급수에서 [math(\alpha=-1)], [math(x=-t)]에 해당하는 경우로 생각할 수 있다.과학 , 공학 분야에서 상당히 많이 쓰이는 편이다. 주로 [math(x\ll1)] 일 때 [math(n=1)] 항까지 취해 [math((1+x)^\alpha \approx 1 + \alpha x)]로 근사하는 경우가 많은데, [math(x\ll1)] 이면 [math(x^2)] 부터는 값이 아주 작아지기 때문이다.4.1. 사인 함수, 코사인 함수 [math(\displaystyle \sin x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots\cdots + (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} + \cdots\cdots)]그래프 보기 [math(\displaystyle \cos x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots\cdots + (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} + \cdots\cdots )]그래프 보기
두 함수 모두 복소평면 전체에서 수렴한다.[math((\sin x)^{(n)} = \sin{\left(x+\dfrac{n\pi}2\right)})] [math((\cos x)^{(n)} = \cos{\left(x+\dfrac{n\pi}2\right)})] [math(\lim\limits_{x\to0} \dfrac{\sin x}x = 1)]
위 식은 사인함수의 테일러 급수식을 이용해서 용이하게 증명이 가능하다. [math(\sin x = x - \dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^5}{5!} - \dfrac{x^7}{7!} + \cdots\cdots + (-1)^n\dfrac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} + \cdots\cdots)]
에서 양변을 [math(x)]로 나누면 [math(\dfrac{\sin x}x = 1 - \dfrac{x^2}{3!} + \dfrac{x^4}{5!} - \dfrac{x^6}{7!} + \cdots\cdots + (-1)^n\dfrac{x^{2n}}{(2n+1)!} + \cdots\cdots)]
이 되는데 [math(x\to0)] 일 때 이차항부터는 모두 [math(0)]이 되어 사라진다.귀찮으면 로피탈 써도 된다.노가다(수학) 문서에서 제시한 [math(dfrac{sin x}x)]를 적분해보라 는 문단도 이 매클로린 급수를 적분함으로써 해결이 가능하다.차원 분석 을 적용할 수 있다. 삼각함수의 결과값은 삼각비 혹은 단위원에서 단위가 같은 두 물리량의 비로 정의되는 까닭에 [math(\dim(\sin x) = {\sf1})], 즉 무차원량 이므로 테일러 급수식에서 [math(\cfrac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!})]로 표기되는 모든 일반항 역시 무차원량이어야 한다. [math((-1)^n)], [math((2n+1)!)]은 순수한 수치로서 무차원량이므로, [math(\dim x = {\sf1})] 즉 [math(x)]가 각도 [math(\theta)](단위는 [math(\rm rad)])에서 유래한 양이라 하더라도 [math(\rm rad)]이 약분된 값, 즉 [math(x = \theta/{\rm rad})]여야 함을 용이하게 알 수 있다.오일러의 공식 을 통해 복소평면에서 지수함수로 나타낼 수 있다는 사실에 기반하여 유도된 식이라 일반항이 복잡하고 베르누이 수열 ([math(B_n)])이라는 특이한 수열 을 매개로 정의된다. 심지어 [math(\sec x)]는 베르누이 수열 로도 간단하게 정의가 안 돼서 오일러 수열 ([math(E_n)])이라는 또 다른 수열을 이용하는데, 또한 베르누이 수열 은 제타함수의 일부 함숫값들이나 거듭제곱 합의 공식 에,오일러 수열 은 디레클레 베타함수의 일부 함숫값을 나타낼때도 쓰인다. 각 일반항의 유도 과정은 베르누이 수열 , 오일러 수열 문서 참조 [math(\begin{aligned} {\tiny\bullet}~\, \tan x &= \sum_{n=1}^\infty \frac{\{(-4)^n - (-16)^n\}B_{2n}}{(2n)!}x^{2n-1} \\ &= x + \frac13x^3 + \frac2{15}x^5 + \frac{17}{315}x^7 + \cdots\cdots\end{aligned})]
[math(\cot)]의 테일러 급수는 파섹 을 정의할 때 요긴하게 쓰인다. [math(\displaystyle \tan x = \sum_{n=0}^\infty \frac{8x}{(2n+1)^2\pi^2-4x^2})] [math(\displaystyle \sec x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n(2n+1){\pi}}{{\left(n+ \dfrac12\right)}^2\pi^2-x^2})] [math(\displaystyle \csc x = \frac1x + 2x \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{x^2-(n\pi)^2})] [math(\displaystyle \cot x = \frac1x + 2x \sum_{n=1}^\infty \frac1{x^2 -(n\pi)^2})]
