1. 개요
함수해석학(函數解析學, functional analysis)은 해석학의 세부 분야로, 함수 공간과 작용소의 위상적•대수적 성질을 다룬다. 미분방정식, 푸리에 해석, 양자역학 등의 연구가 심화됨에 따라 함수 공간과 그 위의 작용소의 성질을 논의하는 과정에서 발전하였으며, 오늘날 수학의 여러 분야에서 응용될 뿐만 아니라 물리학, 통계학, 금융공학, 인공지능 등 다양한 수학 외 분야에서 활용된다.함수해석학에서 주로 다루는 함수공간은 위상적 성질 부여된 벡터 공간, 즉 위상벡터공간이다. 함수 사이의 덧셈 및 상수곱을 갖춘 함수 집합은 벡터 공간을 이룬다. 여기에 거리, 노름, 내적, 완비성 등 극한과 관련된 해석적 공리 및 대수적 연산에 호환하는 위상을 부여하여 함수공간을 구성한다. 기초 선형대수학에서 다루는 유한차원 벡터공간과 달리, 함수해석학에서 다루는 함수 공간의 차원은 무한하며 그 기수는 가산 또는 비가산일 수 있다. 예를 들어 완비 내적 공간, 즉 힐베르트 공간의 경우 유클리드 공간과 같이 정규직교기저를 정의할 수 있어 힐베르트 공간을 그 정규직교기저의 무한차원 수열 공간 등으로 다룰 수 있다.
작용소는 함수공간 사이의 변환이다. 함수해석학에서는 유계 선형 작용소 및 비유계 작용소 등 다양한 작용소의 성질을 규명한다. 특히 작용소의 불변 부분공간 문제는 함수해석학의 오랜 난제이다. 작용소의 집합은 작용소의 합성 및 스칼라 곱 등의 연산을 갖춰 대수라 하는 대수적 구조를 이룬다. 함수해석학에서는 작용소 대수를 일반화한 대수를 분류하고 그 성질을 규명한다. 이러한 과정에서 여러 대수적 이론이 적극적으로 활용된다.