네 함수는 주기를 갖는 특이점 이 있기 때문에 미타그레플레르 정리 를 이용해 베르누이 수열, 오일러 수열 없이 도 무한급수를 정의할 수 있다. [math(\begin{aligned} {\tiny\bullet}~\, \arcsin x &= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2n+1} \binom{-\frac12}n x^{2n+1} \\ &= \sum_{n=0}^\infty \frac{(2n-1)!!}{(2n)!! (2n+1)}x^{2n+1} \\ &= \sum_{n=0}^\infty \frac{(2n)!}{4^n(n!)^2(2n+1)}x^{2n+1} \\ &= x + \frac16x^3 + \frac3{40}x^5 + \frac5{112}x^7 + \cdots\cdots \quad (|x| \le 1) \end{aligned})]
[math(!!)]은 이중계승 기호로 [math(2)]씩 빼서 곱하라는 뜻이다. 즉 [math((2n)!! = 2n \cdot \left( 2n-2 \right) \cdot \left( 2n-4 \right) \cdots\cdots 4 \cdot 2)]이다. [math(\begin{aligned} {\tiny\bullet}~\, \arccos x &= \frac \pi2 - \arcsin x \\ &= \frac\pi2 - \sum_{n=0}^\infty \frac{(2n)!}{4^n(n!)^2(2n+1)}x^{2n+1} \\ &= \frac \pi2 - x - \frac16x^3 - \frac3{40}x^5 - \frac5{112}x^7 - \cdots\cdots \quad (|x| \le 1) \\ {\tiny\bullet}~\, \arctan x &= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1} \\ &= x - \frac{x^3}3 + \frac{x^5}5 - \frac{x^7}7 + \cdots\cdots \quad (|x| \le 1) \end{aligned})]
그래프 보기 적절 하게 정리해주면 된다. [math(\begin{aligned} \frac{\rm d}{{\rm d}x} \arcsin x &= \frac1{\sqrt{1-x^2}} \\ &= (1-x^2)^{-\frac12} \\ &= \sum_{n=0}^\infty \binom {-\frac12}n(-x^2)^n \\ \therefore \arcsin x &= \int_0^x \sum_{n=0}^\infty \binom{-\frac 12}n (-t^2)^n{\rm\,d}t \\ &= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2n+1} \binom{-\frac 12}n x^{2n+1} \end{aligned})]
[math(\arcsin x + \arccos x = \cfrac\pi2 \\ \therefore \arccos x = \cfrac\pi2 - \arcsin x)]
[math(\displaystyle \arctan x = \int_0^x \frac{{\rm d}t}{1+t^2} = \int_0^x \sum_{n=0}^\infty (-t^2)^n{\rm\,d}t = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1})]
위의 역삼각함수의 급수식을 이용하는 방법으로, [math(\arcsin1 = \cfrac\pi2)] 및 [math(\arctan 1 = \cfrac\pi4)]를 이용하는 것이다. [math(\begin{aligned} \frac\pi2 &= 1 + \frac16 + \frac3{40} + \frac5{112} + \frac{35}{1152} + \cdots\cdots \\ \therefore \pi &= 2 + \frac13 + \frac3{20} + \frac5{56} + \frac{35}{576} + \cdots\cdots \end{aligned})]
또는 [math(\begin{aligned} \frac\pi4 &= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2n+1} \\ &= 1 - \frac13 + \frac15 - \frac17 + \cdots\cdots \\ \therefore \pi &= 4 - \frac43 + \frac45 - \frac47 + \frac49 - \cdots\cdots \\ &= 4 - \frac8{3{\cdot}5} - \frac 8{7{\cdot}9} - \frac 8{11{\cdot}13} - \cdots\cdots \end{aligned})]
미친마친 공식(Machin-like formula) [math(\arctan\dfrac{a_1}{b_1} + \arctan\dfrac{a_2}{b_2} = \arctan\dfrac{a_1 b_2 + a_2 b_1}{b_1 b_2 - a_1 a_2})]
(단, 위 값이 [math(\cfrac\pi2)]보다 작아야 성립) [math(\begin{aligned} \dfrac\pi4 &= \arctan\dfrac12 + \arctan\dfrac13 \\ &= 4\arctan\dfrac15 - \arctan\dfrac1{239}\end{aligned})]
[math(\displaystyle e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \cdots\cdots + \frac{x^n}{n!} + \cdots\cdots)]
복소평면 전체에서 수렴한다.그래프 보기 [math(\displaystyle e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n = \sum_{n=0}^\infty \frac1{n!}x^n)]
이 성립한다. [math(e = \dfrac1{0!} + \dfrac1{1!} + \dfrac1{2!} + \dfrac1{3!} + \dfrac1{4!} + \cdots\cdots)]
이를 계산하면 [math(e)]의 값을 구할 수 있다. [math(n=4)]까지만 계산해 주어도 [math(\cfrac{65}{24} = 2.708333\cdots\cdots)]가 되어 참값 [math(2.7182818284\cdots\cdots)]와의 오차가 약 [math(0.37\,\%)]밖에 나지 않는다. 컴퓨터를 이용해 죽 계산해주면 금방 어마어마한 자리수의 근삿값을 구할 수 있다. 참고로 위 식은 극한으로 정의된 식에 대해 이항급수를 적용해서 유도할 수도 있다. [math(\begin{aligned} e &= \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac 1n \right)^n = \lim_{n \to \infty} \sum_{r=0}^n \binom nr \frac 1{n^r} = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{n!}{0!n!} \frac 1{n^0} + \sum_{r=1}^n \binom nr \frac 1{n^r} \right) \\ &= \lim_{n \to \infty} \left\{ \frac 1{0!} + \sum_{r=1}^n \frac{n \left( n-1 \right) \left( n-2 \right) \cdots\cdots \left( n-r+2 \right) \left( n-r+1 \right)}{r!} \frac 1{n^r} \right\} \\ &= \lim_{n \to \infty} \left\{ \frac 1{0!} + \sum_{r=1}^n \frac{ 1 \cdot \left( 1 - \frac 1n \right) \left( 1 - \frac 2n \right) \cdots \cdots \left( 1 - \frac{r-2}n \right) \left( 1 - \frac{r-1}n \right)}{r!} \right\} \\ &= \lim_{n \to \infty} \left\{ \frac 1{0!} + \frac 1{1!} + \frac 1{2!} \left( 1- \frac 1n \right) + \frac 1{3!}\left( 1- \frac 1n \right) \left( 1- \frac 2n \right) +\cdots\cdots + \frac 1{n!} \prod_{r=1}^n \left( 1- \frac{r-1}n \right) \right\} \\ &= \sum_{n=0}^\infty \frac 1{n!} \end{aligned})]
[math(\begin{aligned} e^{ix} &= \sum_{n=0}^\infty \frac{(ix)^n}{n!} \\ &= 1 + ix + \frac{(ix)^2}{2!} + \frac{(ix)^3}{3!} + \frac{(ix)^4}{4!} + \cdots\cdots + \frac{(ix)^n}{n!} + \cdots\cdots\end{aligned})]
[math(i^2 = -1)], [math(i^3 = -i)], [math(i^4 = 1)]이므로, [math(\begin{aligned} e^{ix} &= 1 + ix - \frac{x^2}{2!} -i\frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + i\frac{x^5}{5!} + \cdots\cdots \\ &= {\left(1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots\cdots + (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} + \cdots\cdots \right)} + i{\left(x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots\cdots + (-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} + \cdots\cdots \right)} \end{aligned})]
따라서 아래 식을 보일 수 있다. [math(\begin{aligned} e^{ix} &= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} + i\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} \\ &= \cos x+ i\sin x\end{aligned})]
6.2.3. 오차함수 (error function)의 무한급수 [math(\displaystyle \operatorname{erf}(x) = \frac2{\sqrt\pi} \int_0^x e^{-t^2}{\rm\,d}t)]
피적분함수를 무한급수로 전개할 수 있다. [math(\displaystyle e^{-t^2}= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n t^{2n}}{n!})]
따라서 오차함수의 무한급수는 아래와 같다. [math(\displaystyle \operatorname{erf}(x) = \frac2{\sqrt\pi} \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{n!(2n+1)})]
정규분포표를 구할 때 쓰는 오차함수도 다음과 같이 쉽게 나타낼 수 있다. [math(\displaystyle \frac1{\sqrt{2\pi}} \int_0^x e^{\frac{-t^2}2}{\rm\,d}t = \frac1{\sqrt{2\pi}} \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{n!(2n+1)2^n})]
7.1. sinh 함수, cosh 함수 [math(\begin{aligned} {\tiny\bullet}~\, \sinh x &= \frac{e^x-e^{-x}}2 \\ &= \frac12{\left\{{\left(1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots\cdots \right)}-{\left(1-x+\frac{x^2}{2!}-\frac{x^3}{3!}+\cdots\cdots \right)}\right\}} \\ &= x+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\cdots\cdots \\ \therefore \sinh x &= \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}\end{aligned})]
[math(\begin{aligned} {\tiny\bullet}~\, \cosh x &= \frac{e^x+e^{-x}}2 \\ &= \frac12 {\left\{{\left(1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots\cdots \right)}+{\left(1-x+\frac{x^2}{2!}-\frac{x^3}{3!}+ \cdots\cdots \right)}\right\}} \\ &= 1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots\cdots \\ \therefore \cosh x &= \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n}}{(2n)!}\end{aligned})]
삼각함수 항목에서 전술 한대로 [math(\tanh x)], [math(\operatorname{csch}x)], [math(\coth x)]는 조금 다른 방식으로 정의된다. 아래에 [math(\tanh x)]에 대한 급수식이 맨 처음에 나오지만, 식의 길이를 보면 알 수 있듯이 사실 [math(\coth x)]의 급수를 기반으로 나머지 두 식이 유도되는 관계에 있다. 역시 [math(\operatorname{sech}x)]는 오일러 수열 ([math(E_n)])을 이용해서 정의된다. 각 일반항의 유도 과정은 베르누이 수열 , 오일러 수열 문서 참조 [math(\begin{aligned} {\tiny\bullet}~\, \tanh x &= \sum_{n=1}^\infty \frac{ (16^n - 4^n)B_{2n}}{(2n)!} x^{2n-1} \\ &= x - \frac13 x^3 + \frac2{15}x^5 - \frac{17}{315}x^7 + \cdots\cdots \\ {\tiny\bullet}~\, \operatorname{csch}x &= \sum_{n=0}^\infty \frac{ (2 - 4^n)B_{2n}}{(2n)!} x^{2n-1} \\ &= \frac1x - \frac16x + \frac7{360}x^3 - \frac{31}{15120}x^5 + \cdots\cdots \\ {\tiny\bullet}~\, \coth x &= \sum_{n=0}^\infty \frac{4^n B_{2n}}{(2n)!} x^{2n-1} \\ &= \frac1x + \frac13x - \frac1{45}x^3 + \frac2{945}x^5 - \cdots\cdots \\ {\tiny\bullet}~\, \operatorname{sech}x &= \sum_{n=0}^\infty \frac{E_{2n}}{(2n)!} x^{2n} \\ &= 1 - \frac12x^2 + \frac5{24}x^4 - \frac{61}{720}x^6 + \cdots\cdots \end{aligned})]
로그함수의 테일러 급수는 Mercator series 라고도 불린다. [math(\begin{aligned} \ln(1+x) &= \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}x^n}n \\ &= x - \frac{x^2}2 + \frac{x^3}3 - \frac{x^4}4 + \cdots\cdots \quad (|x| < 1) \\ \ln x &= \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}(x-1)^n}n \\ &= x-1 - \frac{(x-1)^2}2 + \frac{(x-1)^3}3 - \frac{(x-1)^4}4 + \cdots\cdots \quad (0 < x < 2) \\ &= \sum_{n=0}^\infty \frac2{2n+1}{\left(\frac{x-1}{x+1}\right)}^{2n+1} \\ &= 2{\left\{{\left(\frac{x-1}{x+1}\right)} + \frac13{\left(\frac{x-1}{x+1}\right)}^3 + \frac15{\left(\frac{x-1}{x+1}\right)}^5 + \cdots\cdots \frac1{2n+1}{\left(\frac{x-1}{x+1}\right)}^{2n+1} \cdots\cdots \right\}} \quad (x>0)\end{aligned})]
그래프 보기 [math(x > 1)]일 때는 로그의 원리를 이용하여 [math(- \ln \cfrac1x)]를 구하면 된다. [math(\displaystyle \ln x - \ln(x-1) = \sum_{n=1}^\infty \frac1{nx^n} \quad (x >1))]
자연로그 함수는 유리함수의 적분으로 표현할 수 있다. [math(\displaystyle \ln (1+x) = \int_0^x \frac{{\rm d}t}{1+t})]
피적분함수를 무한등비급수로 전개하면 [math(\begin{aligned} (1+t)^{-1} &= 1 - t + t^2 - t^3 + \cdots\cdots \\ &= \sum_{n=0}^\infty (-t)^n\end{aligned})]
따라서 이 무한급수를 적분하면 자연로그의 무한급수를 도출할 수 있다. [math(\displaystyle \ln(1+x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{n+1}}{n+1})]
[math(\ln x)]의 경우는 위 식의 [math(x)]에 [math(x-1)]을 대입하면 된다. [math(\begin{aligned} \frac1x &= \frac4{4x} \\ &= \frac4{(x+1)^2-(x-1)^2} \\ &= \frac{\dfrac4{(x+1)^2}}{1 - {\left(\dfrac{x-1}{x+1}\right)}^2}\end{aligned})]
그러면 위 식은 초항이 [math(\cfrac4{(x+1)^2})]이고 공비가 [math(\biggl(\cfrac{x-1}{x+1}\biggr)^2)]인 등비급수이다. 수렴 범위는 [math({\left(\dfrac{x-1}{x+1}\right)}^2 = {\left(1 - \dfrac2{x+1}\right)}^2<1)]
에서 [math(x>0)]이고, 이 범위에서 등비급수로 고쳐쓰면 [math(\displaystyle \frac1x = \sum_{n=0}^\infty \frac4{(x+1)^2}{\left(\frac{x-1}{x+1}\right)}^{2n} \quad (x>0))]
그런데 [math(\biggl(\cfrac{x-1}{x+1}\biggr)' = \cfrac2{(x+1)^2})]이므로 위 식을 [math([1,\,x])] 범위에서 정적분하면 [math(\begin{aligned} \ln x &= \int_1^x 2\sum_{n=0}^\infty \frac2{(t+1)^2}{\left(\frac{t-1}{t+1}\right)}^{2n}{\rm\,d}t \\ &= \sum_{n=0}^\infty \frac2{2n+1}{\left(\frac{x-1}{x+1}\right)}^{2n+1} \quad (x>0) \end{aligned})]
[math(\begin{aligned} W(x) &= \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}n^{n-1}}{n!}x^n \\ &= x - x^2 + \frac32x^3 - \frac83x^4 + \frac{125}{24}x^5 - \frac{54}5x^6 + \cdots\end{aligned})]
[math(\displaystyle S(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n \pi^{2n+1} x^{4n+3}}{2^{2n+1}(2n+1)!{\cdot}(4n+3)})] [math(\displaystyle C(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n \pi^{2n} x^{4n+1}}{2^{2n}(2n)!{\cdot}(4n+1)})]
[math(\displaystyle \operatorname{BR}(-x) = \sum_{k=0}^\infty \binom{5k}k\frac{(-1)^k x^{4k+1}}{4x+1})]
[math(\displaystyle K(k) = \frac\pi2 \sum_{n=0}^\infty {\left\{ \frac{(2n)!}{2^{2n}(n!)^2} \right\}}^2k^{2n})] [math(\displaystyle E(k) = \frac\pi2 {\left[1- \sum_{n=1}^\infty {\left\{ \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} \right\}}^2 \frac{k^{2n}}{2n-1} \right]})]
[math(\begin{aligned} x^{x^{x^{x^{\cdot^{\cdot^\cdot}}}}} &= x + \sum_{n=2}^\infty \frac{2^{n-1}-1}{n-1}(x-1)^n \\ &= x+(x-1)^2+\frac32(x-1)^3+\frac73(x-1)^4+\cdots \end{aligned})]
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